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alle Normalebenen einer Raumkurve eine abwickelbare Fläche, die man als Evoluten fläche der Raumkurve bezeichnet . Läßt man auf der Evolutenfläche eine Ebene wälzen, ohne daß sie dabei gleitet, so beschreibt jeder ihrer Punkte eine Raumkurve — Evolvente — unter denen sich auch die ursprüngliche Raumkurve befindet. Die Evolventen durchsetzen die Tangentialebenen der Evolutenfläche rechtwinklig.

456. Die Parallel- oder Centralprojektion einer Raumkurve ist eine ebene Kurve, deren Tangenten die Projektionen der Tangenten der Raumkurve sind. Es ergiebt sich dies einfach daraus, daß die Tangenten als spezielle Sekanten aufzufassen sind, bei denen durch einen Grenzübergang zwei Schnittpunkte mit der Kurve zusammengerückt sind. Liegt das Projektionscentrum auf einer Tangente t der Raumkurve, so projiziert sich ihr Berührungspunkt B als Spitze. Man kann sich hiervon Rechenschaft geben, indem man einen Punkt die Raurakurve durchlaufen läßt und zugleich auf die Bewegung der zugehörigen Tangente achtet; denn während der Punkt die Lage B passiert (Fig. 296), bleibt seine Projektion einen Augenblick still stehen, um dann rückläufig zu werden.

Man kann aber auch wieder den Grenzübergang benutzen. Geht die Verbindungslinie zweier Kurvenpunkte P und Q durch das Projektionscentrum, so bildet die Projektion F'— Q' einen Doppelpunkt der Projektionskurve ;beimübergang zur Grenze wird die Sekante zur Tangente und der Doppelpunkt zur Spitze. Ein Kurvenpunkt, dessen Schmiegungsebene durch das Projektionscentrum geht, liefert in der Projektion einen Wendepunkt; da zwei benachbarte Tangenten die Fi O0(. gleiche Projektion besitzen. Hieraus folgt, daß

bei orthogonaler Projektion einer Raumkurve aus einem gewöhnlichen Punkte P ein gewöhnlicher, ein Wendeoder ein Rückkehrpunkt wird, je nachdem man auf die Schmiegungs-, die rektifizierende oder die Normalebene projiziert.

457. Die Raumkurve kann verschiedene Singularitäten aufweisen, von denen man die gewöhnlicheren auf folgende Weise erhält. Durchläuft ein Punkt P die Raumkurve, so dreht sich die zugehörige Tangente t um diesen Punkt und die zugehörige Schmiegungsebene Z um die Tangente t. Während in einem gewöhnlichen Kurvenpunkt der Fortschreitungssinn von P auf t, der Drehsinn von t um P und der Drehsinn von Z um t ungeändert bleiben, wird sich in speziellen Punkten der Sinn einer oder mehrerer dieser Bewegungen umkehren; es giebt das — den gewöhnlichen Punkt eingerechnet — acht Kombinationen. Kehrt die Schmiegungsebene ihren Drehsinn um, so muß ihre Drehung an einer bestimmten Stelle gleich Null sein, so daß dort drei Kurvenelemente oder vier benachbarte Kurvenpunkte in einer Ebene liegen, die stationäre Ebene genannt wird. Kehrt die Tangente ihren Drehsinn um, so fallen zwei Kurvenelemente oder drei konsekutive Punkte in eine Gerade, und es entsteht der Wende- oder Streckungspunkt. Kehrt der Punkt seinen Fortschreitungssinn um, so entsteht die Spitze oder der Rückkehrpunkt. Hiernach kann man sich auch über die anderen Kombinationen Klarheit verschaffen; die Besprechung der verschiedenen Möglichkeiten kann aber hier unterlassen werden.j8)

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458. Die Tangente und Schmiegungsebene sollen in einem Punkte einer Raumkurve konstruiert werden. Natürlich wird es bei manchen Raumkurven infolge der Art ihrer Definition möglich sein, die Tangente und Schmiegungsebene in jedem Punkte genau zu konstruieren. Insbesondere wird man bei der Bestimmung der Tangente ganz ähnlich wie in 428'verfahren können, indem der Kurvenpunkt als Schnitt dreier Hilfsflächen erscheint, wodurch dann die Tangente als Diagonale eines unendlich kleinen Parallelepipedes definiert ist, das durch ein ähnliches endliches Parallelepiped ersetzt werden kann. Es ist leicht, Beispiele in großer Zahl hierfür anzugeben, doch soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

Wenn die Raumkurve in ihren beiden Projektionen gezeichnet vorliegt, so läßt sich unsere Aufgabe in folgender Weise konstruktiv durchführen (Fig. 297). Sind c, c" die Projektionen der Raumkurve und P', P" die eines Punktes auf ihr, so bestimmt man nach 425 die Tangenten t' in P' an c und t" in P" an c"; t', t" sind dann die Projektionen der gesuchten Tangente t in P an c. Die gesuchte Schmiegungsebene Z geht durch t und kann durch einen Grenzübergang definiert werden. Zieht man von P aus Strahlen nach allen Punkten der Raumkurve, so erhält man einen Kegel, dessen Mantelfläche auch t enthält, die Tangentialebene des Kegels längs der Mantellinie t (vergl. 454) ist die gesuchte Schmiegungsebene. Läßt man nämlich einen Punkt Q auf c sich nach P hin bewegen, so schneidet die Ebene tQ den Kegelmantel in den Erzeugenden t und PQ; sie wird beim Grenzübergang zur Tangentialebene des Kegels und zugleich zur Schmiegungsebene von c. Man wähle deshalb in der Nähe von P auf c beiderseitig je zwei Punkte, etwa Q, E resp. M, N und suche die Spurpunkte der Strahlen PQ, PR, PM, PN und t in einer der beiden Projektionsebenen, etwa T\v Dann geht die Spurkurve der Kegelfläche durch die Punkte Qv Rv Tv Mv JVj und kann hiernach gezeichnet werden; die Spurlinie sx von X ist jetzt als Tangente der Spurkurve im Punkte Tx bestimmt.

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Krumme Oberflächen.

459. Wir haben bereits in den abwickelbaren Flächen einen speziellen Fall der krummen Flächen kennen gelernt, und wollen nun zu den allgemeinen krummen Flächen übergehen. Wir können dieselben zunächst als Gebilde definieren, die von jeder Ebene in einer Kurve geschnitten werden. Diese Kurven können freilich auch aus mehreren Teilen, insbesondere auch aus geraden Linien bestehen. Für unsere Zwecke ist es nun unerläßlich, daß wir auf der krummen Fläche mindestens ein System von Raum- oder ebenen Kurven angeben können. Unter einem System von Kurven verstehen wir hierbei unendlich viele Kurven, die die ganze Fläche überdecken, so daß durch jeden Punkt der Fläche wenigstens eine solche Kurve hindurchgeht. Zu jeder Kurve giebt es demgemäß in dem System zwei benachbarte Kurven, die sich in ihrer Lage und zwar ihrer ganzen Erstreckung nach von jener nur unendlich wenig unterscheiden. Die Kurven des Systems können in speziellen Fällen entweder alle kongruent, oder ähnlich und nur der Größe nach verschieden sein; im allgemeinen Falle sind sie in ihrer Gestalt veränderlich, nur müssen auch dann noch zwei benachbarte Kurven bis auf unendlich kleine Unterschiede übereinstimmen. Im ersten Falle wird die Fläche erzeugt durch stetige Bewegung einer konstanten Kurve. So entstehen z. B. durch Bewegung einer Geraden die abwickelbaren Flächen und die windschiefen Regelflächen; bei den letzteren steht der Abstand je zweier benachbarter Geraden (Erzeugenden) zu ihrem Winkel in einem endlichen Verhältnis, bei ersteren ist dieses Verhältnis unendlich klein. So entsteheu z. B. durch Bewegung einer Kurve Translations-, Rotations- und Schraubenflächen, wenn die Punkte der bewegten konstanten Kurve kongruente Bahnen, Kreisbahnen um eine feste Achse oder Schraubenlinien um eine solche Achse beschreiben. (Vergl. darüber die späteren Kapitel.) Im allgemeinen Falle wird die Fläche erzeugt durch stetige Bewegung einer Kurve, die zugleich ihre Form stetig ändert. Dabei müssen natürlich die Gesetze für Bewegung und Formänderung und ihre gegenseitige Abhängigkeit gegeben sein.

460. Die Tangente einer Fläche wird, wie bei den Kurven, durch einen Grenzübergang definiert, indem man zunächst eine Gerade durch zwei getrennte Punkte der Fläche legt und diese dann sich gegenseitig nähern und schließlich zusammenfallen läßt. Zieht man auf einer Fläche irgend eine Kurve, so ist jede ihrer Tangenten auch Tangente der Fläche und enthält zwei unendlich nahe Punkte derselben. In jedem Punkte P einer Fläche giebt es unendlich viele Tangenten, die im allgemeinen in einer Ebene — der Tangentialebene der Fläche in P — liegen. Zieht man nämlich irgend zwei Tangenten tx, t2 im Punkte P der Fläche, so schneidet die Ebene txt2 die Fläche in einer Kurve, die in P einen Doppelpunkt besitzt, da sowohl tx als t2 mit der Schnittkurve im Punkte P zwei unendlich nahe Punkte gemein haben. Jede Gerade der Ebene txt2 durch den Punkt P hat mit der Kurve und sonach mit der Fläche zwei zusammenfallende Punkte gemein, d. h. sie ist Tangente der Fläche; hiermit ist aber unsere Behauptung erwiesen. Es kann allerdings in einzelnen Punkten der Fläche vorkommen, daß jede Gerade durch ihn die Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet; ein solcher Punkt heißt dann Knotenpunkt unserer Fläche, jede Ebene durch ihn schneidet eine Kurve aus, die in ihm einen Doppelpunkt besitzt. Denn, giebt es eine Gerade ^3 durch P, die dort die Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet und nicht in der Ebene £/2 liegt, so enthält jede Ebene durch t3 außer ts noch eine weitere Tangente der Fläche im Punkte P und damit unendlich viele Tangenten.

461. Daß die Tangenten in einem Punkte P einer Fläche im allgemeinen in einer Ebene liegen, kann noch klarer durch folgende Überlegung eingesehen werden, die an die obige Definition der Fläche

Röhn U. Papperitz. I. 2. Aull. 22

anknüpft. Wir gehen zu diesem Zwecke von dem Kurvensysteme aus, durch das die Fläche erzeugt worden ist, und betrachten die durch P verlaufende Kurve k des Systems und ihre Nachbarkurve Wir wählen dann auf l zwei unendlich nahe Punkte A und B, deren Entfernung von P ebenfalls unendlich klein ist, so daß das Dreieck APB unendlich klein ist, aber endliche Winkel zeigt . Teilen wir jetzt den Kurvenbogen AB durch Punkte Cv C2, Cs . . . Cn— wo die Zahl n über jede Grenze wachsen mag — so sind die Geraden PCv PC2 . . . PCn Tangenten unserer Fläche; diese schließen aber mit der Ebene APB unendlich kleine Winkel ein, können also als in dieser Ebene liegend angesehen werden. Daß eine Gerade PC. mit der genannten Ebene einen unendlich kleinen Winkel einschließt, folgt daraus, daß die Entfernung des Punktes C. von der Sehne AB, und damit auch von der Ebene APB, unendlich klein von der 2. Ordnung ist, wenn AB und damit PA, PB und PC. unendlich klein von der 1. Ordnung ist.

462. Die Senkrechte im Berührungspunkte P der Tangentialebene heißt die Flächennormale im Punkte P; die Ebenen durch diese Normale liefern die Normalschnitte der Fläche. Die Krümmung kann nun für alle Normalschnitte den gleichen Sinn haben, d. h. ihre Krümmungsradien, die ja in die Normale fallen, können alle von P aus gleich gerichtet sein; dann liegt die Fläche in der Umgebung von P ganz auf der einen Seite der Tangentialebene und heißt dort elliptisch gekrümmt. Die Tangentialebene schneidet demnach die Fläche in einer Kurve, die P zum isolierten Doppelpunkt hat; das einfachste Beispiel bildet die Kugel.

Die Krümmung kann aber auch für einen Teil der Normalschnitte im Punkte P den entgegengesetzten Sinn haben, wie für den andern Teil; die Normalschnitte berühren dann die Tangentialebene im Punkte P von verschiedenen Seiten. Die Fläche liegt in der Umgebung von P auf beiden Seiten der Tangentialebene und heißt dort hyperbolisch gekrümmt. Die Tangentialebene schneidet die Fläche in einer Kurve, die in P einen Doppelpunkt mit reellen Asten hat. Den Ubergang von einem Teil der Normalschnitte zum andern bilden die beiden Normalschnitte mit der Krümmung Null, die also P zum Wendepunkt haben. Die beiden eigentlichen Tangenten der in der Tangentialebene liegenden Schnittkurve, die die beiden reellen Kurvenäste im Doppelpunkte P berühren, haben nämlich mit ihr — wie der Ubergang zeigt — drei zusammenfallende Punkte gemein; somit haben sie auch mit der Fläche und mit dem zugehörigen

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