(vergl. Fig. 291). Macht man noch DF = LK und FG || AE, so wird:

wendet werden, bei Kegelschnitten die in 378 bis 388 angeführten Konstruktionen des Krümmungsradius abzuleiten.

Rektifikation von Kurven.

445. Unter der Rektifikation eines Kurvenbogens versteht man die Bestimmung seiner wahren Länge gemessen durch eine geradlinige Strecke, wie sie sich z. B. ergiebt, wenn der Kurvenbogen auf einer geraden Linie ohne zu gleiten abrollt. Bei unseren Aufgaben handelt es sich darum, einen Kurvenbogen näherungsweise zu rektifizieren, indem man auf der Kurve eine Reihe von Punkten in geringer gegenseitiger Entfernung annimmt, je zwei aufeinanderfolgende durch eine Sehne verbindet und nun die Länge des gebrochenen Linienzuges der Sehnen bestimmt. Dieser giebt dann annäherungsweise die gesuchte Bogenlänge und zwar müßte das Resultat um so genauer werden, je dichter man die Punkte auf der Kurve wählt. Nimmt man die gegenseitige Entfernung unendlich klein, so stimmt die Bogenlänge mit der Länge des gebrochenen Linienzuges überein, da ein unendlich kleiner Bogen und seine Sehne sich nur um eine unendlich kleine Größe 3. Ordnung unterscheiden. Bei der praktischen Durchführung einer Rektifikation trägt man in den Kurvenbogen, von einem Endpunkte ausgehend, lauter gleiche kleine Sehnen

ein und dann diese (in der gleichen Anzahl) auf einer Graden auf. Die Länge der gleichen Sehnen ist natürlich verschieden zu wählen, je nach der Stärke der Krümmung des Kurvenbogens; bei stärkerer Krümmung wählt man die Sehnen kleiner, bei schwächerer Krümmung größer. Nach Untersuchungen von Chr. Wiener17) ist es bei der Rektifikation eines Kreises von 2, 6, 10, 20 cm Durchmesser zweckmäßig eine Sehnenlänge von, 16, 20, 27 des Durchmessers zu verwenden; dieses liefert einen Anhaltepunkt auch für andere Rektifikationen.

Eine besondere Bedeutung hat die Rektifikation eines Kreises; der Kreisumfang ist gleich 2πr, wor den Radius und л die Zahl 3,14159. . . bedeutet. Man darf also annehmen, daß der Kreisumfang angenähert gleich 3 Durchmesser ist; der Fehler beträgt bei 10 cm Durchmesser nur etwa mm. Bei Kreisen mit wesentlich größeren Durchmessern wird man einen genaueren Wert für die Zahl л einsetzen müssen.

Raumkurven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen.

446. Bewegt sich ein Punkt im Raume (ohne in einer und derselben Ebene zu bleiben), so beschreibt er eine Raumkurve, die hier als eine Aufeinanderfolge von Punkten erscheint. Zwei benachbarte, unendlich nahe Lagen des bewegten Punktes bestimmen ein Kurvenelement und eine Tangente, nämlich die Gerade, die das Kurvenelement enthält; die zwei unendlich nahen Punkte der Kurve fallen mit dem Berührungspunkte der Tangente zusammen. Die Tangente kann demgemäß als Grenzlage einer Sehne der Raumkurve angesehen werden. Läßt man den einen Endpunkt P einer Sehne fest, während man den andern Q sich auf der Raumkurve fortbewegen und schließlich mit dem festen Endpunkt zusammenfallen läßt, so geht die Sehne in der Grenzlage in die Tangente im Punkte P über. Jede Ebene durch die Tangente t in P ist eine Tangentialebene der Raumkurve. Legt man eine solche Tangentialebene durch einen in der Nähe von P befindlichen Punkt R der Raumkurve und läßt R sich nach P bewegen, so nimmt die Ebene durch t eine gewisse Grenzlage an, sie wird zur Schmiegungsebene. Während die Raumkurve bei einer gewöhnlichen Tangentialebene in der Nähe des Berührungspunktes ganz auf einer Seite dieser Ebene liegt, durchsetzt sie die Schmiegungsebene im Berührungspunkte; denn dieser entsteht ja durch Vereinigung des Berührungspunktes mit einem Schnittpunkt einer Tangentialebene. Die Schmiegungs

ebene enthält zwei benachbarte Kurvenelemente oder drei benachbarte Kurvenpunkte; sie kann auch als Grenzlage einer Ebene gewonnen werden, die durch drei nahe bei einander liegende Kurvenpunkte P, Q, R geht, wenn diese sich vereinigen.

Steht eine Gerade auf einer Tangente im Berührungspunkte senkrecht, so heißt sie Normale; alle Normalen in einem Punkte der Raumkurve liegen in einer Ebene, der Normalebene. Die Normale in der Schmiegungsebene heißt Hauptnormale, die auf ihr senkrechte Normale die Binormale; die Ebene durch Tangente und Binormale nennt man rektifizierende Ebene.

447. Bewegt sich ein Punkt auf der Raumkurve, so führen gleichzeitig die zugehörige Tangente und die zugehörige Schmiegungsebene Bewegungen aus, und zwar dreht sich die Tangente stets um den bezüglichen Berührungspunkt in der Schmiegungsebene und die Schmiegungsebene um die bezügliche Tangente. Denken wir uns zunächst ein kleines aber endliches Stück PQ der Raumkurve, so erhalten wir eine bestimmte Bogenlänge, einen bestimmten Winkel der Endtangenten und einen bestimmten Winkel der Schmiegungsebenen in den Endpunkten. Lassen wir den Bogen AB unendlich klein werden, so tritt gleiches für den Winkel der Tangenten und den Winkel der Schmiegungsebenen ein, falls die Kurve stetig ist, wie wir voraussetzen wollen. Im allgemeinen d. h. abgesehen von einzelnen Punkten sind nun die Verhältnisse der genannten drei unendlich kleinen Größen endlich. Zu dem Bogenelement e gehört hiernach ein bestimmter Kontingenzwinkel &, Winkel benachbarter Tangenten, und ein bestimmter Torsionswinkel 7, Winkel benachbarter Schmiegungsebenen.

η

e

Das Verhältnis k

=

ε

e

wird wie bei den ebenen Kurven als Krümmung, das Verhältnis T= als Torsion der Raumkurve an der betreffenden Stelle bezeichnet. Wie bei den ebenen Kurven giebt es ferner durch drei benachbarte Punkte der Raumkurve einen Krümmungskreis, er liegt in der zugehörigen Schmiegungsebene und sein Mittelpunkt auf der Hauptnormale.

448. Bei der angeführten Bewegung beschreibt die Tangente eine geradlinige Fläche, welche die zur Raumkurve gehörige abwickelbare Fläche oder kurz die abwickelbare Fläche der Raumkurve genannt wird; die Tangenten der Raumkurve heißen die Erzeugenden der Fläche. Gleichzeitig führt die zugehörige Schmiegungsebene eine solche Bewegung aus, daß sie die abwickel

bare Fläche in allen ihren Lagen umhüllt; das will sagen, daß jede Schmiegungsebene die abwickelbare Fläche längs der in ihr liegenden Tangente der Raumkurve berührt. Um die Richtigkeit des Gesagten zu erkennen, ist es nötig, näher auf die gegenseitige Lage benachbarter Tangenten und Schmiegungsebenen einzugehen (Fig. 292). Seien P und P1 zwei benachbarte Punkte unserer Raumkurve, t und t, die zugehörigen Tangenten, Σ und Σ1 die Schmiegungsebenen, und PP, s die Sekante. Dann ist nach 418 der Abstand des Punktes P1 von der Schmiegungsebene Σ unendlich klein von der 3. Ordnung; ganz ebenso ist der Abstand der Tangenten und t1 unendlich klein 3. Ordnung, denn die Ebenen durch und s resp. t, und s schließen einen unendlich kleinen Winkel ein und zugleich sind ts, ts und PP, von der 1. Ordnung unendlich klein. Ziehen wir auf der abwickelbaren Fläche eine Kurve, die t und in den benachbarten Punkten Q und Q, schneidet, so ist das Lot QQ', gefällt von Q, auf Σ unendlich klein 2. Ordnung (nach 418), folglich schließt QQ, mit Σ einen unendlich kleinen Winkel ein, und wir können deshalb sagen, daß die Tangente der auf der abwickelbaren Fläche gezogenen Kurve im Punkte P in die Schmiegungsebene fällt (in der Figur ist eine Hilfsebene E durch QQ, senkrecht zu Σ benutzt). Die Schmiegungsebene Σ tangiert also wirklich die abwickelbare Fläche längs ihrer Erzeugenden t.

449. Die Raumkurve bildet auf der zugehörigen abwickelbaren Fläche eine Rückkehrkurve oder Rückkehrkante, d. h. jeder ebene Schnitt der abwickelbaren Fläche weist in den Durchstoßpunkten mit der Raumkurve Rückkehrpunkte oder Spitzen auf. In der That, schneidet eine Ebene E die Raumkurve c in S (Fig. 293) und läßt man einen Punkt auf dieser fortwandern, wobei er auch die Lage S passiert, dann liefert die zu dem wandernden Punkte zugehörige Tangente und Schmiegungsebene die Punkte und Tangenten

der Schnittkurve u von E mit der abwickelbaren Fläche. Passiert der bewegte Punkt die Lage S, so behalten Tangente und Schmiegungsebene ihren Drehsinn bei falls S ein gewöhnlicher Punkt der Raumkurve ist. Demnach behält auch die Tangente der ebenen. Schnittkurve ihren Drehsinn bei, dagegen ändert der sie beschreibende Punkt in S seinen Fortschreitungssinn. Denn bezeichnen wir die beiden Teile der Tangente einer Raumkurve, vom Berührungspunkte aus gerechnet, als positiv und negativ, so wird der eine Teil der Schnittkurve bis zum Punkte S hin von dem positiven Teile der bewegten Tangente beschrieben, der andere vom negativen Teile, wodurch jene Änderung hervorgebracht wird.

450. Lassen wir nun eine Ebene, welche die abwickelbare Fläche längs einer Erzeugenden berührt, sich auf dieser fortwälzen, wobei wir indes nur einen der beiden Teile der Fläche, die längs der Rückkehrkurve aneinandergrenzen, in Betracht ziehen. Beim Abwälzen oder Abrollen der Ebene auf einem Teile der abwickelbaren Fläche werden die Erzeugenden alle nacheinander zu Berührungslinien der wälzenden Ebene, die sich in jedem Augenblicke um die Berührungslinie ohne zu gleiten dreht. Indem bei dieser Bewegung jeder Punkt der Fläche einmal in die wälzende Ebene. fällt, liefert jede Erzeugende und jede Kurve unserer Fläche eine Gerade respektive eine Kurve in der wälzenden Ebene, sie werden. als die Abwickelungen jener Gebilde bezeichnet. Natürlich kann auch die Ebene festgehalten und die abwickelbare Fläche ohne Gleiten auf ihr abgewälzt werden, was offenbar darauf hinauskommt, daß der eine Teil einer abwickelbaren Fläche ohne Dehnung oder Zerreißung und ohne Stauchung oder Faltung. in einer Ebene ausgebreitet werden kann. Um sich die geschilderten Vorgänge völlig klar zu machen, denke man sich auf der abwickelbaren Fläche eine Reihe von Erzeugenden ttt... t... gezogen, die einander benachbart sind, deren Winkel 812 Lt1ty, 823 Lty tz... also unendlich klein sind. Würde nun jede Erzeugende die vorhergehende schneiden, so würden sie die Verlängerungen der Seiten eines räumlichen Polygons bilden und damit die Abwickelbarkeit in eine Ebene unmittelbar klar sein. Denn dazu gehört nur, daß man die Winkel, die je zwei aufeinanderfolgende Flächenelemente t1t2, t2l, tzt... einschließen, zu 2 R ausstreckt, so daß alle Elemente in die nämliche Ebene zu liegen kommen. Der Flächenstreifen zwischen zwei Erzeugenden, etwa t, und t2, der abwickelbaren Fläche ist nun an und für sich nicht eben, da jedoch die gemeinsame Normale von t1 und t, unendlich klein von der

=

=