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ebene enthält zwei benachbarte Kurvenelemente oder drei benachbarte Kurvenpunkte; sie kann auch als Grenzlage einer Ebene gewonnen werden, die durch drei nahe bei einander liegende Kurvenpunkte P, Q, R geht, wenn diese sich vereinigen.

Steht eine Gerade auf einer Tangente im Berührungspunkte senkrecht, so heißt sie Normale; alle Normalen in einem Punkte der Raumkurve liegen in einer Ebene, der Normalebene. Die Normale in der Schmiegungsebene heißt Hauptnormale, die auf ihr senkrechte Normale die Binormale; die Ebene durch Tangente und Binormale nennt man rektifizierende Ebene.

447. Bewegt sich ein Punkt auf der Raumkurve, so führen gleichzeitig die zugehörige Tangente und die zugehörige Schmiegungsebene Bewegungen aus, und zwar dreht sich die Tangente stets um den bezüglichen Berührungspunkt in der Schmiegungsebene und die Schmiegungsebene um die bezügliche Tangente. Denken wir uns zunächst ein kleines aber endliches Stück PQ der Raumkurve, so erhalten wir eine bestimmte Bogenlänge, einen bestimmten Winkel der Endtangenten und einen bestimmten Winkel der Schmiegungsebenen in den Endpunkten. Lassen wir den Bogen AB unendlich klein werden, so tritt gleiches für den Winkel der Tangenten und den Winkel der Schmiegungsebenen ein, falls die Kurve stetig ist, wie wir voraussetzen wollen. Im allgemeinen — d. h. abgesehen von einzelnen Punkten — sind nun die Verhältnisse der genannten drei unendlich kleinen Größen endlich. Zu dem Bogenelement e gehört hiernach ein bestimmter Kontingenzwinkel e, Winkel benachbarter Tangenten, und ein bestimmter Torsionswinkel rh

Winkel benachbarter Schmiegungsebenen. Das Verhältnis k = ~

wird wie bei den ebenen Kurven als Krümmung, das Verhältnis

T = — als Torsion der Raumkurve an 'der betreffenden Stelle bee

zeichnet. Wie bei den ebenen Kurven giebt es ferner durch drei benachbarte Punkte der Raumkurve einen Krümmungskreis, er liegt in der zugehörigen Schmiegungsebene und sein Mittelpunkt auf der Hauptnormale.

448. Bei der angeführten Bewegung beschreibt die Tangente eine geradlinige Fläche, welche die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche oder kurz die abwickelbare Fläche der Raumkurve genannt wird; die Tangenten der Raumkurve heißen die Erzeugenden der Fläche. Gleichzeitig führt die zugehörige Schmiegungsebene eine solche Bewegung aus, daß sie die abwickelbare Fläche in allen ihren Lagen umhüllt; das will sagen, daß jede Schmiegungsebene die abwickelbare Fläche längs der in ihr liegenden Tangente der Raumkurve berührt. Um die Richtigkeit des Gesagten zu erkennen, ist es nötig, näher auf die gegenseitige Lage benachbarter Tangenten und Schmiegungsebenen einzugehen (Fig. 292). Seien P und Px zwei benachbarte Punkte unserer Raumkurve, t und tx die zugehörigen Tangenten, Z und Ij die Schmiegungsebenen, und PPx = s die Sekante. Dann ist nach 418 der Abstand des Punktes Pj von der Schmiegungsebene Z unendlich klein von der 3. Ordnung; ganz ebenso ist der Abstand der Tangenten t und fj unendlich klein 3. Ordnung, denn die Ebenen durch t und ä resp. ^ und s schließen einen unendlich kleinen Winkel ein und zugleich sind l_ ts, i_t^s und PPx von der 1. Ordnung unendlich klein. Ziehen wir auf der abwickelbaren Fläche eine Kurve, die t und £j in den benachbarten Punkten Q und Qx schneidet, so ist das Lot Q^', gefällt von Qx auf Z unendlich klein 2. Ordnung (nach 418), folglich schließt QQx mit Z einen unendlich kleinen Winkel ein, und wir können deshalb sagen, daß die Tangente der auf der abwickelbaren Fläche gezogenen Kurve im Punkte P in die Schmiegungsebene Z fällt (in der Figur ist eine Hilfsebene E durch QQx senkrecht zu Z benutzt). Die Schmiegungsebene Z tangiert also wirklich die abwickelbare Fläche längs ihrer Erzeugenden t.

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449. Die Raumkurve bildet auf der zugehörigen abwickelbaren Fläche eine Rückkehrkurve oder Rückkehrkante, d.h. jeder ebene Schnitt der abwickelbaren Fläche weist in den Durchstoßpunkten mit der Raumkurve Rückkehrpunkte oder Spitzen auf. In der That, schneidet eine Ebene E die Raumkurve c in S (Fig. 293) und läßt man einen Punkt auf dieser fortwandern, wobei er auch die Lage S passiert, dann liefert die zu dem wandernden Punkte zugehörige Tangente und Schmiegungsebene die Punkte und Tangenten

der Schnittkurve u von E mit der abwickelbaren Fläche. Passiert der bewegte Punkt die Lage S, so behalten Tangente und Schmiegungsebene ihren Drehsinn bei — falls S ein gewöhnlicher Punkt der Raumkurve ist. Demnach behält auch die Tangente der ebenen Schnittkurve ihren Drehsinn bei, dagegen ändert der sie beschreibende Punkt in S seinen Fortschreitungssinn. Denn bezeichnen wir die beiden Teile der Tangente einer Raumkurve, vom Berührungspunkte aus gerechnet, als positiv und negativ, so wird der eine Teil der Schnittkurve bis zum Punkte S hin von dem positiven Teile der bewegten Tangente beschrieben, der andere vom negativen Teile, wodurch jene Änderung hervorgebracht wird.

450. Lassen wir nun eine Ebene, welche die abwickelbare Fläche längs einer Erzeugenden berührt, sich auf dieser fortwälzen, wobei wir indes nur einen der beiden Teile der Fläche, die längs der Rückkehrkurve aneinandergrenzen, in Betracht ziehen. Beim Abwälzen oder Abrollen der Ebene auf einem Teile der abwickelbaren Fläche werden die Erzeugenden alle nacheinander zu Berührungslinien der wälzenden Ebene, die sich in jedem Augenblicke um die Berührungslinie ohne zu gleiten dreht. Indem bei dieser Bewegung jeder Punkt der Fläche einmal in die wälzende Ebene fällt, liefert jede Erzeugende und jede Kurve unserer Fläche eine Gerade respektive eine Kurve in der wälzenden Ebene, sie werden als die Abwickelungen jener Gebilde bezeichnet. Natürlich kann auch die Ebene festgehalten und die abwickelbare Fläche ohne Gleiten auf ihr abgewälzt werden, was offenbar darauf hinauskommt, daß der eine Teil einer abwickelbaren Fläche ohne Dehnung oder Zerreißung und ohne Stauchung oder Faltung in einer Ebene ausgebreitet werden kann. Um sich die geschilderten Vorgänge völlig klar zu machen, denke man sich auf der abwickelbaren Fläche eine Reihe von Erzeugenden txt2t3 . .. tn .. . gezogen, die einander benachbart sind, deren Winkel ej2 = i_ txt2, e23 = L.t2t3.. . also unendlich klein sind. Würde nun jede Erzeugende die vorhergehende schneiden, so würden sie die Verlängerungen der Seiten eines räumlichen Polygons bilden und damit die Abwickelbarkeit in eine Ebene unmittelbar klar sein. Denn dazu gehört nur, daß man die Winkel, die je zwei aufeinanderfolgende Flächenelemente txt2, t2ts, t3ti . . . einschließen, zu 2R ausstreckt, so daß alle Elemente in die nämliche Ebene zu liegen kommen. Der Flächen streifen zwischen zwei Erzeugenden, etwa £j und t2, der abwickelbaren Fläche ist nun an und für sich nicht eben, da jedoch die gemeinsame Normale von tx und t2 unendlich klein von der 3. Ordnung ist, so darf man sie als absolut gleich 0 annehmen, ohne daß der dadurch begangene Fehler einen Einfluß auf das Resultat ausübt . In der Figur ist die abwickelbare Fläche durch eine Kurve u begrenzt, deren Abwickelung u0 ist.

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451. Aus dem Vorgange der Abwickelung einer abwickelbaren Fläche ergeben sich noch unmittelbar folgende Beziehungen. Der Winkel konsekutiver Erzeugenden ändert sich bei der Abwickelung nicht, ebensowenig die Länge einer Erzeugenden zwischen irgend zwei auf ihr gewählten Punkten. Hieraus folgt dann weiter, daß jeder Kurvenbogen auf der abwickelbaren Fläche gleich lang mit seiner Abwickelung ist und daß eine Erzeugende den Kurvenbogen unter dem gleichen Winkel schneidet, wie ihre Abwickelung die abgewickelte Kurve. Beim Abwickelungsprozeß geht hiernach die Rückkehrkurve c der abwickelbaren Fläche in eine ebene Kurve c0 über, die mit jener an entsprechenden Stellen stets die gleiche Krümmung zeigt, da ja Kurvenelement und Kontingenzwinkel dabei ungeändert bleiben (vergl. Fig. 294).

452. Während die Krümmung der Rückkehrkurve beim Abwickeln ungeändert bleibt, erfährt die Krümmung aller andern Kurven der Fläche eine Änderung, und wir wollen uns fragen, in welcher Beziehung der Krümmungsradius r im Punkte P einer Kurve k der abwickelbaren Fläche zum Krümmungsradius r0 des Punktes P0 der abgewickelten Kurve k0 steht (Fig. 295). Sind P und Q benachbarte Punkte von k, t und u die zugehörigen Tangenten, e und f die durch P resp. Q verlaufenden Erzeugenden, und haben P0, Q0, t0, u0, e0,f0 die analoge Bedeutung für die Abwickelung in der Ebene, so hat man: r:r0 =s„:«, wo i_tu=i und L_ t0u0= e0 ist; denn es ist ja PQ = P0Qir Bei der Abwickelung ändert sich nun die Lage von u gegen t dadurch, daß die Gerade u eine unendlich kleine Drehung um e macht, bis sie in die Ebene te zu liegen kommt: diese Drehung können wir durch eine Projektion ersetzen, indem wir u senkrecht auf die Ebene te nach u projizieren, der hierbei entstehende Fehler ist ja von höherer Ordnung unendlich klein; es ist demnach i_ tu= L. t0u0= e0. Nun ist aber i_tu'= Jl tu. cos v,

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Fig. 295.

wenn v den Neigungswinkel der Ebene tu gegen die Ebene te bedeutet; denn ist die Ebene UU'T J_ t, so ist i_ UTU' = v und also ig s0 = tg s. cos v. Wir können mithin sagen: Der Krümmungsradius r einer Kurve der abwickelbaren Fläche in einem ihrer Punkte ist gleich dem Krümmungsradius r0 der abgewickelten Kurve im entsprechenden Punkte multipliziert mit cos v, wenn v den Neigungswinkel der Schmiegungsebene jener Kurve mit der Tangentialebene der Fläche in dem genannten Punkte bedeutet.

Ist der Neigungswinkel v = R, d. h. steht die Schmiegungsebene der Kurve k an der betreffenden Stelle P auf der Tangentialebene der abwickelbaren Fläche senkrecht, so wird in der Projektion t_ tu 0 und es besitzt k0 in P0 einen Wendepunkt; in der That giebt auch die Formel: r0 = r:cosf den Wert r0 = oo.

453. Eine Kurve der abwickelbaren Fläche, die bei der Abwickelung in eine Gerade übergeht, heißt geodätische Linie. Wie die Gerade in der Ebene, so ist die geodätische Linie auf der Fläche die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte. Aus dem Vorausgehenden ergiebt sich, daß in jedem Punkte einer geodätischen Linie die Schmiegungsebene auf der Tangentialebene der Fläche senkrecht steht. Diese Eigenschaft besitzt die geodätische Linie auf jeder beliebigen krummen Oberfläche.

454. Zu jeder Raumkurve gehört eine ebene Kurve, die mit ihr in allen entsprechenden Punkten gleiche Krümmung hat; letztere entsteht aus der ersteren durch Abwickelung ihrer abwickelbaren Fläche, wobei ja Bogenelement e und Kontingenzwinkel e der Rückkehrkurve ungeändert bleiben. Zu jeder Paumkurve gehört aber auch ein bestimmter Kegel — Richtkegel — den man erhält, indem man durch einen beliebigen Punkt O zu den Erzeugenden der abwickelbaren Fläche die Parallelstrahlen zieht. Hierdurch werden zugleich die Tangentialebenen des Kegels zu den entsprechenden Schmiegungsebenen der Raumkurve parallel, so daß Kontingenzwinkel £ und Torsionswinkel t] der Raumkurve bezw. mit dem Winkel benachbarter Erzeugenden und Tangentialebenen des Richtkegels übereinstimmen.

455. Wir haben bereits gesehen, daß die Schmiegungsebenen einer Raumkurve ihre abwickelbare Fläche umhüllen. Es kann demgemäß die abwickelbare Fläche als Hüllnäche aller Lagen einer bewegten Ebene erzeugt werden. Je zwei benachbarte Ebenen schneiden sich in einer Erzeugenden der Fläche, je drei benachbarte Ebenen in einem Punkte ihrer Rückkehrkurve. So bestimmen

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