einer Geraden die abwickelbaren Flächen und die windschiefen Regelflächen; bei den letzteren steht der Abstand je zweier benachbarter Geraden (Erzeugenden) zu ihrem Winkel in einem endlichen Verhältnis, bei ersteren ist dieses Verhältnis unendlich klein. So entsteheu z. B. durch Bewegung einer Kurve Translations-, Rotations- und Schraubenflächen, wenn die Punkte der bewegten. konstanten Kurve kongruente Bahnen, Kreisbahnen um eine feste Achse oder Schraubenlinien eine solche Achse beschreiben. Im allgemeinen Falle

(Vergl. darüber die späteren Kapitel.) wird die Fläche erzeugt durch stetige Bewegung einer Kurve, die zugleich ihre Form stetig ändert. Dabei müssen natürlich die Gesetze für Bewegung und Formänderung und ihre gegenseitige Abhängigkeit gegeben sein.

460. Die Tangente einer Fläche wird, wie bei den Kurven, durch einen Grenzübergang definiert, indem man zunächst eine Gerade durch zwei getrennte Punkte der Fläche legt und diese dann sich gegenseitig nähern und schließlich zusammenfallen läßt. Zieht man auf einer Fläche irgend eine Kurve, so ist jede ihrer Tangenten auch Tangente der Fläche und enthält zwei unendlich nahe Punkte derselben. In jedem Punkte P einer Fläche giebt es unendlich viele Tangenten, die im allgemeinen in einer Ebene der Tangentialebene der Fläche in P- liegen. Zieht man nämlich irgend zwei Tangenten t1, to im Punkte P der Fläche, so schneidet die Ebene t1t, die Fläche in einer Kurve, die in P einen Doppelpunkt besitzt, da sowohl t1 als t2 mit der Schnittkurve im Punkte P zwei unendlich nahe Punkte gemein haben. Jede Gerade der Ebene t1t, durch den Punkt P hat mit der Kurve und sonach mit der Fläche zwei zusammenfallende Punkte gemein, d. h. sie ist Tangente der Fläche; hiermit ist aber unsere Behauptung erwiesen. Es kann allerdings in einzelnen Punkten der Fläche vorkommen, daß jede Gerade durch ihn die Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet; ein solcher Punkt heißt dann Knotenpunkt unserer Fläche, jede Ebene durch ihn schneidet eine Kurve aus, die in ihm einen Doppelpunkt besitzt. Denn, giebt es eine Gerade t durch P, die dort die Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet und nicht in der Ebene t1t, liegt, so enthält jede Ebene durch t, außer t, noch eine weitere Tangente der Fläche im Punkte P und damit unendlich viele Tangenten.

461. Daß die Tangenten in einem Punkte P einer Fläche im allgemeinen in einer Ebene liegen, kann noch klarer durch folgende Überlegung eingesehen werden, die an die obige Definition der Fläche

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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wo die

anknüpft. Wir gehen zu diesem Zwecke von dem Kurvensysteme aus, durch das die Fläche erzeugt worden ist, und betrachten die. durch P verlaufende Kurve k des Systems und ihre Nachbarkurve l. Wir wählen dann auf zwei unendlich nahe Punkte A und B, deren Entfernung von P ebenfalls unendlich klein ist, so daß das Dreieck APB unendlich klein ist, aber endliche Winkel zeigt. Teilen wir jetzt den Kurvenbogen AB durch Punkte C1, C2, C3 . . . C2 Zahl n über jede Grenze wachsen mag so sind die Geraden PC1, PC2 PC Tangenten unserer Fläche; diese schließen aber mit der Ebene APB unendlich kleine Winkel ein, können also als in dieser Ebene liegend angesehen werden. Daß eine Gerade PC mit der genannten Ebene einen unendlich kleinen Winkel einschließt, folgt daraus, daß die Entfernung des Punktes C, von der Sehne AB, und damit auch von der Ebene APB, unendlich klein von der 2. Ordnung ist, wenn AB und damit PA, PB und PC, unendlich klein von der 1. Ordnung ist.

...

n

i

462. Die Senkrechte im Berührungspunkte P der Tangentialebene heißt die Flächennormale im Punkte P; die Ebenen durch diese Normale liefern die Normalschnitte der Fläche. Die Krümmung kann nun für alle Normalschnitte den gleichen Sinn haben, d. h. ihre Krümmungsradien, die ja in die Normale fallen, können alle von P aus gleich gerichtet sein; dann liegt die Fläche in der Umgebung von P ganz auf der einen Seite der Tangentialebene und heißt dort elliptisch gekrümmt. Die Tangentialebene schneidet demnach die Fläche in einer Kurve, die P zum isolierten Doppelpunkt hat; das einfachste Beispiel bildet die Kugel.

Die Krümmung kann aber auch für einen Teil der Normalschnitte im Punkte P den entgegengesetzten Sinn haben, wie für den andern Teil; die Normalschnitte berühren dann die Tangentialebene im Punkte P von verschiedenen Seiten. Die Fläche liegt in der Umgebung von P auf beiden Seiten der Tangentialebene und heißt dort hyperbolisch gekrümmt. Die Tangentialebene schneidet die Fläche in einer Kurve, die in P einen Doppelpunkt mit reellen Ästen hat. Den Übergang von

einem Teil der Normalschnitte zum andern bilden die beiden Normalschnitte mit der Krümmung Null, die also P zum Wendepunkt haben. Die beiden eigentlichen Tangenten der in der Tangentialebene liegenden Schnittkurve, die die beiden reellen Kurvenäste im Doppelpunkte P berühren, haben nämlich mit ihr - wie der Übergang zeigt drei zusammenfallende Punkte gemein; somit haben sie auch mit der Fläche und mit dem zugehörigen

Normalschnitt drei zusammenfallende Punkte gemein; diese Geraden. sind demnach Wendetangenten der sie enthaltenden Normalschnitte und werden als Haupttangenten der Fläche im Punkte P bezeichnet.

463. Schneidet die Tangentialebene in einem Punkte P die Fläche in einer Kurve mit einer Spitze in P, so heißt die Fläche in P parabolisch gekrümmt. Alle Normalschnitte in P berühren die Tangentialebene von der nämlichen Seite, nur ein Normalschnitt hat den Punkt P zum Wendepunkt, da es nur eine eigentliche Tangente in der Spitze giebt. In einem Punkte parabolischer Krümmung fallen hiernach die beiden Haupttangenten zusammen. Die Fläche liegt in der Umgebung von P auf einer Seite der Tangentialebene bis auf eine zugespitzte Partie, die von den beiden in der Spitze zusammenlaufenden Kurvenästen begrenzt wird.

Im allgemeinen bilden auf einer Fläche die Punkte parabolischer Krümmung eine Raumkurve, die allerdings in mehrere Teile zerfallen kann. Die Kurve parabolischer Krümmung trennt die elliptisch gekrümmten und die hyperbolisch gekrümmten Flächenteile.

Die zugleich der Fläche angehörigen Elemente der Haupttangenten in benachbarten Flächenpunkten lassen sich stetig aneinanderreihen und erzeugen so Kurven auf der Fläche, die man als Haupttangentenkurven bezeichnet. Reelle Kurven dieser Art existieren nur auf den hyperbolisch gekrümmten Teilen einer Fläche und, wo sie an die Kurve parabolischer Krümmung herantreten, kehren sie unter Bildung einer Spitze wieder um. Bei den abwickelbaren Flächen und bei den Kegel- und Cylinderflächen ist die Krümmung in jedem Punkte parabolisch. Denn jede Tangentialebene berührt längs einer Geraden, der Erzeugenden; für jeden Punkt P derselben fallen die beiden Haupttangenten zusammen, nämlich in die Erzeugende selbst. In der nächsten Umgebung jedes solchen Punktes liegt die Fläche ganz auf einer Seite ihrer Tangentialebene und reicht nur längs der Erzeugenden an sie heran.

464. Die Tangenten, die man von einem Raumpunkte Q aus an eine Fläche legen kann, bilden eine Kegelfläche (vergl. 474), d. h. ihre Berührungspunkte liegen auf einer Kurve der Fläche. Die Tangentialebenen in den Punkten dieser Kurve gehen durch Q und umhüllen jene Kegelfläche. In der That, berührt eine Tangentialebene durch Q die Fläche in einem Punkte P, so ist dieser für ihre Schnittkurve ein Doppelpunkt und die Verbindungslinie QP vertritt zwei zusammenfallende Tangenten, wie der Grenzprozeß unmittelbar erkennen läßt. Denn dreht man die Tangentialebene um QP um einen unendlich

kleinen Winkel, so liefert sie in ihrer neuen Lage eine Schnittkurve ohne Doppelpunkt, die sich von der Schnittkurve mit Doppel

Fig. 298.

punkt in der Tangentialebene nur unendlich wenig unterscheiden kann, nur hat sich der Doppelpunkt aufgelöst. Die entstehende neue Kurve muß dann die Tangente QP und eine zweite Tangente aus Q aufweisen, die ihr unendlich nahe ist. Die Figuren zeigen diese Übergänge beim kleinen Oval, beim Doppelpunkt zwei getrennten Ästen, bei der

isolierten Doppelpunkt zu einem
mit sich schneidenden Ästen zu
Spitze zu einem Kurvenast und einem kleinen Oval.

SIEBENTES KAPITEL.

Kugel, Cylinder, Kegel.

Kugel, Cylinder und Kegel, ihre Projektionen, Eigen- und
Schlagschatten.

465. Von der Darstellung einer krummen Oberfläche gilt ganz das Gleiche, was schon früher von der Darstellung einer Ebene oder eines Stückes einer Ebene gesagt wurde. Es kann nicht unmittelbar entschieden und auch nicht direkt aus der Zeichnung entnommen werden, welches die beiden Projektionen eines durch gewisse Angaben bestimmten Punktes der Oberfläche sind. Vielmehr muß das Entstehungsgesetz der Oberfläche in einer Form bekannt sein, die uns gestattet, ein oder mehrere Kurvensysteme derselben in ihren beiden Projektionen zu zeichnen. Ist dann die eine Projektion eines Punktes der Fläche gegeben, so zeichnet man eine durch ihn verlaufende erzeugende Kurve in der gleichnamigen Projektion, sodann ihre andere Projektion, worauf sich auf dieser auch die andere Projektion des gemeinten Punktes ergiebt.

Ist die Oberfläche durch eine Randkurve begrenzt, so begrenzen deren Projektionen auch die Projektionen der Oberfläche.

466. Wir betrachten zuerst das Verhalten einer krummen Oberfläche gegen die projizierenden Strahlen, indem wir uns auf eine einzige Projektionsebene und das zugehörige System paralleler projizierender Strahlen beschränken. Wir nehmen an, daß die Oberfläche aus einem einzigen Stück bestehe, da wir für jeden ihrer Bestandteile die gleiche Betrachtung anstellen können. Trifft jeder projizierende Strahl die Fläche entweder nur in einem Punkte oder gar nicht, so ist sie in ihrer ganzen Ausdehnung sichtbar; der Flächenrand scheidet die Strahlen, welche die Fläche treffen, von denen, die sie nicht treffen. Giebt es projizierende Strahlen, die die Fläche in mehreren Punkten schneiden, so ist sie teilweise sichtbar und teilweise unsichtbar. Auf dem sichtbaren Teil der Fläche liegt der erste Durchstoßpunkt & des Strahles, wenn wir ihn in der Projektionsrichtung durchlaufen, der zweite S, auf dem unsichtbaren Teile. Die nächste Umgebung von S, wird sichtbar, die von S2 unsichtbar sein, beide Bereiche können nun weiter und weiter ausgedehnt werden, wobei ihre Randkurven immer von dem nämlichen projizierenden Cylinder ausgeschnitten werden mögen. Die beiden Bereiche, in denen S, resp. S liegen, werden im allgemeinen, wenn so weit wie möglich ausgedehnt, längs einer Kurve aneinander grenzen; diese muß man überschreiten, um aus dem sichtbaren Bereich in den unsichtbaren zu gelangen und umgekehrt. Der projizierende Strahl durch jeden Punkt dieser Kurve muß dort die Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten schneiden oder tangieren. Es kann dieses entweder so geschehen, daß der Bereich, in dem S liegt, den andern längs einer Kurve durchdringt, dann vertauschen sich Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit der beiden Bereiche zu beiden Seiten der Durchdringungskurve die man als Doppelkurve bezeichnet. Oder die Kurve, die den sichtbaren Teil der Fläche von dem unsichtbaren scheidet, hat die Eigenschaft, daß die projizierenden Strahlen durch ihre Punkte die Fläche berühren; diese Strahlen bilden dann eine Cylinderfläche, welche unsere Oberfläche längs jener Kurve berührt, aber außerdem noch durchdringen kann. Ganz ähnliche Resultate gewinnt man, wenn man den zweiten und dritten Durchstoßpunkt S, und S, eines projizierenden Strahles mit der Oberfläche und die sie einschließenden Bereiche betrachtet, nur kann man diese Bereiche nicht mehr als sichtbare und unsichtbare unterscheiden. Man kann demgemäß den Satz aussprechen: Alle projizierenden Strahlen, die eine Oberfläche berühren,