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Wird jetzt

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und ebenso

unendlich klein, so geht OR in OP, also cos

in 1 über und es folgt, daß das Verhältnis

tan o ❤

sin Ф

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dem Grenzwerte 1 zustreben; das will sagen:

Der Sinus und die Tangente eines Winkels werden mit diesem selbst von der gleichen Ordnung unendlich klein, während sein Cosinus gleich Eins wird.

417. Wird also in einem rechtwinkligen Dreieck PQR (Fig. 267) der Winkel bei Q unendlich klein 1. Ordnung, während die Hypotenuse QR endlich bleibt, so bleibt die

dem Winkel & anliegende Kathete QP end- RS
lich, während die gegenüberliegende
unendlich klein 1. Ordnung ausfällt.

=

ᏢᎡ

P

Fig. 267.

Macht man auf der Hypotenuse QS QP, so ist RPS wiederum unendlich klein = ε

=

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ε

1. Ordnung, also SR QR QP unendlich klein 2. Ordnung. Wird auch noch die Seite QR unendlich klein 1. Ordnung, so folgt, daß nun PR von der 2. und SR QRQP von der 3. Ordnung Allgemeiner darf man sagen: Wird & von der m. Ordnung, QR von der n. Ordnung unendlich klein, so werden

unendlich klein wird.

=

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so wird QP QR.cos & von der 1. Ordnung, RP QR. sin & von der 2. Ordnung und folglich RU = RP. sin ŋ von der dritten Ordnung

unendlich klein; da aber andererseits RU = QR. sin & ist, so müssen. sin und von der 2. Ordnung unendlich klein sein. Die Differenz QRQP ist von der 3. Ordnung und die Differenz QR QU von der 5. Ordnung unendlich klein, wie man mit Hilfe des vorigen Beispieles sofort erkennt.

Erzeugung ebener Kurven.

419. Eine ebene Kurve kann man sich in doppelter Weise entstanden denken, einmal durch Bewegung eines Punktes, zum andern durch Bewegung einer Geraden. Wir wollen zunächst die ebene Kurve als die Bahn eines bewegten Punktes auffassen. Zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Lagen des bewegten Punktes sollen als benachbarte, konsekutive oder Nachbarpunkte der Kurve bezeichnet werden, wobei der Abstand benachbarter Punkte als unendlich klein zu denken ist. Zwei Nachbarpunkte begrenzen einen unendlich kleinen Teil der Kurve, ein Kurvenelement. Eine Kurve heißt in einem Punkte stetig, wenn es zu diesem nach beiden Seiten Nachbarpunkte giebt, unstetig dagegen, wenn er ein freies Ende bildet. Wir betrachten nur stetige Kurven.

B

Fig. 269.

B

Eine Gerade, die zwei Kurvenpunkte A und B miteinander verbindet, heißt Sekante, die Strecke AB selbst heißt Sehne. Hält man den Punkt A fest, während man den Punkt B auf der Kurve bewegt und sich dem Punkte A unbegrenzt nähern läßt, so wird sich auch die Sekante AB stetig um ihren Endpunkt A drehen und sich schließlich einer bestimmten Geraden t durch A unbegrenzt nähern. Diese Gerade t heißt die Tangente der Kurve im Punkte A; der Winkel, den Tangente und Sekante miteinander einschließen, wird beim Grenzübergang zugleich mit der Strecke AB unendlich klein. Wenn es gleichgültig ist, von welcher Seite der Punkt B sich dem Punkte A unbegrenzt nähert, und man dabei die nämliche Grenzlage t erhält, so sagt man: die Kurve sei im Punkte A stetig in Bezug auf ihre Tangente. In Punkten, wo man zu zwei Grenzlagen gelangt, je nachdem sich B von der einen oder andern Seite dem Punkte A nähert, bildet die Kurve eine Ecke und heißt dort unstetig in Bezug auf ihre Tangente. Solche Fälle schließen wir hier zunächst aus. Eine Tangente hat mit der Kurve zwei benachbarte Punkte, also ein Kurvenelement gemein.

420. Durch Bewegung einer Geraden in einer Ebene entsteht `ebenfalls eine Kurve, nämlich als Hüllkurve aufeinanderfolgender Lagen der Geraden, ihrer Tangenten. Zwei unmittelbar auf einanderfolgende Lagen der bewegten Geraden liefern benachbarte oder konsekutive Tangenten, deren Winkel unendlich klein ist und als Kontingenzwinkel bezeichnet wird. Diese Erzeugungsweise einer Kurve ist zu der erstgenannten dual und nach den Prinzipien der Dualität (vergl. 343) können wir aus den obigen Resultaten die folgenden ableiten. Betrachten wir eine feste Tangente t unserer Hüllkurve und eine bewegliche, die sich jener unbegrenzt nähert, so bestimmt diese auf eine Punktreihe, deren Punkte sich bei der Bewegung einer bestimmten Grenzlage A unbegrenzt nähern; A repräsentiert eben den Berührungspunkt von t. Die Kurvenpunkte sind als Schnittpunkte benachbarter Tangenten aufzufassen.

A

Fig. 270.

Im Vergleich mit den Endpunkten endlicher Strecken und den Schenkeln meßbarer Winkel sind zwei unendlich nahe Punkte oder zwei Gerade mit unendlich kleinem Winkel als zusammenfallend und nicht verschieden anzusehen. Nur bei dem Grenzprozeß, wenn die gegen Null abnehmende Strecke oder der gegen Null abnehmende Winkel mit andern davon abhängigen Größen verglichen wird, muß auf diese unendlich kleinen Größen Rücksicht genommen werden.

421. Bildet man die Punkte und Tangenten einer ebenen Kurve durch Parallel- oder Centralprojektion ab, so erhält man Punkte und Tangenten einer neuen Kurve, der Projektion der ersteren. Es ist nach den vorausgegangenen Definitionen unmittelbar klar, daß die Stetigkeit einer Kurve eine projektive Eigenschaft ist, d. h. daß sie sich bei beliebiger Projektion nicht ändert. Nur für unendlich ferne Punkte einer Kurve bedarf dies noch der Erläuterung. Projiziert man einen Kurvenpunkt Q unendlich fern, so verlaufen die Projektionen der beiden Kurvenstücke, die in ihm zusammenstoßen, ins Unendliche. Läßt man einen Punkt auf dem einen oder andern unbegrenzten Kurvenast sich nach dem Unendlichen hinbewegen, so nähert sich die zugehörige Tangente in beiden Fällen der nämlichen Grenzlage, die als Asymptote bezeichnet wird und die Tangente in dem gemeinsamen unendlich fernen Punkte der beiden Kurvenäste darstellt. Sie ist eben die Projektion der Tangente in dem Punkte Q der ursprünglichen Kurve, dessen Projektion ins Unendliche fällt. Da die Teile der ursprünglichen Kurve

in Q zusammenhängen, so sagt man auch von zwei unendlichen Ästen mit der gleichen Asymptote, daß sie im Unendlichen zusammenhängen. Liegt die Kurve in der Nähe des Punktes Q ganz auf einer Seite der Tangente, wie z. B. beim Kreise, so liegen die unendlichen Äste der Projektion auf verschiedenen Seiten ihrer Asymptote, wie z. B. bei der Hyperbel.

422. Wir betrachten jetzt gleichzeitig die beiderlei Erzeugungs. weisen einer ebenen Kurve, indem wir einen Punkt mit seiner zugehörigen Tangente ins Auge fassen. Geht der Punkt in eine Nachbarlage über, so schreitet er auf seiner Tangente fort und die benachbarte Tangente entsteht aus der anfänglichen durch Drehung um ihren Berührungspunkt. Auf diese Weise rollt die Tangente auf der Kurve ohne zu gleiten, indem sie sich nur um ihren jeweiligen Berührungspunkt dreht. Das Fortschreiten des Berührungspunktes auf der Tangente kann aber in zweierlei Richtung erfolgen, ebenso kann die Drehung der Tangente um ihren Berührungspunkt in zweierlei Drehsinn stattfinden. Passiert nun der bewegliche Punkt einen festen Punkt P der Kurve und zugleich die bewegliche Tangente eine feste Tangente t, so kann jede der beiden Bewegungen von der andern unabhängig ihren Sinn beibehalten oder umkehren. Entweder bleiben Fortschreitungssinn und Drehsinn beim Passieren von P ungeändert, dann ist P ein gewöhnlicher Kurvenpunkt, oder der Drehsinn ändert sich allein, dann ist P ein Wendepunkt, oder der Fortschreitungssinn allein ändert sich, dann ist P ein Rückkehrpunkt, eine Spitze, oder endlich beide ändern sich gleichzeitig, dann bildet P eine Schnabelspitze (vergl. Fig. 294).

Zu diesen besonderen oder singulären Punkten der Kurve gesellt sich noch der Doppelpunkt; es ist ein Punkt, in dem die Kurve sich selbst durchschneidet. Im Doppelpunkt giebt es zwei Tangenten, nämlich an jeden Kurvenast durch ihn eine. Durch das

Fig. 271.

Gesetz der Dualität gelangt man von den Doppelpunkten zu den Doppeltangenten, diese besitzen zwei Berührungspunkte (Fig. 271). Rückkehrpunkte und Wendepunkte entsprechen sich nach dem Gesetz der Dualität gegenseitig, während die Schnabelspitze sich selbst entspricht. Durch Vereinigung mehrerer solcher singulärer Punkte können höhere Singularitäten entstehen, so die Selbstberührungspunkte, die vielfachen Punkte u. s. w.; die aufgezählten Vorkommnisse werden indes für unsere weiteren Untersuchungen genügen. 13)

Es ist hier noch darauf hinzuweisen, daß auch gelegentlich einzelne Punkte die keinem Kurvenast angehören einer Kurve zuzurechnen sind, indem sie dem nämlichen Gesetze entsprechen wie die übrigen Kurvenpunkte. Solche Punkte heißen isolierte Punkte und sind als Doppelpunkte aufzufassen, durch die indes keine reellen Tangenten gehen.

Konstruktion von Tangenten und Normalen.

423. In vielen Fällen lassen sich direkt aus der geometrischen Definition einer Kurve beliebig viele Punkte derselben und in ihnen die Tangenten konstruieren. Mittels dieser Punkte und Tangenten oder auch der Punkte allein kann dann die Kurve mit ziemlicher Genauigkeit gezeichnet werden, wenn sie in den Punkten und Tangenten stetig ist, und nur mit solchen Kurven werden wir es zu thun haben. Durch Übung erlangt man ein so empfindliches Gefühl für den stetigen Verlauf einer Kurve, daß man sich schon mit verhältnismäßig wenigen Punkten begnügen kann und gleichwohl eine genaue Zeichnung der Kurve gewinnt. Dabei ist zu bemerken, daß man gut thut, dort wo die Kurve schärfer gekrümmt ist, mehr Punkte zu bestimmen als wo sie nur wenig gekrümmt ist. Da die Bestimmung einzelner Kurvenpunkte immer mit geringen Fehlern behaftet ist, so kann es, wenn zu viele Punkte bestimmt sind, vorkommen, daß eine durch diese Punkte gezogene Kurve eine fehlerhafte wellige Form annimmt; die Kurve muß dann so gezeichnet werden, daß sie einen richtigen Eindruck macht, wobei die bestimmten Punkte teils auf der Kurve, teils rechts und links in kleinen Abständen den Fehlern entsprechend - liegen müssen. Im allgemeinen ist es zweckmäßig, außer Punkten auch einige Tangenten, und wo es leicht ausführbar ist, Krümmungskreise aufzusuchen.

424. Liegt nun eine Kurve gezeichnet vor, so läßt sich die Aufgabe lösen, von einem Punkte A an dieselbe die Tangente t zu legen und deren Berührungspunkt B zu bestimmen (Fig. 272).

Die Tangente zieht man direkt durch Anlegen des Lineals, was sich leicht mit großer Schärfe ausführen läßt. Dagegen wird ihr Berührungspunkt B ungenau; durch Bestimmung

B

M

Fig. 272.

einer durch ihn verlaufenden sogenannten Fehlerkurve kann er indessen mit ziemlicher Genauigkeit gefunden werden. Zieht man

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