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so daß sie kleiner als jede angebbare Größe oder „unendlich klein" werden. Die nähere Untersuchung der Begriffe des Unendlichkleinen und Unendlichgroßen gehört freilich in die Analysis (Infinitesimalrechnung); indessen mögen hier namentlich über den ersteren Begriff einige Bemerkungen seiner geometrischen Anwendung vorausgeschickt werden.

Die genannten Begriffe knüpfen sich an die Voraussetzung einer stetigen Veränderlichkeit der zu betrachtenden Größen. — Läßt sich von einer unveränderlichen (konstanten) Größe zeigen, daß sie kleiner als jede angebbare Größe ist, so ist sie gleich Null. Ist sie aber der Veränderung fähig und wird sie stetig kleiner als jede angebbare Größe, so darf man sie unendlich klein nennen. Zwischen „Null" und „unendlichklein" besteht demnach ein begrifflicher Unterschied.

Wenn wir gegebene Größen vergleichen, so sagen wir, daß sie in einem Verhältnis stehen. Kann dieses Verhältnis durch eine rationale Zahl angegeben werden, so heißen die verglichenen Größen kommensurabel, andernfalls inkommensurabel. In letzterem Falle begnügt man sich mit der Angabe zweier rationaler Zahlen als Grenzen, zwischen denen der Wert des Verhältnisses liegt; man hat aber, um letzteren als eine bestimmte irrationale Zahl ansehen zu dürfen, nachzuweisen, daß sich die Differenz der Grenzen so klein machen läßt, als man will. — Setzt man an die Stelle des wirklichen Verhältnisses eine der beiden Grenzen, so begeht man einen Fehler, der aber jedenfalls nicht größer ist als jene Differenz und der folglich mit ihr beliebig klein wird.

Wird das Verhältnis einer variablen Größe zu einer gegebenen endlichen Größe kleiner (oder größer) als jede angebbare Zahl, so wird sie selbst unendlich klein (oder unendlich groß).

414. Veränderliche und insbesondere verschwindende Größen können nun untereinander ebenso wie gegebene Größen verglichen werden, wenn zwischen ihnen ein irgendwie, etwa geometrisch, definierbarer fester Zusammenhang besteht. So wird z. B. die Diagonale eines Quadrates zu seiner Seite immer das Verhältnis ^2 behalten, auch wenn beide Strecken mit dem Quadrate selbst unendlich klein werden.

Stehen jetzt die Veränderungen mehrerer Größen in einem gegebenen Zusammenhange, so unterscheidet man unabhängige Größen und abhängige („Funktionen"). Oft hat man nur eine unabhängige Variable, deren Wert nach Willkür geändert werden darf, woraus sich dann die Veränderungen der abhängigen Größen ergeben; doch können auch mehrere unabhängig sein. Bei der Vergleichung variabler Größen untereinander wählt man aber stets eine, und zwar unabhängige Größe als Maßstab für die übrigen, und dies gilt auch dann noch, wenn die Größen zusammen verschwinden. Man nennt dann diese eine Größe unendlich klein von der 1. Ordnung; die anderen können von verschiedener Ordnung unendlich klein sein. Hierüber aber wird nach folgendem Grundsatze entschieden: Stehen zwei verschwindende Größen in einem endlichen Verhältnis, so heißen sie von derselben Ordnung unendlich klein. Größen heißen unendlich klein von der 1., 2.,.. . m. Ordnung, wenn sie zu der 1., 2., . . . m. Potenz einer unendlich kleinen Größe 1. Ordnung in einem endlichen Verhältnis stehen. Die Ordnungszahl m kann auch gebrochen, ja sogar irrational sein. Letzteres kommt für unsere Untersuchungen nicht in Betracht und auch die gebrochenen Ordnungszahlen lassen sich meist durch geeignete Wahl der unabhängig veränderlichen Größe vermeiden.

Was von den unendlich kleinen Größen gesagt wurde, läßt sich unmittelbar auf die ins Unendliche wachsenden Größen übertragen.

415. Setzen sich Größen verschiedener Ordnungen in endlicher Anzahl zu einer Summe zusammen, so kommen unendlich kleine Größen gegenüber etwa vorhandenen endlichen Größen nicht in Betracht; ebenso sind unendlich kleine Größen höherer Ordnung, denen niederer Ordnung gegenüber wegzulassen. Denn der Fehler, den man bei ihrer Unterdrückung scheinbar begeht, ist im Verhältnis zum Resultate selbst unendlich klein. In einer Gleichung zwischen unendlich kleinen Größen sind also auf beiden Seiten nur die Glieder beizubehalten, welche von ein und derselben niedersten Ordnung sind. Waren bei der Ableitung der Gleichung Glieder verschiedener Ordnung aufgetreten, so sind die der höheren Ordnungen zu beseitigen.

Bei dem Gebrauche unendlich kleiner Größen nimmt man stets die Ermittelung bestimmter Werte zum Ziele und zwar geschieht dies in doppelter Weise. Einmal kann eine bestimmte Größe als Grenzwert des Verhältnisses zweier unendlich kleiner Größen auftreten, das will sagen als derjenige Wert, den der Quotient zweier veränderlicher Größen annimmt, wenn die eine und damit zugleich die andere, von ihr abhängige, verschwindet. Dem entspricht in der Analysis der Begriff des „Differentialquotienten einer Funktion". — Zum andern erhält man den Wert einer endlichen, aber nicht direkt meßbaren Größe, wenn man sie in sehr

Rohn u. Papperitz. I. 2. Aufl. .20

viele, sehr kleine Teile — sogenannte Elemente — zerlegt, diese mißt und sie hierauf wieder zusammenfügt. Streng genommen müßte man sich dann die Teilung unbeschränkt fortgesetzt denken, so daß jedes Element unendlich klein, gleichzeitig aber die Anzahl der Elemente unendlich groß wird, und thatsächlich zeigt die Analysis, wie unter dieser Annahme die gesuchte Größe als Grenzwert einer Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen, nämlich durch ein „bestimmtes Integral" berechnet werden kann. Die konstruierende Geometrie begnügt sich in einem solchen Falle mit einer angenäherten Bestimmung, indem sie die Anzahl der Teile zwar endlich, aber doch so groß annimmt, daß alle die einzelnen kleinen Elemente nach demselben Verfahren gemessen, womöglich sogar als einander gleich angesehen werden dürfen, und zugleich der Unterschied zwischen der gesuchten Größe und der Summe aller jener Elemente nachweislich genügend klein ausfällt. — So liegt z. ß. der Umfang eines Kreises zwischen den Perimetern eines ihm ein- und eines ihm umgeschriebenen »«-Ecks und wird daher durch einen dieser Werte mit jedem gewünschten Grade der Genauigkeit dargestellt, wenn man nur die Seitenzahl n groß genug nimmt (vergl. 445).

416. Zum besseren Verständnis des Gesagten mögen sogleich einige, weiterhin verwendbare Beispiele für den Zusammenhang unendlich kleiner Größen verschiedener Ordnung untereinander hier mitgeteilt werden.

Nimmt man das Verhältnis eines Kreisbogens zu seinem Radius als Maß des zugehörigen Centriwinkels und setzt in Fig. 266 den Radius OP einer Längeneinheit gleich, so ist der Bogen PQ = cp das Maß des Winkels bei O, der spitz angenommen sein mag. Zieht man nun QR und PS senkrecht zu OP, so wird:

OR = cos cp, RQ = sin cp, PS = tan cp. Die Flächen des Dreiecks ORQ, des Kreissektors OPQ und des Dreiecks OPS sind resp. durch die Ausdrücke ^-cosqosiny, \cp, \ tan cp gegeben, und da ersichtlich die erste kleiner als die zweite, diese aber kleiner als die dritte ist, so folgt: cos cp . sin cp < cp < tan cp. Dividiert man diese Relation mit der positiven Größe sin cp, so gilt:

^ <P ^ 1

cos cp < _r^— < ,

'sin q> cos cp

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Fig. 267.

COS (p <p

Wird jetzt ip unendlich klein, so geht OR in OP, also cosqp

fsowie —-—) in 1 über und es folgt, daß das Verhältnis sm _

V cos q> I <p

und ebenso tan_ dem Grenzwerte 1 zustreben; das will sagen:

Der Sinus und die Tangente eines Winkels werden mit diesem selbst von der gleichen Ordnung unendlich klein, während sein Cosinus gleich Eins wird.

417. Wird also in einem rechtwinkligen Dreieck PQR (Fig. 267) der Winkel s bei Q unendlich klein 1. Ordnung, während die Hypotenuse QR endlich bleibt, so bleibt die dem Winkel e anliegende Kathete QP endlich, während die gegenüberliegende PR unendlich klein 1. Ordnung ausfällt. — Macht man auf der Hypotenuse QS = QP, so ist i_ RPS = {t wiederum unendlich klein 1. Ordnung, also SR = QR QP unendlich klein 2. Ordnung. — Wird auch noch die Seite QR unendlich klein 1. Ordnung, so folgt, daß nun PR von der 2. und SR = QR QP von der 3. Ordnung unendlich klein wird. — Allgemeiner darf man sagen: Wird s von der m. Ordnung, QR von der n. Ordnung unendlich klein, so werden QP von der n. Ordnung, PR und PS von der (wt + n). Ordnung, i_ RPS von der m. Ordnung und SR = QR QP von der (2 m + n\ Ordnung unendlich klein.

418. Zwei Ebenen E und A mögen sich in der Geraden t schneiden (Fig. 268). Durch einen Punkt Q von t ziehen wir eine Gerade u in der Ebene A und wählen auf u einen Punkt R; seine senkrechten Projektionen auf t resp. E seien P und U. Der Winkel der beiden Ebenen ist dann t] = t_ RPU, der der beiden Geraden ist e = i_ PQR und 8= i_ RQU ist der Neigungswinkel vonw gegen E. — Werden nun die Strecke QR und die Winkel Tj und s unendlich klein 1. Ordnung, so wird QP = QR. cos s von der 1. Ordnung, RP=QR. sin s von der 2. Ordnung und folglich RU = RP. sin i] von der dritten Ordnung

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unendlich klein; da aber andererseits PU QÄ.sinJist, so müssen sin 8 und S von der 2. Ordnung unendlich klein sein. Die Differenz QJi QP ist von der 3. Ordnung und die Differenz QH QU von der 5. Ordnung unendlich klein, wie man mit Hilfe des vorigen Beispieles sofort erkennt.

Erzeugung ebener Kurven.

419. Eine ebene Kurve kann man sich in doppelter Weise entstanden denken, einmal durch Bewegung eines Punktes, zum andern durch Bewegung einer Geraden. Wir wollen zunächst die ebene Kurve als die Bahn eines bewegten Punktes auffassen. Zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Lagen des bewegten Punktes sollen als benachbarte, konsekutive oder Nachbarpunkte der Kurve bezeichnet werden, wobei der Abstand benachbarter Punkte als unendlich klein zu denken ist. Zwei Nachbarpunkte begrenzen einen unendlich kleinen Teil der Kurve, ein Kurvenelement. Eine Kurve heißt in einem Punkte stetig, wenn es zu diesem nach beiden Seiten Nachbarpunkte giebt, unstetig dagegen, wenn er ein freies Ende bildet. Wir betrachten nur stetige Kurven.

Eine Gerade, die zwei Kurvenpunkte A und B miteinander verbindet, heißt Sekante, die Strecke AB selbst heißt Sehne. Hält man den Punkt A fest, während man den Punkt B auf der Kurve bewegt und sich dem Punkte A unbegrenzt nähern läßt, so wird sich auch die Sekante AB stetig um ihren Endpunkt A drehen und sich schließlich einer bestimmten Geraden t durch A unbegrenzt nähern. Diese Gerade t heißt die Tangente der Kurve im Punkte A\ der Winkel, den Tangente und Sekante miteinander einschließen, wird beim Grenzübergang zugleich mit der Strecke AB unendlich klein. Wenn es gleichgültig ist, von welcher Seite der Punkt B sich dem Punkte A unbegrenzt nähert, und man dabei die nämliche Grenzlage t erhält, so sagt man: die Kurve sei im Punkte A stetig in Bezug auf ihre Tangente. In Punkten, wo man zu zwei Grenzlagen gelangt, je nachdem sich B von der einen oder andern Seite dem Punkte A nähert, bildet die Kurve eine Ecke und heißt dort unstetig in Bezug auf ihre Tangente. Solche Fälle schließen wir hier zunächst aus. Eine Tangente hat mit der Kurve^zwei benachbarte Punkte, also ein Kurvenelement gemein.

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