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barte Kurvenelemente in dieselbe Gerade fallen, die Tangente im Wendepunkte enthält drei konsekutive Kurvenpunkte und der zugehörige Krümmungsradius ist unendlich groß. Die Evolute hat also die bezügliche Normale zur Asymptote.

Aus analogen Gründen oder aus dem Prinzip der Dualität schließen wir, daß bei gleichen Kontingenzwinkeln — wobei dann die Kurvenelemente ungleich sind — in einem Rückkehrpunkte

das Kurvenelement gleich Null wird. Hieraus ersieht man, daß der Rückkehrpunkt ein spezieller Fall des Doppelpunktes ist, in dem zwei konsekutive Kurvenpunkte zusammenfallen. Durch den Rückkehrpunkt gehen drei konsekutive Tangenten und der zugehörige Krümmungsradius ist Null, die Evolute berührt also die Kurvennormale in der Spitze. Bei der Schnabelspitze — die eigentlich eine Vereinigung von Wendepunkt und Rückkehrpunkt ist — wählt man eine Hilfsvariable, von der die Lage des beschreibenden Kurvenpunktes gesetzmäßig abhängt, und läßt sie sich um gleiche unendlich kleine Größen ändern. Unendlich kleinen Änderungen der Hilfsvariabeln entsprechen im allgemeinen Kurvenelemente und Kontingenzwinkel, die zu jener Anderung in einem endlichen Verhältnisse stehen. Für den Wendepunkt wird das letztere, für den Rückkehrpunkt das erstere Verhältnis gleich Null; für die Schnabelspitze werden beide Verhältnisse unendlich klein, doch wird der Quotient von Kontingenzwinkel und Kurvenelement endlich bleiben, und somit ist auch der Krümmungsradius für die Schnabelspitze endlich. Die Evolute hat die zugehörige Normale zur Wendetangente, da ja die Tangente der Evolute, d. h. die Normale der Kurve c in der Schnabelspitze rückläufig wird (Fig. 288).

443. Die Aufgabe: den Krümmungskreis für einen Punkt einer gegebenen Kurve zu konstruieren, kann nur bei wenigen Kurven im Anschlusse an ihre geometrische Definition genau gelöst werden, wie wir das bereits bei den Kegelschnitten gesehen baben und noch bei einigen weiteren Kurven später sehen werden. Indessen kann man bei einer Kurve, die gezeichnet vorliegt, den Krümmungskreis mit ziemlicher Genauigkeit durch bloßes Probieren finden, indem man für den betreffenden Punkt zunächst die Normale zeichnet und dann denjenigen unter den berührenden Kreisen auswählt, der die Kurve im Berührungspunkte durchsetzt. Man muß dann bei geringer Variation des Radius Kreise erhalten, die die Kurve an der gegebenen Stelle berühren und außerdem ganz nahe dabei noch schneiden. Dieser weitere Schnittpunkt liegt auf der einen oder andern Seite des Berührungspunktes, je nachdem der Radius größer oder kleiner als der gesuchte Krümmungsradius ist und gerade auf diesem Umstande beruht die verhältnismäßig gute Genauigkeit.

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Man kann die oben beschriebene Methode des Probierens noch etwas vervollkommnen, indem man vier die Kurve c im Punkte P berührende Hilfskreise kv h2, k3, benuzt und eine Fehlerkurve zeichnet. Wählt man auf c in der Nähe von P vier Punkte und zwar Qx, Q2 auf der einen, Q3, Qi auf der andern Seite von P, und zeichnet vier Kreise kv k2. k3, A4 durchP und durch , Q2, Q3,Q4 respektive, so sind ihre Mittelpunkte Mv Pig. 289. M2, M3, 31^ die Schnittpunkte der

Normalen n mit den Mittelsenkrechten der Sehnen PQx, . . . PQV Zieht man nun durch Mv . . . Mi Parallele und trägt auf ihnen

= PQx, M2N2 = PQV M3N3 = PQ3, M,N,= PQ,

respektive auf (wobei M^, M2N2 gleiche, M3N3, MiNi die entgegengesetzte Richtung erhalten), so definieren die Punkte Nv N2, N3, Ni eine Fehlerkurve, die offenbar die Normale n im Krümmungsmittelpunkte M schneidet.

444. Wir wollen uns noch fragen, in welcher Beziehung die Krümmung einer ebenen Kurve zu der ihres perspektiven Bildes steht. Nehmen wir an, die zu Grunde gelegte Kurve sei c, ihr perspektives Bild c, O sei das Centrum und a die Achse der Perspektive (Fig. 290). Dabei können wir voraussetzen, daß die Kurve c und ihr Bild c in der gleichen Ebene liegen. PPx = e sei ein Element von c, t und tx seien die Tangenten in P resp. Px und ä die Sekante PPx; diese Geraden mögen die Achse a in den

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(vergl. Fig. 291). Macht man noch BF= LK und FG \\ AE, so wird: r:r'= FG : LP; wonach sich r leicht konstruiert

{FM = LP, JF=r, FJV = r). Die obige Beziehung r : r wurde zuerst von Geisenheimerj6) aufgefunden; sie erleidet einige Vereinfachungen, wenn man statt der Centralprojektion die Parallelprojektion, insbesondere die orthogonale Projektion zu Grunde legt. Die

vorliegende Beziehung ^ kann auch dazu ver- 291. wendet werden, bei Kegelschnitten die in 378 bis 388 angeführten Konstruktionen des Krümmungsradius abzuleiten.

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Rektifikation von Kurven.

445. Unter der Rektifikation eines Kurvenbogens versteht man die Bestimmung seiner wahren Länge gemessen durch eine geradlinige Strecke, wie sie sich z. B. ergiebt, wenn der Kurvenbogen auf einer geraden Linie ohne zu gleiten abrollt. Bei unseren Aufgaben handelt es sich darum, einen Kurvenbogen näherungsweise zu rektifizieren, indem man auf der Kurve eine Reihe von Punkten in geringer gegenseitiger Entfernung annimmt, je zwei aufeinanderfolgende durch eine Sehne verbindet und nun die Länge des gebrochenen Linienzuges der Sehnen bestimmt. Dieser giebt dann annäherungsweise die gesuchte Bogenlänge und zwar müßte das Resultat um so genauer werden, je dichter man die Punkte auf der Kurve wählt. Nimmt man die gegenseitige Entfernung unendlich klein, so stimmt die Bogenlänge mit der Länge des gebrochenen Linienzuges überein, da ein unendlich kleiner Bogen und seine Sehne sich nur um eine unendlich kleine Größe 3. Ordnung unterscheiden. Bei der praktischen Durchführung einer Rektifikation trägt man in den Kurvenbogen, von einem Endpunkte ausgehend, lauter gleiche kleine Sehnen ein und dann diese (in der gleichen Anzahl) auf einer Graden auf. Die Länge der gleichen Sehnen ist natürlich verschieden zu wählen, je nach der Stärke der Krümmung des Kurvenbogens; bei stärkerer Krümmung wählt man die Sehnen kleiner, bei schwächerer Krümmung größer. Nach Untersuchungen von Chr. Wienerj7) ist es bei der Rektifikation eines Kreises von 2, 6, 10, 20 cm Durchmesser zweckmäßig eine Sehnenlänge von y1^, -fa, des Durchmessers zu verwenden; dieses liefert einen Anhaltepunkt auch für andere Rektifikationen.

Eine besondere Bedeutung hat die Rektifikation eines Kreises; der Kreisumfang ist gleich 2nr, wo r den Radius und 7i die Zahl 3,14159 . . . bedeutet. Man darf also annehmen, daß der Kreisumfang angenähert gleich 3f Durchmesser ist; der Fehler beträgt bei 10 cm Durchmesser nur etwa £ mm. Bei Kreisen mit wesentlich größeren Durchmessern wird man einen genaueren Wert für die Zahl n einsetzen müssen.

Raumkurven und ihre Projektionen; abwickelbare Flächen.

446. Bewegt sich ein Punkt im Raume (ohne in einer und derselben Ebene zu bleiben), so beschreibt er eine Raumkurve, die hier als eine Aufeinanderfolge von Punkten erscheint. Zwei benachbarte, unendlich nahe Lagen des bewegten Punktes bestimmen ein Kurvenelement und eine Tangente, nämlich die Gerade, die das Kurvenelement enthält; die zwei unendlich nahen Punkte der Kurve fallen mit dem Berührungspunkte der Tangente zusammen. Die Tangente kann demgemäß als Grenzlage einer Sehne der Raumkurve angesehen werden. Läßt man den einen Endpunkt P einer Sehne fest, während man den andern Q sich auf der Raumkurve fortbewegen und schließlich mit dem festen Endpunkt zusammenfallen läßt, so geht die Sehne in der Grenzlage in die Tangente im Punkte P über. Jede Ebene durch die Tangente t in P ist eine Tangentialebene der Raumkurve. Legt man eine solche Tangentialebene durch einen in der Nähe von P befindlichen Punkt R der Raumkurve und läßt R sich nach P bewegen, so nimmt die Ebene durch t eine gewisse Grenzlage an, sie wird zur Schmiegungsebene. Während die Raumkurve bei einer gewöhnlichen Tangentialebene in der Nähe des Berührungspunktes ganz auf einer Seite dieser Ebene liegt, durchsetzt sie die Schmiegungsebene im Berührungspunkte; denn dieser entsteht ja durch Vereinigung des Berührungspunktes mit einem Schnittpunkt einer Tangentialebene. Die Schmiegungs

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