Pole von k und k, und ihre Doppelpunkte gehören beiden Kegelschnitten an.

Nun liegt 0 auf einer Seite des gemeinsamen Polardreiecks LMN von k und k1, etwa auf m = LN (vergl. 398) (Fig. 265). Die

o

01

Fig. 265.

Polaren und von O in Bezug auf k resp. k, müssen sich auf der Achse a schneiden; andererseits ist oxo, der gemeinsame harmonische Pol zu O, diese Eigenschaft kommt aber dem Punkt M zu; es geht also a durch M.

Die Perspektive, welche O zum Centrum und a zur Achse hat, und die Gerade o in die Gerade o, überführt, verwandelt nun in der That den Kegelschnitt k in den Kegelschnitt k. Denn es entspricht hierbei dem Kegelschnitt k ein neuer Kegelschnitt k'; dieser hat mit k1 die beiden (reellen oder konjugiert imaginären) Punkte auf a gemein, ferner die beiden (reellen oder konjugiert imaginären) Tangenten aus O und deren Berührungspunkte auf o1, so daß k' mit k, identisch ist. In der Figur sind auf m die beiden Centren 0

und O' angegeben und durch M die beiden Achsen a und a'; jedes Centrum bestimmt mit jeder Achse eine perspektive Beziehung zwischen k und k1. So ergeben sich vier perspektive Beziehungen, indem man die Ecke M und die Seite m des Polardreiecks zu Grunde legt; in gleicher Weise ergeben sich acht weitere. Beachtet man die Resultate in 401, so erkennt man unmittelbar, daß von den Perspektiven zwischen k und k, stets vier reell sind und es sogar zwölf reelle Perspektiven zwischen k und k1 giebt, wenn ihre gemeinsamen Punkte und Tangenten alle reell sind.

X Ꭲ,

Sind u und t die gemeinsamen Tangenten aus 0, so sind. U = u × o, T = txo und U1 = u × 1, T1 = t × 0, ihre Berührungspunkte mit k resp. k. Nun sind U und U, harmonische Pole in Bezug auf beide Kegelschnitte, denn die Polaren von U gehen beide durch U1; nach 396 liegen also o und o1 harmonisch zu a und a'.

Die Achsen a und a' der genannten Perspektiven liegen harmonisch sowohl zu den Polaren o undo, des Centrums O, als auch zu den Polaren und o, des Centrums O'. Ebenso liegen die Centren O und O' harmonisch sowohl zu den Polen und 4, der Achse a, als auch zu den Polen A' und ' der Achse a'.

In der Figur ist noch der Zusammenhang zwischen O und a resp. a, angedeutet. Sind P und P, entsprechende Punkte von k und k, und ebenso Q und Q, entsprechende Punkte von o und 01, so liegt R = PQ × P1Q, auf a. In gleicher Weise liegt R' = P'Q× P1Q1 auf a.

1

1

SECHSTES KAPITEL.

Ebene Kurven und Raumkurven.

Begriff des Unendlichkleinen in der Geometrie.

413. Die bisherigen Untersuchungen boten uns bereits an einzelnen Stellen Anlaß, von geometrischen Größen zu sprechen, die man sich unbeschränkt wachsend vorstellt, so daß sie größer als jede angebbare Größe, d. h.,,unendlich groß" werden. Bei dem Studium der Kurven und krummen Flächen ist es unumgänglich, auch solche Größen einzuführen, die unbeschränkt abnehmen,

so daß sie kleiner als jede angebbare Größe oder „unendlich klein" werden. Die nähere Untersuchung der Begriffe des Unendlichkleinen und Unendlichgroßen gehört freilich in die Analysis (Infinitesimalrechnung); indessen mögen hier namentlich über den ersteren Begriff einige Bemerkungen seiner geometrischen Anwendung vorausgeschickt werden.

Die genannten Begriffe knüpfen sich an die Voraussetzung einer stetigen Veränderlichkeit der zu betrachtenden Größen. Läßt sich von einer unveränderlichen (konstanten) Größe zeigen, daß sie kleiner als jede angebbare Größe ist, so ist sie gleich Null. Ist sie aber der Veränderung fähig und wird sie stetig kleiner als jede angebbare Größe, so darf man sie unendlich. klein nennen. Zwischen „Null" und unendlichklein" besteht demnach ein begrifflicher Unterschied.

In

Wenn wir gegebene Größen vergleichen, so sagen wir, daß sie in einem Verhältnis stehen. Kann dieses Verhältnis durch eine rationale Zahl angegeben werden, so heißen die verglichenen Größen kommensurabel, andernfalls inkommensurabel. letzterem Falle begnügt man sich mit der Angabe zweier rationaler Zahlen als Grenzen, zwischen denen der Wert des Verhältnisses liegt; man hat aber, um letzteren als eine bestimmte irrationale Zahl ansehen zu dürfen, nachzuweisen, daß sich die Differenz der Grenzen so klein machen läßt, als man will. Setzt man an die Stelle des wirklichen Verhältnisses eine der beiden Grenzen, so begeht man einen Fehler, der aber jedenfalls nicht größer ist als jene Differenz und der folglich mit ihr beliebig klein wird.

Wird das Verhältnis einer variablen Größe zu einer gegebenen endlichen Größe kleiner (oder größer) als jede angebbare Zahl, so wird sie selbst unendlich klein (oder unendlich groß).

414. Veränderliche und insbesondere verschwindende Größen. können nun untereinander ebenso wie gegebene Größen verglichen werden, wenn zwischen ihnen ein irgendwie, etwa geometrisch, definierbarer fester Zusammenhang besteht. So wird z. B. die Diagonale eines Quadrates zu seiner Seite immer das Verhältnis √2 behalten, auch wenn beide Strecken mit dem Quadrate selbst unendlich klein werden.

Stehen jetzt die Veränderungen mehrerer Größen in einem gegebenen Zusammenhange, so unterscheidet man unabhängige Größen und abhängige („Funktionen"). Oft hat man nur eine unabhängige Variable, deren Wert nach Willkür geändert werden

darf, woraus sich dann die Veränderungen der abhängigen Größen ergeben; doch können auch mehrere unabhängig sein. Bei der Vergleichung variabler Größen untereinander wählt man aber stets eine, und zwar unabhängige Größe als Maßstab für die übrigen, und dies gilt auch dann noch, wenn die Größen zusammen verschwinden. Man nennt dann diese eine Größe unendlich klein von der 1. Ordnung; die anderen können von verschiedener Ordnung unendlich klein sein. Hierüber aber wird nach folgendem Grundsatze entschieden: Stehen zwei verschwindende Größen in einem endlichen Verhältnis, so heißen sie von derselben Ordnung unendlich klein. Größen heißen unendlich klein von der 1., 2., . . . m. Ordnung, wenn sie zu der 1., 2., ... m. Potenz einer unendlich kleinen Größe 1. Ordnung in einem endlichen Verhältnis stehen. Die Ordnungszahl m kann auch gebrochen, ja sogar irrational sein. Letzteres kommt für unsere Untersuchungen nicht in Betracht und auch die gebrochenen Ordnungszahlen lassen sich meist durch geeignete Wahl der unabhängig veränderlichen Größe vermeiden.

Was von den unendlich kleinen Größen gesagt wurde, läßt sich unmittelbar auf die ins Unendliche wachsenden Größen übertragen.

415. Setzen sich Größen verschiedener Ordnungen in endlicher Anzahl zu einer Summe zusammen, so kommen unendlich kleine Größen gegenüber etwa vorhandenen endlichen Größen nicht in Betracht; ebenso sind unendlich kleine Größen höherer Ordnung, denen niederer Ordnung gegenüber wegzulassen. Denn der Fehler, den man bei ihrer Unterdrückung scheinbar begeht, ist im Verhältnis zum Resultate selbst unendlich klein. In einer Gleichung zwischen unendlich kleinen Größen sind also auf beiden Seiten nur die Glieder beizubehalten, welche von ein und derselben niedersten Ordnung sind. Waren bei der Ableitung der Gleichung Glieder verschiedener Ordnung aufgetreten, so sind die der höheren Ordnungen zu beseitigen.

Bei dem Gebrauche unendlich kleiner Größen nimmt man stets die Ermittelung bestimmter Werte zum Ziele und zwar geschieht dies in doppelter Weise. Einmal kann eine bestimmte Größe als Grenzwert des Verhältnisses zweier unendlich kleiner Größen auftreten, das will sagen als derjenige Wert, den der Quotient zweier veränderlicher Größen annimmt, wenn die eine und damit zugleich die andere, von ihr abhängige, verschwindet. Dem entspricht in der Analysis der Begriff des „Differential quotienten einer Funktion". Zum andern erhält man den Wert einer endlichen, aber nicht direkt meßbaren Größe, wenn man sie in sehr

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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sogenannte Elemente

دو

viele, sehr kleine Teile zerlegt, diese mißt und sie hierauf wieder zusammenfügt. Streng genommen müßte man sich dann die Teilung unbeschränkt fortgesetzt denken, so daß jedes Element unendlich klein, gleichzeitig aber die Anzahl der Elemente unendlich groß wird, und thatsächlich zeigt die Analysis, wie unter dieser Annahme die gesuchte Größe als Grenzwert einer Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Größen, nämlich durch ein bestimmtes Integral" berechnet werden kann. Die konstruierende Geometrie begnügt sich in einem solchen Falle mit einer angenäherten Bestimmung, indem sie die Anzahl der Teile zwar endlich, aber doch so groß annimmt, daß alle die einzelnen kleinen Elemente nach demselben Verfahren gemessen, womöglich sogar als einander gleich angesehen werden dürfen, und zugleich der Unterschied zwischen der gesuchten Größe und der Summe aller jener Elemente nachweislich genügend klein ausfällt. So liegt z. B. der Umfang eines Kreises zwischen den Perimetern eines ihm ein- und eines ihm umgeschriebenen n-Ecks und wird daher durch einen dieser Werte mit jedem gewünschten Grade der Genauigkeit dargestellt, wenn man nur die Seitenzahl n groß genug nimmt (vergl. 445).

416. Zum besseren Verständnis des Gesagten mögen sogleich einige, weiterhin verwendbare Beispiele für den Zusammenhang unendlich kleiner Größen verschiedener Ordnung untereinander hier mitgeteilt werden.

RP

Nimmt man das Verhältnis eines Kreisbogens zu seinem Radius als Maß des zugehörigen Centriwinkels und setzt in Fig. 266 den Radius OP einer Längeneinheit gleich, so ist der Bogen PQ o das Maß des Winkels bei O, der spitz angenommen sein mag. Zieht man nun QR und PS senkrecht zu OP, so wird:

Fig. 266.

OR= cos q, RQ = sin 4,

=

Die Flächen des Dreiecks ORQ, des Kreissektors OPQ und des Dreiecks OPS sind resp. durch die Ausdrücke

cos y sin 9, 4,

tan gegeben, und da ersichtlich die erste kleiner als die zweite, diese aber kleiner als die dritte ist, so folgt: