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Fig. 275.

Man ziehe (Fig. 275) um A als Mittelpunkt mehrere Kreise mit zunehmenden Radien, von denen der größte die gegebene Kurve in zwei nahe bei einander liegenden Punkten CxB^ schneidet. Auch die übrigen Kreise schneiden Punktepaare C2B2, . . . aus und die Mittelpunkte der Sehnen CxBx, C2B2 ... bilden eine Fehlerkurve, die die gegebene Kurve in dem Fußpunkt B der gesuchten Normalen

schneiden muß. Da nämlich die Fehlerkurve der Ort der Mittelpunkte aller Sehnen ist, die durch die Kreise um den Mittelpunkt A bestimmt werden, so muß der Kreis durch B die Kurve in B berühren, sein Radius AB steht also auf der Kreistangente in B, die zugleich Kurventangente ist, senkrechi Man muß mindestens drei Hilfskreise anwenden.

428. Die Konstruktion der Punkte einer ebenen Kurve kommt stets darauf hinaus, daß jeder solche Kurvenpunkt als Schnittpunkt zweier Hilfskurven erscheint, und zwar sind diese Hilfskurven in sehr vielen Fällen Gerade oder Kreise. Es läßt sich nun eine genaue Taugentenkonstruktion bei einer ebenen Kurve auf die zur Bestimmung ihrer Punkte verwendeten Hilfskurven gründen.j4) Seien Px und P2 zwei Punkte unserer Kurve c (Fig. 276), seien ferner kv Zj die Hilfskurven durch Px und h2, l2 diejenigen durch P2, und zwar derart, daß bei einem stetigen Übergange von P2 in Pj die Kurven k2, l2 resp. in kv lx stetig übergehen. Dann betrachten wir das Viereck PxMP^N (wo M = Aj x l2 und N = k2 x IJ, dessen Seiten von

Stücken der Kurven kv h2, lv l2 gebildet werden. Wählen wir nun den Punkt P2 unendlich nahe bei Px, so wird das genannte Viereck unendlich klein; wir können dann seine Seiten als geradlinig ansehen und seine Diagonale PxP2 fällt offenbar mit der Tangente t von c im Punkte Px zusammen. Ferner werden die Kurven kx, k2 — und ganz ebenso die Kurven lx, l2 — in ihrer ganzen Erstreckung nur unendlich wenig voneinander abweichen, deshalb dürfen wir (nach 420) PxM und P2N und analog PxN und P2M als parallel ansehen; denn die Neigungswinkel der Gegenseiten sind unendlich klein. Das Viereck PxMP^ wird also beim Übergang zur Grenze ein Parallelogramm, von dessen Seiten zwei in die Tangenten g und h der Kurven und im Punkte Px fallen. Denken wir uns nun auf der gesuchten Tangente t einen beliebigen Punkt Q und durch ihn Parallelen zu g und h, so entsteht ein Parallelogramm PxM'QN', das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm PxMP^ ähnlich sein und ähnlich liegen muß. Kann man umgekehrt ein Parallelogramm PxM'QN' zeichnen, das zu dem unendlich kleinen Parallelogramm PxMP2N ähnlich ist und ähnlich liegt, so ist Q ein Punkt der gesuchten Tangente t.

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Man zeichne deshalb zunächst die Tangenten g und h; die Parallelen g', h' zu g und h, die einen Punkt Q von t liefern, findet man dann folgendermaßen. Kennt man den Wert, den das Verhältnis MPx: NPx beim Ubergang zur Grenze annimmt, so bestimmt man einfach M' und N' auf g resp. h so, daß MPx: N'Px diesem Grenzwerte gleich wird, dann geht g' durch N' und h' durch M'. Meistens ist es einfacher statt der Punkte M' und N' zwei andere Punkte L' und K' von g' resp. h' zu konstruieren (vergl. Figg. 277, 278). Durch die Kurven und 12 wird auf jeder Geraden durch Px eine Strecke ausgeschnitten, z. B. auf PxL' die Strecke PxL\ ganz analoges geschieht durch die Kurven kv k2 auf den Geraden durch Pv z. B. hat man auf PxK' die Strecke PxK. Ist nun der Grenzwert PxL:PxK bekannt (für den Fall, daß die Kurven kv k2 und lx, l2 einander unendlich nahe rücken), so bestimme man L' und K' so, daß PxL'' :PxK' gleich dem genannten Grenzwerte wird; damit ergeben sich dann g' und h' und ihr Schnittpunkt Q.

429. Einige Beispiele werden diese Konstruktion in ihrer Bedeutung richtig erkennen lassen. Sindi^ undi^ die beiden Brennpunkte einer Ellipse, so erscheinen ihre Punkte als Durchschnitte ie zweier Hilfskreise mit den Mittel

punkten Fx resp. F2 und den Radien pj s\ resp. Q2, wobei Qx + p8 = 2 a, der ~=~^&f \

großen Achse der Ellipse, ist. Entsteht /^^nt^ also Pj durch Schnitt zweier Kreise mit s% X

den Radien gx und g2, So entsteht sein x^' Nachbarpunkt als Schnitt zweier Kreise F i£ mit den Radien (pj + 8) und (g2 S) Fig. 277.

wo S eine unendlich kleine Größe ist.

Die beiden Hilfskreise um Fx schneiden also auf F^Px eine Strecke 8 ab, Gleiches thun die Hilfskreise um F2 auf F2Pv Hiernach ist Z'Px = K'Px beliebig anzunehmen, und Z'Q J_ F^ sowie K'Q J_ F2P^ zu ziehen. Die Tangente PxQ halbiert also den Nebenwinkel von FxPxF2, ein Resultat, das bereits früher abgeleitet wurde.

430. Die Cassini'sehe Kurve ist definiert als Ort der Punkte, für welche das Produkt ihrer Abstände von zwei festen Punkten FxF2 konstant ist. Ist also PjP^pj und Pxf2 = Qv so besteht die Gleichung ox: p8 = c. Ist P2 ein zu Px benachbarter Kurvenpunkt, so erscheint er als Schnitt zweier Kreise mit den

Radien: (px + 8) und (p2 — e), wo 8 und s von der 1. Ordnung unendlich klein sein mögen. Die Hilfskreise um Fx bestimmen auf PxFx eine Strecke 8, die Hilfskreise um F2 auf Px F2 eine Strecke e, wobei 8:e = px:oi ist. Denn aus: (ox + 8) (p2 ~ e) = c und (»j p2 = c folgt: Q2d—(>xe de = 0 und durch Division mit «2s die voranstehende Relation, da das letzte Glied von der 2. Ordnung unendlich klein ist und den beiden anderen gegenüber wegzulassen ist (415). Wir tragen demnach L'Px = pj an Pjpj an und Ä'Px = p2 auf PxF2 auf, so daß K' mit F2 zusammenfällt, dann ist QL' ± F^ und QK' J_ F2Px und QPx die gesuchte Tangente in Pv

431. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt 0 und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einer festen Geraden a die nämliche konstante Strecke p nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Konchoide (Fig. 279).

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Fig. 278.

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Fig. 27P.

Jeder Punkt dieser Kurve erscheint als Schnitt einer Geraden mit einem Kreis vom Radius 0; so liegt Pj auf der Geraden OJxPx und auf einem Kreise mit dem Mittelpunkt Ax und dem Radius o. Ist nun A2 ein Punkt von a in der Nähe von Av so schneidet OA2 den Kreis mit dem Mittelpunkt A2 und dem Radius p in dem Kurvenpunkte P2. Eine Parallele zu a durch Px schneidet jene Gerade 0A2 im Punkte N und diesen Kreis im Punkte M, wo MPx = A2Ax ist, (JjPj = A2M = p). Es ist aber MPx: A?x = A2Ax: NPx = AxO:PxO von der Lage des Strahles 0P2 unabhängig, repräsentiert also zugleich den Grenzwert. Wir bestimmen deshalb auf der Parallelen zu a durch Px die Punkte M' und N' so, daß M'Px = AxO und N'Px =PxO ist, dann liefern QM' ± PxO und Qi^||Pj0 den Punkt Q der gesuchten Tangente.

432. Dreht sich ein Strahl um einen festen Punkt O und trägt man auf ihm jedesmal von seinem Schnittpunkte mit einem festen Kreise a durch O die nämliche konstante Strecke p nach beiden Seiten auf, so erhält man eine Pascal'sche Schneckenlinie (Fig. 280). Enthält ein Strahl den Kurvenpunkt Px und schneidet den Kreis a in Ax, so ändert sich die vorausgegangene Konstruktion offenbar nur insofern ab, als wir im Punkte Px eine Parallele zur Tangente des Kreises a im Punkte Ax ziehen. Auf dieser Parallelen bestimmen sich M' und N' wieder wie vorher und ebenso auch Q.

433. Zum Schluß mag hier noch eine Anwendung auf eine große Klasse von Kurven gemacht werden, die eine gemeinsame Entstehungsweise haben. Sind zwei beliebige Kurven u und v gegeben und bewegt man einen Winkel so, daß seine Schenkel fortwährend die Kurven u resp. v berühren, so beschreibt sein Scheitel eine Kurve. Als Hilfskurven, die sich in den Punkten unserer Kurve c schneiden, treten hier einerseits die Tangenten von K, andererseits diejenigen von v auf.

Die folgende Konstruktion ist demnach nur dann anwendbar, wenn man an die Kurven u und v bequem Tangenten legen kann. Zwei benachbarte Tangenten von u und die entsprechenden benachbarten Tangenten von v schließen nun den gleichen unendlich kleinen

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Fig. 280.

Winkel c ein; das von ihnen gebildete unendlich kleine Viereck kann als Parallelogramm angesehen werden, da sich seine Gegenseiten nur um unendlich kleine Größen 2. Ordnung unterscheiden. Berühren die Tangenten, die sich in dem Kurvenpunkt Px schneiden, die Kurven u und v resp. in A und B, so ist der Abstand der Parallelogrammseiten, die u berühren, gleich PxA. s, ebenso der Abstand der Seiten, die v berühren, gleich P^.s. Tragen wir hiernach PxM' J _ PxA und PxN' J_ PxB auf, indem wir PxM' = PxA und PxN' = PxB machen Tin der Fig. 281 ist wegen Mangel an Platz P^M = \PxA und PxN' = %PxB) und ziehen durch M' und N' resp. Parallele zu PxA und PxB, so schneiden sich diese in dem Punkte Q der gesuchten Tangente. Dies ist zugleich die Tangente des Kreises,, der Fig. 281. durch die Punkte ABPx geht.1

Sind die zu Grunde gelegten Kurven u und v Kreise, so gelangt man wieder zu der Pascal'schen Schnecke, wie eine einfache Überlegung zeigt. Dabei können irgend zwei Kreise, die die Pascal'sche Schnecke zweimal berühren, als Ausgangskurven gewählt werden.

Krümmung der Kurven, Evoluten.

434. Eine Kurve ist in einem Punkte um so mehr gekrümmt, je rascher sie sich von der Tangente in jenem Punkte entfernt. Ein Kreis zeigt in allen seinen Punkten die gleiche Krümmung, denn er verhält sich gegen alle seine Tangenten in gleicher Weise. Es wird mithin geeignet sein, die Krümmung der Kurven in ihren einzelnen Punkten durch diejenige entsprechender Kreise zu messen. Die Definition der Krümmung bei einem Kreise werden wir nun so

j Die Bewegung eines Winkels von einer Lage in seine Nachbarlage kann auch durch Drehung um den unendlich kleinen Winkel e geschehen, wobei der auf dem Kreise durch ABPj dem P1 diametral gegenüberliegende Punkt 0 fest bleibt (Momentancentrum).

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