Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

Kegelschnitte zeichnen. Die Punkte G und H von 1, in denen sich die gemeinsamen reellen bezw. konjugiert imaginären Tangenten schneiden, liegen einerseits harmonisch zu den Polen J und J, von i in Bezug auf k resp. k, und andererseits zu den Polen Y und Y1 von j in Bezug auf k und k1.

407. Zwei Kegelschnitte k und k1 bestimmen einen Kegelschnittbüschel, dessen Kurven alle die vier Schnittpunkte von k und k1 als Grundpunkte enthalten. Zu den Kegelschnitten des Büschels gehören auch die Geradenpaare durch diese Grundpunkte, von denen eins oder drei reell sind. Die Schnittpunkte der drei Geradenpaare sind die Ecken des allen Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks. Zwei Punkte, welche harmonische Pole in Bezug auf k und k1 sind, sind es auch in Bezug auf jeden andern Kegelschnitt des Büschels. Die vier gemeinsamen Punkte von k und k1, mögen sie reell oder ganz oder teilweise imaginär sein, liegen stets paarweise auf zwei reellen Geraden i und j. Auf jeder von den beiden Geraden bilden die gemeinsamen harmonischen Pole von k und k1 eine Involution. Ist P ein beliebiger Punkt, so giebt es durch ihn ein Strahlenpaar, das zugleich aus i und j je ein Punktepaar der betreffenden Involutionen ausschneidet. Es ist das nichts anderes als das gemeinsame Strahlenpaar der beiden Strahleninvolutionen, deren Strahlen P mit den Punkten der Involutionen auf i resp. j verbinden. Sei Q, Q' das genannte Punktepaar auf i und R, R' dasjenige auf j, so daß QR und Q'R' durch P gehen, so ist P' = QR'× Q'R der harmonische Pol zu P in Bezug auf k und k, (391). Q, Q' sind aber auch harmonische Pole in Bezug auf jeden andern Kegelschnitt des Büschels, und Gleiches ist für R, R' der Fall. Demnach sind auch P, P' harmonische Pole für alle Kegelschnitte des Büschels. Die Punktepaare Q, Q' und R, R', die beim Beweise auftreten, sind nach 353 stets reell, solange nicht alle vier Grundpunkte des Büschels reell sind. In diesem Falle können sie auch konjugiert imaginär sein, doch behält auch dann der Beweis mit einiger Modifikation seine Gültigkeit.

Dem obigen Satze kann man noch die folgenden Formen geben. Die Polaren eines beliebigen Punktes in Bezug auf alle Kegelschnitte eines Büschels schneiden sich in einem zweiten Punkt. Auf jeder Geraden schneiden die Kegelschnitte eines Büschels eine Involution aus. Denn jede Gerade enthält ein Paar gemeinsamer harmonischer Pole von k und k,, die somit die gleiche Eigenschaft in Bezug auf alle andern Kegel

schnitte des Büschels besitzen, so daß ihre Schnittpunktpaare zu denselben harmonisch liegen.

408. Den vorstehenden Sätzen lassen wir noch die dualen folgen, ohne sie jedoch besonders zu beweisen. Zwei Kegelschnitte k und k, bestimmen eine Kegelschnittschar, deren. Kurven alle die vier gemeinsamen Tangenten von k und k als Grundlinien berühren. Zu den Kegelschnitten der Schar gehören auch die Punktepaare, in denen sich diese Tangenten, in zwei Paare verteilt, schneiden und von denen eins oder drei reell sind. Die Verbindungslinien der drei Punktepaare sind die Seiten des allen Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks. Zwei Gerade, welche harmonische Polaren in Bezug auf k und k1 sind, sind es auch in Bezug auf jeden andern Kegelschnitt der Schar. Die Pole einer beliebigen Geraden in Bezug auf alle Kegelschnitte einer Schar liegen auf einer zweiten Geraden. In jedem Punkt bilden die Tangentenpaare an alle Kegelschnitte einer Schar eine Involution.

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

...

409. Zwei Gerade u und v, die durch reelle Grundpunkte A und B eines Kegelschnittbüschels gezogen sind, werden von seinen Kurven in perspektiven Punktreihen geschnitten. Es seien k, k1, ką, Kurven des Büschels und s, S1, S2, die Polaren von S = u xv in Bezug auf die einzelnen Kurven, dann gehen alle diese Polaren durch einen Punkt S', der dem Punkt 8 als harmonischer Pol in Bezug auf den Büschel zugehört (407). Die Polaren s, $, $,, . . . schneiden demnach auf u und v perspektive Punktreihen U, U1, U2, resp. V, V1, V2, ... Ferner schneiden k, k,, ką, auf u und v zwei Punktreihen

aus.

[merged small][ocr errors][ocr errors][merged small]

82,

...

[ocr errors]

genannten Reihen bestimmen; denn allgemein liegen P, und ▲ zu

... 21

i

aus, die sich durch die erst

[ocr errors]

und B zu S und V. Deshalb

.

und P, P1, P2

und P, P1, P2, ... projektiv und und Q, Q1, Q2,

Denn läßt

S und U harmonisch und ebenso sind die Punktreihen U, U1, U2, . . ebenso die Reihen V, V, V1⁄2 man in Fig. 138 F, J, K, S, T ungeändert und beschreibt E auf FS eine Punktreihe, so beschreibt Reine dazu projektive Reihe. Es müssen nun auch die Reihen P, P1, P2, ... und Q, Q1, Q2, . projektiv sein und sogar perspektiv, da S sich selbst entspricht als Schnittpunkt von u und v mit dem nämlichen Kegelschnitt.

Der duale Satz zu dem obigen ist leicht anzugeben.

410. Die beiden Kegelschnitte zu zeichnen, die durch vier gegebene Punkte A, B, C, D gehen und eine gegebene Gerade g berühren. Alle Kegelschnitte durch A, B, C, D bilden

einen Büschel und schneiden auf g die Punktepaare einer Involution aus. Geht insbesondere ein Kegelschnitt des Büschels durch einen Doppelpunkt dieser Involution, so muß er daselbst die Gerade g berühren. Man bestimme also auf g die beiden Punkte U und U', welche harmonische Pole in Bezug auf alle Kurven des Büschels sind, dann sind sie die Berührungspunkte der gesuchten Kegelschnitte.

Sind die vier Punkte A, B, C, D reell, so schneiden AB und CD und ebenso AC und BD je ein Punktepaar der vorher genannten Involution auf g aus; daraus lasseu sich dann ihre Doppelpunkte U und U' konstruieren. Die folgende Konstruktion läßt sich verwenden, falls von den gegebenen Punkten ein Paar oder zwei Paare konjugiert imaginär sind. Es seien und j die Geraden AB und CD (Fig. 263), und zwar mögen A, B auf i als Doppelpunkte einer Involution definiert sein, von der P, P' und L, i × 7 zwei Punktepaare sind. Ebenso mögen C, D auf j als Doppelpunkte einer Involution mit den Punktepaaren Q, Q' und L, jx I definiert sein. Der Kegelschnitt k des Büschels, der durch den Punkt E = g xl geht, schneidet g noch in einem Punkte Fund 7 in einem Punkte E1, und zwar müssen FE und FE, nach 283 auf i und j harmonische Pole ausschneiden, da i und j harmonische Polaren zu 7 in Bezug auf k sind. Man suche also in der Involution auf i zu gx i den entsprechenden Punkt und ebenso in der Involution auf j zu g xj den entsprechenden. Die Verbindungslinie dieser beiden Punkte schneidet und g in E, und F. Nun findet man U und U' wieder als Doppelpunkte einer Involution, der E, F und g× i, g × j als Punktepaare angehören.

Sind die gegebenen Punktepaare sowohl auf i wie auf j imaginär (wie in der Figur), so besitzt der Büschel, dem die gesuchten Kegelschnitte angehören, ein reelles gemeinsames Polardreieck. List eine Ecke dieses Dreiecks, seine Ecken M und N trennen E und E sowie i und xj harmonisch. Sucht man noch auf jeder Seite des Polardreiecks den Punkt, der mit g zusammen die bez. Seite harmonisch teilt, so gehen durch diese Punkte die vier gemeinsamen Tangenten der gesuchten Kegelschnitte hindurch. Man kennt also. von jedem vier Tangenten und deren Berührungspunkte.

Ist eines der beiden Punktepaare reell, das andere imaginär, so bestimme man auf LU den Punkt V derart, daß UV durch L und harmonisch geteilt wird. Dann sind EU und EV Tangenten der gesuchten Kegelschnitte, die sie in U und V resp. U' und ' berühren. Man kennt also von jedem zwei reelle Punkte und zwei reelle Tangenten mit ihren Berührungspunkten.

Die beiden Kegelschnitte zu zeichnen, die vier gegebene

Gerade a, b, c, d berühren und durch einen gegebenen Punkt G gehen. Diese Aufgabe ist zu der vorangehenden dual und ihre Lösung ergiebt sich aus dem Gesagten, wenn man überall die dualen Konstruktionen verwendet.

[blocks in formation]

=

411. Die vier Kegelschnitte zu zeichnen, die durch drei gegebene Punkte A, B, C gehen und zwei Gerade g und h berühren. Diese Aufgabe schließt sich an die vorhergehende an und soll hier gelöst werden, obgleich sie mit dem Kegelschnittbüschel nicht in näherem Zusammenhang steht. Der Punkt Sgxh ist der Scheitel einer Strahleninvolution I, der g und h als Doppelstrahlen angehören, umgekehrt kann man durch eine solche Strahleninvolution I zwei reelle oder konjugiert imaginäre Gerade definieren. Sind sie Tangenten eines Kegelschnittes, so sind die Strahlenpaare der Involution harmonische Polaren desselben. Nun suche man dasjenige Strahlenpaar u, u von J, das zu SA und SB harmonisch liegt (353), sowie das Strahlenpaar v, v' von I, das zu SA und SC harmonisch liegt. Schneiden u, u die Gerade AB in U, U' und ebenso v, v' die Gerade AC in V, V', so muß erstens entweder U der Pol von u', oder U' der Pol von u sein und zweitens entweder der Pol von v', oder V' der Pol von v sein. Ist nämlich U nicht der Pol von u', so muß ein anderer Punkt U1 von u der Pol von sein. Die Polare von U muß dann sowohl durch U als auch durch U, gehen, d. h. u ist aber die Behauptung erwiesen. unterscheiden und jeder liefert schnitten.

dann die Polare von U'; damit ist Wir haben sonach vier Fälle zu einen von den gesuchten Kegel

[blocks in formation]

Im ersten Falle wird UV die Polare von Su× v sein, sie schneidet aus g und h die Berührungspunkte mit einem unserer Kegelschnitte aus. Ferner findet man auf SA, SB, SC die Kurvenpunkte A, B1, C1 dadurch, daß A und 4, durch S und UV harmonisch geteilt werden u. s. w. In gleicher Weise ergeben sich die drei übrigen Kegelschnitte. Die Aufgabe hat reelle Lösungen, wenn die Geraden u, u', v, v' reell sind. Es müssen also g und h die Strecke AB (und ebenso AC) entweder gleichzeitig schneiden oder gleichzeitig nicht schneiden.

Aus diesen Betrachtungen findet man mit Hilfe des Prinzipes. der Dualität auch die Lösung der dualen Aufgabe: Die vier Kegelschnitte zu zeichnen, die durch zwei gegebene Punkte Gund H gehen und drei gegebene Gerade a, b und c berühren.

412. Zwei beliebige Kegelschnitte k und k1 befinden sich stets in perspektiver Lage und zwar, wenn ihre gemeinsamen Punkte und Tangenten sämtlich reell sind, auf zwölf Arten, in jedem andern Falle auf vier Arten. Als Centrum der Perspektive kann der Schnittpunkt je zweier gemeinsamer Tangenten, als Achse jede gemeinsame Sehne dienen. Den beiden Perspektivitätscentren, die auf einer Seite des den Kegelschnitten gemeinsamen Polardreiecks liegen, kann als Achse jede der beiden gemeinsamen Sehnen durch die gegenüberliegende Ecke des Polardreiecks zugeteilt werden.

Besteht zwischen k und k, eine perspektive Beziehung, so ordnet sie einem jeden Punkt und seiner Polare in Bezug auf k wieder einen Punkt und dessen Polare in Bezug auf k1 zu; sie führt also harmonische Pole oder Polaren von k in harmonische Pole oder Polaren von k, über. Im Centrum O der Perspektive entspricht jeder Strahl sich selbst; je zwei Strahlen durch O, welche harmonische Polaren von k sind, sind deshalb auch harmonische Polaren von k. O ist somit Scheitel einer Strahleninvolution, deren Strahlenpaare gemeinsame harmonische Polaren und deren Doppelstrahlen gemeinsame (reelle oder konjugiert imaginäre) Tangenten von k und k1 sind. Auf der Achse a der Perspektive entspricht jeder Punkt sich selbst; je zwei auf ihr liegende. harmonische Pole von k sind zugleich harmonische Pole von k. Somit ist a Träger einer Involution gemeinsamer harmonischer

« ZurückWeiter »