und vier Tangenten gemein; die nicht reellen unter ihnen sind paarweise konjugiert imaginär. Ferner besitzen sie

ein gemeinsames Polardreieck, das entweder ganz reell ist, oder eine reelle Ecke und eine reelle Seite aufweist.

Ist das gemeinsame Polardreieck LMN völlig reell, so sind vier verschiedene Fälle zu unterscheiden.

α) Alle gemeinsamen Punkte und Tangenten von k und k1 sind reell. Dann liegen die Punkte paarweise

auf sechs reellen Strahlen; durch jede Ecke des Polardreiecks gehen zwei von ihnen, sie teilen den bez. Winkel harmonisch. Ebenso schneiden sich die Tangenten paarweise in sechs reellen Punkten;

n

m

k

B

H

auf jeder Seite des Polardreiecks liegen zwei von ihnen, sie teilen die bez. Seite harmonisch (Fig. 258). B) Alle gemeinsamen Punkte sind reell, die gemeinsamen Tangenten aber paarweise konjugiert imaginär. Für die Punkte gilt wieder das unter a) Gesagte. Auf einer Seite des Polardreiecks liegen zwei reelle Punkte, durch die je zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tangenten gehen; sie teilen die Seite harmonisch. Die übrigen Schnittpunkte der Tangenten liegen paarweise auf den beiden andern Seiten und sind konjugiert imaginär (Fig. 259).

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11

Fig. 259.

7) Die gemeinsamen Punkte sind paarweise konjugiert

imaginär, die gemeinsamen Tangenten aber alle reell. Für die Tangenten gilt dann das unter a) Gesagte. Durch eine Ecke des Polardreiecks gehen zwei reelle Strahlen, auf denen je zwei konjugiert imaginäre

sind paarweise konjugiert imaginär. Hier gehen durch eine Ecke des Polardreiecks zwei reelle Strahlen, die je zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Punkte tragen und den bez. Winkel harmonisch teilen. Zugleich

liegen auf einer

Seite desselben zwei reelle Punkte, die je zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tangenten aussenden und die Seite harmonisch teilen (Fig. 261). Jene Ecke mit den reellen Strahlen und diese Seite mit den reellen Punkten liegen einander gegenüber; der Beweis hierfür findet sich

weiter unten.

Ist vom gemeinsamen Polardreieck nur eine Ecke L und die gegenüberliegende Seite 7 reell, so erhalten wir den weiteren Fall:

ε) Von den gemeinsamen Punkten und Tangenten sind je zwei reell und je zwei konjugiert imaginär. Durch L gehen zwei reelle Strahlen, der eine trägt die reellen, der andere die konjugiert imaginären gemeinsamen Punkte. Aufliegen zwei

reelle Punkte, der eine sendet die reellen, der andere die konjugiert imaginären Tangenten aus (Fig. 262).

402. Zur Konstruktion der einzelnen Figg. 258-262 dienen noch die folgenden Betrachtungen. Wie wir sahen, liegen auf jeder Seite des gemeinsamen Polardreiecks von k und k, die beiden Punkte, welche die gemeinsamen Tangenten aussenden, harmonisch zu den Punkten, die irgend zwei gemeinsame harmonische Polaren von k und k1 auf ihr ausschneiden. Ebenso liegen in jeder Ecke des Polardreiecks die beiden Strahlen, welche die gemeinsamen Punkte tragen, harmonisch zu den Strahlen, welche die Ecke mit irgend zwei gemeinsamen harmonischen Polen von k und k, verbinden. Es sei nun L eine Ecke und eine Seite des gemeinsamen Polardreiecks, ferner seien i und j zwei reelle Strahlen durch L, welche je eine Involution gemeinsamer harmonischer Pole tragen, deren (reelle oder imaginäre) Doppelpunkte also gemeinsame Punkte von k und k, sind. Endlich mögen P und P' ein Paar gemeinsamer harmonischer Pole auf i und Q und Q' ein derartiges Paar auf j bedeuten. Die Involution gemeinsamer harmonischer Pole auf i ist durch die Punktepaare P, P' und L, ixl bestimmt, die Involution auf j durch die Punktepaare Q, Q' und L, j × 7. Suchen wir dann den Pol J von i in Bezug auf k auf und den Pol J von i in Bezug auf k1, so sind PJ und P'J1 gemeinsame harmonische Polaren von k und k; gleiches gilt für PJ, und P'J. In der That ist PJ

J

die Polare von P' in Bezug auf k, also sind PJ und P'J, harmonische Polaren von k; es ist aber auch P'J die Polare von P in Bezug auf k1, so daß P'J, und PJ auch harmonische Polaren von k1 sind. Ist i eine gemeinsame Sehne von k und k, und sind Jund J ihre Pole bezüglich k resp. k1, so gehört zu jedem Strahl durch als gemeinsame harmonische Polare ein Strahl durch J; je zwei derartige Strahlen schneiden auf i zwei gemeinsame harmonische Pole aus. Daraus folgt weiter: J und gehören einer Seite des gemeinsamen Polardreiecks an und liegen harmonisch zu den beiden Punkten, welche die gemeinsamen Tangenten der Kegelschnitte auf ihr ausschneiden (398).

1

Natürlich gelten auch die dualen Sätze: Ist H ein Punkt, von dem sich zwei (reelle oder imaginäre) gemeinsame Tangenten an k und k1 legen lassen, und sind h und h1 seine Polaren bezüglich k resp. k, so gehört zu jedem Punkt von h als gemeinsamer harmonischer Pol ein Punkt von h1; je zwei derartige Punkte liefern mit H verbunden zwei gemeinsame harmonische Polaren von k und k. h und h enthalten eine Ecke des gemeinsamen Polardreiecks und liegen harmonisch zu den beiden durch die Ecke gehenden gemeinsamen Sehnen der Kegelschnitte.

403. In Figg. 258 und 259 sind A, B, C, D die den beiden Kegelschnitten k und k, gemeinsamen reellen Punkte und t und t1 sind die bezüglichen Tangenten in 4. Ist dann AB × CD = L, BC × AD N und setzt man MN = 1, NL

=

=

M, BD X AC = m, LM n, so sind J = t× 1 und J1 = t1 × / die Pole von i = AB in Bezug auf k und k1. Die Punkte und G von 7, in denen sich die gemeinsamen Tangenten der beiden Kegelschnitte paarweise schneiden, teilen die Punktepaare M, N und J, J, harmonisch. Ähnliches gilt für die Seiten m und n. Man sieht, daß in Fig. 258 t und t, jede Seite des Dreiecks LMN entweder in zwei zwischen den Ecken oder zwei außerhalb liegenden Punkten schneiden; deshalb liefern die gemeinsamen Tangenten auf jeder Seite zwei reelle Schnittpunkte. In Fig. 259 wird dagegen nur eine Seite gleichzeitig von t und t in Punkten geschnitten, von denen keiner zwischen den Ecken liegt.

404. In Figg. 260 und 261 sind i und j die beiden gemeinsamen Sehnen, die je ein Paar konjugiert imaginärer gemeinsamer Punkte von k und k1 tragen. Auf i und j liegen Involutionen gemeinsamer harmonischer Pole. P, P' auf i und Q, Q' auf j mögen solche Paare gemeinsamer harmonischer Pole sein. Natürlich muß man zur Festlegung dieser Involutionen auf und j noch je ein

weiteres Punktepaar kennen. Sucht man dann in jeder der beiden Involutionen zu Lixj den entsprechenden Punkt, so ist ihre Verbindungslinie die Polare von L in Bezug auf beide Kegelschnitte. Die Ecken M und N des Polardreiecks sind diejenigen Punkte auf 1, aus denen sich die auf i und j liegenden Involutionen durch die nämliche Strahleninvolution projizieren (396). Man erhält demnach M und N als die beiden Punkte der Geraden 7, die sowohl zu ihren Schnittpunkten mit und j, als auch zu ihren Schnittpunkten mit PQ' und P'Q harmonisch liegen (vergl. 354). Nimmt man nun noch J und J als Pole von i in Bezug auf k resp. k, an, so sind diese Kegelschnitte bestimmt und können leicht gezeichnet werden. Die Schnittpunkte der gemeinsamen Tangenten mit liegen harmonisch zu M, N und zu J, J. Die Schnittpunkte der gemeinsamen Tangenten mit m (oder n) werden durch L, N (oder L, M) einerseits und durch PJ, P'J, andererseits harmonisch geteilt. In Fig. 260 sind die gemeinsamen Tangenten reell und schneiden auf allen Seiten des Dreiecks LMN reelle Punkte aus.

405. In Fig. 261 sind die gemeinsamen Tangenten paarweise konjugiert imaginär, jedes Paar schneidet sich in einem reellen Punkte von . Um dies zu erkennen, schließen wir folgendermaßen: I liegt außerhalb der Kegelschnitte k und k1, denn sonst würden die reellen Sehnen i und j durch I dieselben in reellen Punkten schneiden. Somit schneidet 7 beide Kegelschnitte in reellen Punkten. Die Schnittpunkte von k mit 7 liegen aber sowohl zu M und N als auch zu Jund i harmonisch; demnach befinden sich ix und J entweder beide auf der Strecke MN, oder beide auf ihrer Verlängerung. Auch und J, müssen sich so verhalten, daß auch J und J entweder beide auf der Strecke MN, oder beide auf ihrer Verlängerung liegen. Es giebt also zwei reelle Punkte G und H auf 1, die gleichzeitig zu M, N und zu J, J harmonisch liegen; in jedem von ihnen schneiden sich zwei konjugiert imaginäre gemeinsame Tangenten von k und k,. Dagegen giebt es auf n keine Punkte, die zu L und M, sowie zu den Schnittpunkten von n mit PJ und PJ, harmonisch liegen, d. h. die gemeinsamen Tangenten von k und k1 schneiden auf n keine reellen Punkte aus.

406. In Fig. 262 ist i die Sehne durch die reellen Schnittpunkte A und B und j die Sehne durch die konjugiert imaginären. Die letzteren sind wieder durch eine Involution bestimmt, von der P, P' und L = ixj, jx Punktepaare sind (A und B werden. durch L und 7 harmonisch getrennt). Ferner mögen in A die Tangenten t und t1 an k und k1 gegeben sein, dann lassen sich die