= nun A, ein Punkt von a in der Nähe von 4, so schneidet OA2 den Kreis mit dem Mittelpunkt A, und dem Radius o in dem Kurvenpunkte P2. Eine Parallele zu a durch P1 schneidet jene Gerade 04, im Punkte N und diesen Kreis im Punkte M, wo MP, 4,41 ist, (Ã1P1 = ÂM AM). Es ist aber MP1: NP1 =  ̧Â1: NP1 = 2O: P10 von der Lage des Strahles OP2 unabhängig, repräsentiert also zugleich den Grenzwert. Wir bestimmen deshalb auf der Parallelen zu a durch P1 die Punkte M' und N' so, daß M'P1 1 1 = 4,0 und N'P1 = P10 ist, dann liefern QM' 1 P10 und QN' || P1O den Punkt Q der gesuchten Tangente. 432. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einem festen Kreise struktion offenbar nur insofern ab, als wir im Punkte P1 eine Parallele zur Tangente des Kreises a im Punkte 4, ziehen. Auf dieser Parallelen bestimmen sich M' und N' wieder wie vorher und ebenso auch Q. 433. Zum Schluß mag hier noch eine Anwendung auf eine große Klasse von Kurven gemacht werden, die eine gemeinsame Entstehungsweise haben. Sind zwei beliebige Kurven u und v gegeben und bewegt man einen Winkel so, daß seine Schenkel fortwährend die Kurven u resp. v berühren, so beschreibt sein. Scheitel eine Kurve. Als Hilfskurven, die sich in den Punkten unserer Kurve c schneiden, treten hier einerseits die Tangenten von u, andererseits diejenigen von v auf. Die folgende Konstruktion ist demnach nur dann anwendbar, wenn man an die Kurven u und v bequem Tangenten legen kann. Zwei benachbarte Tangenten von u und die entsprechenden benachbarten Tangenten von v schließen nun den gleichen unendlich kleinen Winkel ein; das von ihnen gebildete unendlich kleine Viereck kann als Parallelogramm angesehen werden, da sich seine Gegenseiten nur um unendlich kleine Größen 2. Ordnung unterscheiden. Berühren die Tangenten, die sich in dem Kurvenpunkt P, schneiden, die Kurven u und v resp. in A und B, so ist der Abstand der Parallelogrammseiten, die u berühren, gleich P1A. 8, ebenso der Ab Kurvenu und v Kreise, so gelangt man wieder zu der Pascal'schen Schnecke, wie eine einfache Überlegung zeigt. Dabei können irgend zwei Kreise, die die Pascal'sche Schnecke zweimal berühren, als Ausgangskurven gewählt werden. Krümmung der Kurven, Evoluten. 434. Eine Kurve ist in einem Punkte um so mehr gekrümmt, je rascher sie sich von der Tangente in jenem Punkte entfernt. Ein Kreis zeigt in allen seinen Punkten die gleiche Krümmung, denn er verhält sich gegen alle seine Tangenten in gleicher Weise. Es wird mithin geeignet sein, die Krümmung der Kurven in ihren einzelnen Punkten durch diejenige entsprechender Kreise zu messen. Die Definition der Krümmung bei einem Kreise werden wir nun so 1 Die Bewegung eines Winkels von einer Lage in seine Nachbarlage kann auch durch Drehung um den unendlich kleinen Winkel & geschehen, wobei der auf dem Kreise durch ABP1 dem P1 diametral gegenüberliegende Punkt O fest bleibt (Momentancentrum). = 1 einzurichten haben, daß sie sowohl für endliche, als auch für unendlich kleine Bogenstücke des Kreises ihre Gültigkeit behält. Unter der Krümmung k verstehen wir beim Kreise den. reciproken Wert seines Radius r, also: k Ist aber die Länge eines Kreisbogens und der zugehörige Centriwinkel, so 1 γ hat man: k == ; und diese letztere Definition gilt auch dann noch, wenn der Kreisbogen und damit der zugehörige Centriwinkel unendlich klein werden. Die Schenkel des genannten Centriwinkels sind aber nichts. anderes als die Normalen in den Endpunkten des Kreisbogens 1, und der Winkel dieser Normalen ist gleich dem Winkel der Tangenten in den Endpunkten des Bogens l. Daher läßt sich unsere Erklärung sofort auf beliebige Kurven übertragen, bei denen sich freilich die Krümmung von Stelle zu Stelle ändert. Man nennt nämlich den Ausdruck: k = die mittlere Y 1 Krümmung eines Kurvenbogens von der Länge 1, wenn seine Endtangenten den Winkel y einschließen. Fig. 282. Geht man zur Grenze über, indem man den Kurvenbogen unendlich klein, d. h. zum Kurven element e werden läßt, wobei dann der Winkel der Endtangenten zum Winkel zweier Nachbartangenten oder Kontingenzwinkel & wird, so heißt: k die Krümmung der Kurve in dem betreffenden Punkte. 15) = ε e Ändert sich die Krümmung einer Kurve stetig, wenn der zugehörige Punkt sich stetig auf der Kurve fortbewegt, so heißt die Kurve stetig in Bezug auf ihre Krümmung, und nur mit solchen Kurven haben wir es in unseren Problemen zu thun. Auch diese Eigenschaft der Kurven bleibt bei einer Projektion ungeändert. 435. Für das Weitere wird es gut sein, folgende Bemerkungen vorauszuschicken. Ist ein Kurvenbogen AB gegeben und soll man den Winkel der Tangenten in den Endpunkten bestimmen, so verschlägt es nichts, wenn man an Stelle der Tangenten in A und B die Sekanten AA, und BB1 zu Grunde legt, wobei A1 und BB1 unendlich klein sind. Denn diese Sekanten bilden nur einen unendlich kleinen Winkel mit den entsprechenden Tangenten, so daß der begangene Fehler als unendlich kleine Größe gegenüber dem endlichen. Winkel nicht in Betracht kommt. Ist dagegen der Bogen AB bereits unendlich klein, also auch der Winkel der Endtangenten ein un endlich kleiner Kontingenzwinkel, so darf man nur Fehler außer acht lassen, welche von höherer Ordnung unendlich klein sind als der gesuchte Kontingenzwinkel. Teilt man aber den Bogen AB in n Teile und läßt die Zahl n über jede Grenze wachsen, wobei A1 den ersten Teil, BB1 einen gleichen Teil darstellt, so werden ¿♫ und BB unendlich klein von der 2. Ordnung und ebenso die Winkel der Sekanten AA1 und BB1 mit den bezüglichen wirklichen Tangenten. Der Winkel der Sekanten A1 und BB1 unterscheidet sich also nur um eine unendlich kleine Größe 2. Ordnung von dem gesuchten Kontingenzwinkel, und man kann den ersteren an Stelle des letzteren setzen. 436. Berührt ein Kreis eine Kurve in einem Punkt und stimmt daselbst bei beiden die Krümmung der Größe und dem Sinne nach überein, so heißt der Kreis der Krümmungskreis und sein Mittelpunkt der Krümmungsmittelpunkt für den betreffenden Kurvenpunkt. Die gegebene Kurve und der Kreis müssen an der bezüglichen Stelle auf der nämlichen Seite der zugehörigen Tangente liegen und dies soll dadurch ausgedrückt werden, daß wir sagen: die Krümmung beider Kurven stimmt dem Sinne nach überein. In jedem Kurvenpunkte unterscheidet man eine konvexe Seite, nämlich diejenige auf der die zugehörige Tangente liegt, und eine konkave Seite. Bei einer Kurve wird es im allgemeinen einzelne Punkte geben, in denen ein Wechsel der Krümmung eintritt, sind das diejenigen Punkte, die nach 422 als Wendepunkte bezeichnet werden. es 437. Wir können zu dem Krümmungskreis durch einen gewissen Grenzprozeß gelangen und dieser soll uns jetzt etwas näher beschäftigen. Ist der Krümmungskreis im Punkte P der Kurve c zu bestimmen, so fassen wir alle die Kreise ins Auge, die die Kurve in P berühren, deren Mittelpunkte also auf der zugehörigen Normalen n liegen. Wählen wir nun in der Nähe von P auf der Kurve K einen Punkt Q1, so giebt es einen Kreis k der c in P berührt und in Q1 schneidet. Liegt Q1 nahe genug bei P, so wird der Kreis den Kurvenbogen PQ, nicht mehr schneiden und es liegt dieser Bogen Q,P und seine nächste Fortsetzung über P hinaus ganz innerhalb des Kreises k1, wie Fig. 283 zeigt. Ganz ebenso läßt sich ein Kreis k, angeben, der e in einem Punkte Q2 schneidet, wo Q2 in der Nähe von P, aber von Q, durch P getrennt liegt. Der Bogen QP, sowie seine nächste Fortsetzung über P hinaus liegt 2 Fig. 283. 1 hier ganz außerhalb des Kreises k2 und somit liegt auch k2 innerhalb k1. Läßt man jetzt den Punkt Q1 sich stetig nach P hinbewegen, bis er zu P unendlich nahe wird, so nähert sich der Kreis k1 unbegrenzt einer bestimmten Grenzlage k, die nichts anderes als der Krümmungskreis der Kurve c in P sein kann. Ebenso konvergiert der Kreis k2 beim Übergang zur Grenze unbegrenzt gegen k. Dieser Übergang läßt uns zugleich erkennen, daß der Krümmungskreis in seinem Berührungspunkte P von einer Seite der Kurve c auf die andere übertritt, oder wie wir auch sagen können, daß k drei konsekutive Punkte mit der Kurve gemein hat (Berührung 2. Ordnung, Oskulation vergl. 378). Den Beweis für die Richtigkeit unserer Behauptung, daß k der bezügliche Krümmungskreis ist, erbringen wir, indem wir zeigen, daß beim Grenzübergang der Kurvenbogen QP gleich dem Kreisbogen QP und die zugehörigen Kontingenzwinkel ebenfalls einander gleich werden abgesehen von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung. Da die Krümmung in einem Kurvenpunkte gleich dem Quotienten von Kontingenzwinkel und Bogenelement ist, so ist dann die Übereinstimmung der Krümmung von k und c in P bewiesen. 1 438. Die Kurven c und k berühren sich in P, ihre gemeinsame Normale ist n, sie schneiden sich in Q,. Die Kreistangente in Q sei QS, die Kurventangente Q1T, wo S und T auf n liegen, und das Lot von Q, auf n sei Q1N. Nun ist in dem rechtwinkligen Dreieck: NQT offenbar: Q1N< Kurvenbogen Q1P < Q1T. Denn teilt man den Bogen QP in unendlich viele Teile und 1 Fig. 284. zieht durch die Teilpunkte Parallelen zu n, so teilen die Parallelen auch Q1N und QT in unendlich viele Teile. Jedes Element des Kurvenbogens ist aber kleiner als das entsprechende Element von Q,7, da dieses gegen die Parallelen stärker geneigt ist, die Stetigkeit des Bogens QP in Bezug auf die Tangente vorausgesetzt; hieraus ergiebt sich die Richtigkeit unserer Behauptung. Beim Übergang zur Grenze erkennen wir nach 417, daß QT -Q1N von der 3. Ordnung unendlich klein wird, da Q, N und NQ,T von der 1. Ordnung unendlich klein werden. Daraus schließen wir unmittelbar, daß der Kurvenbogen QP und der Kreisbogen QP sich in der Grenze nur um eine unendlich kleine Größe von mindestens 3. Ordnung unterscheiden, denn sie sind beide gleich Q1N bis auf solche Größen. ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 21 |