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Teil der Grundrißebene (TT) in den oberen Teil der Aufriẞebene (+П2) zu liegen kommt (Fig. 26).

man sich auch diese mit П

Π

+

Thi

Ist eine Seitenrißebene П, zur Anwendung gekommen, so denkt vereinigt und zwar durch eine solche Drehung um die Achse z, daß die vordere Halbebene ПT, die linke Halbebene П, deckt. In Fig. 27a und 276 sind die- jenigen Quadranten der drei Projektionsebenen, welche den oben, vorn und rechts gelegenen Raumoktanten begrenzen (in dem alle drei Tafelabstände eines Punktes P positiv sind), vor und nach ihrer Umlegung in die Bildebene dargestellt.

x

Fig. 26.

Durch die getroffenen (an

sich willkürlichen) Festsetzungen über die Anordnung der verschiedenen Projektionen einer Figur in der Zeichnungsebene ist umgekehrt der Übergang von diesen zu ihrer Konstruktion im Raume eindeutig festgelegt.

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38. Zur leichteren Orientierung in den Figuren dient außer der Bezeichnung ihrer Punkte, Linien und Flächen durch Buchstaben die folgende Regel für das Zeichnen der Linien. In jeder Figur sind hauptsächliche und nebensächliche Linien zu unterscheiden; zu der ersteren gehören die bei der Problemstellung gegebenen und gesuchten Linien, sowie die Achse der Projektion, zu den letzteren die nur Konstruktionszwecken dienenden

Hilfslinien. Die Projektion einer jeden Hauptlinie wird voll ausgezogen, soweit letztere selbst im vorderen, oberen Raumquadranten liegt und sichtbar ist; anderenfalls wird sie punktiert. Nebenlinien werden - ob sichtbar oder unsichtbar gestrichelt oder strichpunktiert. Für die Beurteilung der Sichtbarkeit ist zu bemerken, daß alle vorkommenden Flächen, ebenso wie die Projektionstafeln als undurchsichtig gelten, sowie daß die Sehrichtung den projizierenden Strahlen in ihrer ursprünglichen Lage folgt und zwar für П, von oben nach unten, für П von vorn nach hinten.

Bei der Abbildung allseitig begrenzter Objekte denkt man sich diese zweckmäßig ganz in dem oberen, vorderen Raumquadranten gelegen, wodurch die Darstellung an Übersichtlichkeit gewinnt.

Darstellung der Grundgebilde: Punkt, Gerade, Ebene in verschiedenen Lagen.

Wir nehmen die oben geforderte Umlegung der einen Projektionsebene in die andere als vollzogen an nnd betrachten alle möglichen Lagen von Punkten, Geraden und Ebenen gegen das ursprüngliche System und die entsprechende Anordnung ihrer Projektionen resp. Spuren in der Zeichnungsebene.

39. Der Punkt. Die Projektionen P' und P" eines Punktes P liegen in einer zur Achse senkrechten Geraden. (Fig. 28). Umgekehrt bilden je zwei Punkte P' und P", deren Verbindungslinie zur Achse senkrecht ist,

die beiden Projektionen eines Raumpunktes P. Aus einer derselben wird P mittels seines senkrechten Abstandes von der betreffenden Tafel konstruiert. Der Punkt P liegt senkrecht über P' im Abstand

PP PP, oder senkrecht vor P"

=

im Abstand PP" = P'P ̧.

P liegt über, auf oder unter П1,

Pr

Fig. 28.

je nachdem P" oberhalb, auf oder unterhalb der Achse liegt, und befindet sich zugleich vor, auf oder hinter ПT,, je nachdem P' unterhalb, auf oder oberhalb der Achse liegt. Die so unterschiedenen Lagen eines Punktes sind in Fig. 29 dargestellt. Die Punkte P1, P3, P, P, gehören resp. dem oben vorn, unten vorn, oben hinten,

9

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

3

unten hinten liegenden Raumquadranten, die Punkte P2, P1, PË,

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8

P Halbebene + π2, - П2,

resp. der
+ π1,

17

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endlich P der

Achse x an.

40. Aus den beiden ersten Projektionen P' und P" eines Punktes P leitet man die dritte P" mit Hilfe der

Fußpunkte P1 und P. der von P"" auf die Nebenachsen y und z gefällten Perpendikel ab (Fig. 30). Mit Rücksicht auf den in jeder Achse festgesetzten Sinn der von 0 ausgehenden Strecken stimmen OP und OP. nach Größe und Vorzeichen mit dem

Py

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2

y

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Die beiderlei Projektionen der Punkte in der ersten Halbierungsebene H1, welche durch den oben vorn und den unten hinten liegenden Raumquadranten geht, liegen nach Vereinigung der Tafeln symmetrisch zur Achse, die Projektionen der Punkte in der zweiten Halbierungsebene H2 fallen zusammen.

42. Die Gerade. Die Projektionen g' und g" einer Geraden 9 sind zwei gerade Linien, deren Punkte paarweise als die beiden Projektionen eines Raumpunktes zusammengehören und auf zur Achse senkrechten Geraden liegen. Hieraus folgt: Falls eine der Projektionen zur Achse rechtwinklig steht (also g in einer Normalebene zu z liegt), fallen

beide Projektionen in die nämliche Gerade. Steht die Gerade auf einer Projektionsebene senkrecht, so ist die eine Projektion ein Punkt und die andere eine Senkrechte zur z-Achse durch diesen Punkt. Umgekehrt können je zwei (getrennte oder zusammenfallende) Gerade g' und g', sofern nur keine von ihnen auf der Achse senkrecht steht, als die beiden Projektionen einer bestimmten Geraden g des Raumes betrachtet werden, die man nach dem Früheren als Schnitt der durch g' und g′′ gelegten projizierenden Ebenen erhalten kann.

43. Jeder der beiden Spurpunkte von g fällt mit seiner gleichnamigen Projektion zusammen, während die

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ungleichnamige auf der Achse liegt.

a)

Demnach findet man G1 auf g', indem man auf der Achse in ihrem Schnittpunkt mit g" eine Normale errichtet; analog findet sich G2. Umgekehrt sind durch die Spuren G1 und G, die Fußpunkte G1" und G, der von ihnen auf die Achsen gefällten Lote und die Projektionen von g als die Verbindungslinien g' G1 G2′ und g′′= G2G," bestimmt. Die von den Spurpunkten begrenzte Strecke GG, der Geraden g kann in jedem der von den Tafeln gebildeten Raumquadranten liegen. Diese vier Lagen der Geraden sind in den Figuren 31 a, b, c, d dar

=

2 1

gestellt. Ist in einer der Tafeln die Projektion von g der Achse parallel, so liegt in der anderen der Spurpunkt unendlich fern, folglich ist g selbst letzterer parallel. Mit g' und g" wird zugleich g

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P

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G2

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P'

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y

g'

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G

y Fig. 32.

gegebene Vertikale fallen, wird

der Achse parallel. Die Darstellung solcher Spezialfälle durch Figuren ist dem Leser überlassen.

Liegen g' und g" symmetrisch zur Achse, so ist dies auch für die beiden Projektionen eines jeden Punktes der Geraden g der Fall; letztere fällt daher in die erste Halbierungsebene H,. Fallen g' und g', mithin Grundriß und Aufriß eines jeden Punktes von g aufeinander, so gehört g der zweiten Halbierungsebene H2 an.

44. Eine senkrecht zur Achse gezogene Gerade tritt nur als Projektion einer rechtwinklig zu x gerichteten Geraden g auf, und enthält daher gleichzeitig beide Projektionen g' und g". Durch die Annahme, daß g' und g" in eine aber lediglich die g enthaltende

Normalebene zur Achse fixiert; es bleibt also noch die Lage von g

in dieser Ebene zu bestimmen.

Ex

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Hierzu kann die zu g parallele Seitenprojektiong" dienen, deren Verzeichnung gemäß der früher für die Umlegung der Seitenriẞebene П in die Zeichnungsebene gegebenen Vorschrift erfolgt. Die Spurpunkte G, und G2 findet man auf g′ = g'", wenn man in den Schnittpunkten von g"" mit den Nebenachsen y und z Normale zu diesen errichtet (Fig. 32). Bei direkter Angabe im allgemeinen entbehrlich; nur wenn G, und G2 in einen Punkt der Achse zusammenfallen, also g diese selbst schneidet, ist g"" unumgänglich. Wenn im besonderen

Fig. 33.

von G, und G, wird der Seitenriß g""

einer der Spurpunkte G1 und G2 unendlich fern liegt, steht g im anderen

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