heißen erster und zweiter Tafelabstand des Punktes P; für beide wird das Vorzeichen in dem vorderen oberen Fache positiv angenommen; es wechselt beim Durchgang von P durch die betreffende Projektionsebene. Die Ebene PP'P" der beiden projizierenden Strahlen steht zu beiden Projektionsebenen und folglich auch zur Achse r senkrecht. Ist also (Fig. 19) P = PP'P" xx, so sind PP, P'P und P"Pa und PP'PP' ist ein Rechteck.

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27. Hieraus erkennt man:

a) Die von den beiden Projektionen eines Punktes (und von diesem selbst) auf die Achse gefällten Lote haben denselben Fußpunkt P

B) Der erste (zweite) Tafelabstand eines Punktes stimmt nach Größe und Vorzeichen mit dem Abstande seiner zweiten (ersten) Projection von der Achse überein. Liegt insbesondere der Punkt P auf einer Projektionsebene, so fällt die bezügliche Projektion mit ihm zusammen, die andere auf die Achse. Ein Punkt der Achse endlich liegt mit seinen beiden Projektionen vereinigt.

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Aus den beiden in П1 und П2 verzeichneten Projektionen eines Punktes, welche die Bedingung «) erfüllen müssen, sonst aber beliebig angenommen werden können, wird dieser selbst nach ) eindeutig bestimmt und zwar am einfachsten als Schnittpunkt der in P' auf П1 und in P" auf П, errichteten Senkrechten. Aus der Darstellung eines Punktes ergeben sich aber die der Geraden und Ebenen, sowie überhaupt der zusammengesetzten Raumgebilde.

28. Die Projektion einer Linie wird als Gesamtheit der Projektion ihrer Punkte erhalten. Die ersten Projektionen aller Punkte einer Geraden g ergeben deren Grundriß, erste oder Horizontalprojektion g', ebenso die zweiten Projektionen den Aufriß, die zweite oder Vertikalprojektion g". Die projizierenden Strahlen sämtlicher Punkte von g bilden resp. eine erste oder zweite projizierende Ebene. Die Projektionen der Geraden sind also die Schnittlinien (Spuren) ihrer projizierenden Ebenen in П, und П, mithin selbst gerade Linien. Eine Ausnahme tritt nur für den besonderen Fall ein, daß die Gerade g zu einer Projektionsebene senkrecht ist; es existiert dann keine zugehörige projizierende Ebene mehr; die betreffende Projektion wird ein Punkt, während die andere Projektion eine zur Achse senkrechte Gerade. bildet.

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29. Nach Annahme einer Geraden g ist ihre Orthogonalprojektion g' auf eine gegebene Ebene als Spur der projizierenden Ebene bestimmt; dagegen ist g durch eine Projektion noch nicht bestimmt. Die beiden Projektionen g' und g" auf П, und П, die wir willkürlich annehmen dürfen, definieren jedoch eine Raumgerade g, und zwar ist sie die Schnittlinie der beiden durch g' resp. g" senkrecht zu П1 resp. П1⁄2 gelegten Ebenen. Ausgenommen hiervon ist der Fall, wo eine der projizierenden Ebenen auf der Achse senkrecht steht; dann fällt die andere projizierende Ebene mit ihr zusammen, und die Projektionen g' und g" stehen in dem nämlichen Punkt der Achse auf dieser senkrecht. Ist demnach g' zur Achse normal, so ist auch g" in dem gleichen Punkt zur Achse normal; zur vollständigen Bestimmung der Raumgeraden sind hier noch weitere Angaben erforderlich.

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30. Die Darstellung einer Geraden g kann immer auf die zweier auf ihr liegender Punkte P und zurückgeführt werden, durch deren Projektionen dann die der Geraden g hindurchgehen,

also g'= P'Q', g′′ = P"Q". Unter allen Punkten einer Geraden haben aber ihre Schnittpunkte mit den Projektionsebenen, nämlich G1 =g>π1 und G2 = gП, eine besondere Bedeutung. Sie heißen erster und zweiter Spur- oder Durchstoßpunkt der Geraden. Jeder Spurpunkt fällt mit seiner gleichnamigen Projektion zusammen, während seine andere Projektion auf der Achse liegt (Fig. 20). Ist g einer Tafelebene parallel, so liegt in dieser ihr Spurpunkt unendlich fern, die Projektion auf die andere Tafelebene wird zur Achse parallel. Z. B. folgt aus g|| T1, daß g'||g und g′′ || x ist (Fig. 21).

Ist g zur Achse parallel, so sind es auch g' und g"; G1 und G2 liegen dann beide unendlich fern.

Sind umgekehrt die Projektionen g' und g" der Geraden g gegeben, so findet man ihre Spurpunkte aus der Bemerkung, daß der Aufriß von G1 mit dem Punkt g′′ × x und der Grundriß von G2 mit dem Punkt g' x x identisch ist.

31. Die Projektion einer (unbegrenzten) Ebene E überdeckt im allgemeinen die betreffende Projektionsebene in ihrer ganzen Ausdehnung und eignet sich daher nicht zur Bestimmung von E. Ausgenommen ist der Fall, wo E auf der Projektionsebene senkrecht steht; die Orthogonalprojektion der Ebene reduziert sich dann auf eine Gerade und genügt zu ihrer Bestimmung. Im allgemeinen Falle dagegen kann zur Darstellung der Ebene entweder die Angabe dreier Punkte oder zweier Geraden derselben durch ihre Grund- und Aufrisse dienen. Am gebräuchlichsten ist es, die Ebene E durch die beiden Geraden

darzustellen, die man als ihre erste oder Horizontalspur und ihre zweite oder Vertikalspur bezeichnet (Fig. 22). Die Spuren treffen sich im Achsenschnittpunkte E = Exx und bestimmen E direkt als Verbindungsebene

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Fig. 22.

beide Spuren e, und e, mit dieser zusammen; zur Bestimmung der Ebene bedarf es dann noch der Angabe eines auf ihr liegenden Punktes außerhalb der Achse.

32. Die oben erwähnten speziellen Lagen einer Geraden oder einer Ebene, für die es nötig wird, von der gebräuchlichen Darstellung mittels Projektionen, bez. Spuren in ПT, und П, abzuweichen, weil diese zur Bestimmung nicht genügen, können als Beispiele dafür angeführt werden, daß es unter Umständen sich empfiehlt

eine dritte Projektionsebene П, einzuführen. Man legt dieselbe zumeist gegen П1 und П2, also auch gegen die x-Achse senkrecht und bezeichnet sie als Seitenrißebene (Kreuzriß). Die Geraden y=П,П, und z =ПT, X TT, bezeichnen wir auch als horizontale und vertikale Nebenachse. Der Punkt 0 = π1 × π1⁄2 × Ã ̧, in dem

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3

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sich die drei Achsen rechtwinklig schneiden, heißt Ursprung. Von O aus werden auf jeder Achse die Strecken nach der einen Seite positiv, nach der anderen negativ gerechnet und zwar auf x nach rechts, auf У nach vorn, auf Z nach oben in positivem Sinn.

33. Zu den bisherigen Darstellungselementen eines je

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rung von П noch je ein drittes Element neu hinzu: für den Punkt P die dritte Projektion oder der Seitenriß P"", sowie der dritte Abstand PP"" (welcher auf der rechten Seite von П роsitiv gerechnet wird), für eine Gerade g der Seitenriß g"" und der dritte Spurpunkt G2 = g × П, für eine Ebene E endlich die dritte Spurlinie e,= EXTT, (Fig. 23).

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34. Die drei Еbenen П1, П1⁄2, П teilen den Raum in acht räumliche Ecken, sie selbst werden durch die Achsen x, y, z in je vier ebene Felder zerlegt. Zur Unterscheidung der möglichen Lagen eines Punktes hinsichtlich der acht Ecken dienen die Vorzeichen der drei Tafelabstände. Die Maßzahlen dieser Abstände bilden die rechtwinkligen Punktkoordinaten in der analytischen Geometrie des Raumes.

35. Es ist unmittelbar ersichtlich, daß in diesem Dreitafelsystem die Darstellung einer Geraden durch ihre Projektionen oder die einer Ebene durch ihre Spuren auch in den oben erwähnten Spezialfällen keine Unbestimmtheit mehr übrig läßt. Eine zur

Achse x senkrecht gerichtete, schneidende oder nicht schneidende (windschiefe) Gerade g, die durch ihre ersten beiden Projektionen g' und g" nicht bestimmbar ist, wird durch eine derselben in Verbindung mit der dritten

entsprechend noch in anderer Weise gewählt werden kann) als eine der Hilfsmethoden zu betrachten, die wir in der Folge noch weiter zu entwickeln haben werden. Den Hauptbestandteil der

Methode der Orthogo

nalprojektion bildet die

Benutzung des rechtwink

ligen Zweitafelsystems E oder das Grund- und Aufrißverfahren.

37. Die in der Horizontal- und Vertikalebene konstruierten Projektionen einer Raumfigur sollen jetzt in einer und derselben Zeichnungsebene zur Darstellung gebracht werden. Zu diesem Zwecke wählt man etwa

die Aufrißebene als Zeichnungsebene und denkt sich nach Ausführung der Projektionen die Horizontalebene durch Drehung um die Achsex mit der ersteren derart vereinigt, daß der vordere Teil der Grundrißebene (den wir als +П, bezeichnen wollen) in den unteren Teil der Aufrißebene (— П2), folglich zugleich der hintere