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Dieses Resultat ist auch aus Fig. 230a zu erkennen, wenn man die Tangentialebene längs der Mantellinie SP in Betracht zieht. Dieselbe hat die Tangente im Punkte P des Kegelschnittes c zur ersten Spur und mag d1 und d2 in Q1 und Q2 schneiden. Dann sind die Dreiecke PFQ, und PPQ2 kongruent, da PF2 = PP, und Q2F2 = Q2P2 Kugeltangenten sind; da ▲ PP2Q2 = 90° ist, folgt auch PFQ2 90o.

=

2 2

2

2

2

=

1

2 2

2 2

363. Wir haben gesehen, daß einerseits: PF: P"D1 = konst. und andererseits auch PF: P"D2 konst. ist; wegen der Symmetrieverhältnisse müssen aber beide Quotienten gleich sein. Somit ergiebt sich: PF: PF2 = P"D1: P"D2 = PQ1: PQ2, und daraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke PFQ, und PFQ, die ja bei F, und F2 rechte Winkel aufweisen, und die Gleichung: FPQ1 = L F2PQ2 Das giebt den Satz: Die Brennstrahlen nach einem Punkte. des Kegelschnittes bilden mit seiner Tangente (und seiner Normale) gleiche Winkel. Bei der Parabel bildet jede Tangente mit der Achse und dem Brennstrahl nach ihrem Berührungspunkt gleiche Winkel. Denn in Fig. 230c sind die Dreiecke PF1Q1 und PE1Q, kongruent.

364. Nimmt man die perspektive Beziehung zwischen Kegelschnitt k und Kreis k, zum Ausgangspunkt und legt das Centrum der Perspektive in das Centrum F

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Geraden, d. h. der Polare von F in Bezug auf den Kreis k. Beschreibt man umgekehrt um einen Brennpunkt F des Kegelschnittes keinen beliebigen Kreis k,, so ist F das Centrum einer Perspektive für beide Kegelschnitte, deren Verschwindungslinie e

die zugehörige Leitlinie ist. Läßt man nämlich die Punkte P und P1 die ein beliebiger Strahl g aus k und k, ausschneidet, einander entsprechen, so ist einerseits die Perspektive festgelegt und andererseits ist der Kegelschnitt k durch Brennpunkt, Leitlinie und den Punkt P völlig bestimmt. Zu jedem Strahl durch F hat man ja den Pol in Bezug auf k als Schnittpunkt von e, mit dem zu ersterem rechtwinkligen Strahl, so daß man aus P beliebig viele Punkte von k gewinnen kann.

Es ist klar, daß ein Brennpunkt nur auf einer Achse des Kegelschnittes liegen kann. Denn der durch ihn gehende Durchmesser und die durch ihn gezogene Parallele zum konjugierten Durchmesser sind harmonische Polaren und müssen deshalb zu einander senkrecht sein. Es giebt aber auch nur auf einer Achse Brennpunkte, denn die Verbindungslinie zweier Brennpunkte muß stets eine Achse sein. Zu dieser Verbindungslinie bilden nämlich die auf ihr in den Brennpunkten errichteten Normalen harmonische Polaren. Der Schnittpunkt der letzteren liegt in der zur Verbindungslinie senkrechten Richtung unendlich fern und ist der Pol von ihr; also ist sie eine Achse.

365. Die perspektive Beziehung zwischen k und k1 kann wiederum zur Herleitung der hauptsächlichsten Brennpunktseigen

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schaften benutzt werden. Fügt man in Fig. 232 noch die Fluchtlinie e: hinzu und schneiden e, und e die Gerade g in G und

من

G, so entsprechen den Punkten F, P1, G, U, wo U den unendlich fernen Punkt von g bezeichnet, die Punkte F, P, U, G, Demnach ist

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Ist m der senkrechte Abstand der Brennpunkte von der Fluchtlinie e r der Radius des Kreises k1, d der Abstand des Punktes P von der Leitlinie e, und f sein Abstand vom Brennpunkt, so hat man FG: GP=m:d und FP, = r, FP = f, mithin die Relation f:d= =r:m. Da aber r und m unveränderlich sind, ergiebt sich

wieder der Satz in 361.

In den Figuren 232, 233, 234 sind die drei Fälle dargestellt, wo die Fluchtlinie den Kreis k1 nicht schneidet, schneidet oder berührt, also der Kegelschnitt k zur Ellipse, Hyperbel oder Parabel wird.

Die soeben besprochene perspektive Beziehung zwischen Kreis und Kegelschnitt gestattet auch den in 265 bewiesenen Satz am Kreis unmittelbar auf den Kegelschnitt zu übertragen. Die auf einer beweglichen Tangente eines Kegelschnittes von zwei festen Tangenten begrenzte Strecke erscheint vom Brennpunkte aus unter konstantem Winkel.

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366. Es seien t und u (Fig. 235) die aus einem Punkte P an eine Ellipse gezogenen Tangenten mit den Berührungspunkten T und U. Die auf sie aus den Brennpunkten F und F" gefällten Lote FQ und FR mögen um ihre eigene Länge resp. bis G und H verlängert werden. Dann ist TG TF und GTQ = < FTQ = ▲ LFTP, also (nach 361) F'G AB und, da M und Q die Strecken

=

=

MA. Fällt man von

MQ = MA.

FF" und FG halbieren, folgt weiter: den Brennpunkten Lote auf die Tangenten einer Ellipse,

H

M R

B

P
Fig. 236.

so liegen ihre Fußpunkte. auf einem Kreise, der ihre Hauptachse (große Achse) zum Durchmesser hat.

Der gleiche Satz gilt für die Hyperbel, wie Fig. 236 zeigt.

367. Bei der Parabel liegen die Fußpunkte der aus dem Brennpunkte auf die Tangenten gefällten Lote auf der Scheiteltangente. Ist nämlich Tein Punkt der Parabel, s ihre Scheiteltangente

und S der zugehörige Scheitel, so sind die Abstände des Punktes T von Brennpunkt F und Leitlinie d einander gleich (TG = TF) und S halbiert den Abstand zwischen F und d (Fig. 237). Die Scheiteltangente halbiert infolgedessen die Strecke FG in Q und TQ steht auf dieser Strecke in ihrem Mittelpunkt senkrecht; somit halbiert TQ den Winkel GTF und fällt nach 363 mit der Parabeltangente t in 7 zusammen.

R ID S F

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d

Fig. 237.

n

368. Die zuletzt bewiesenen Sätze gestatten die Konstruktion der beiden Kegelschnitttangenten aus einem beliebigen Punkte P. In den Figuren 235 und 236 ergiebt sich der Punkt Q der gesuchten Tangente PT als Schnitt zweier Kreise, die über den Durchmessern AB und PF resp. beschrieben sind. Durch den andern Schnittpunkt dieser Kreise geht die Tangente PU. Bei der Parabel schneiden die Tangenten aus P die Scheiteltangente in Punkten, die auf einem Kreise mit dem Durchmesser PF liegen.

369. Aus den Figuren 235 und 236 können wir noch erkennen, daß ▲GPF' ~▲FPH ist (PG = PF, PH = PF' und GF' = HF = AB);

mithin haben wir GPF" : LFPH, also GPF: = ▲ HPF" und auch ▲ TPF = ▲ UPF", denn diese sind halb so groß wie die vorangehenden. Das giebt den Satz: Die eine Tangente aus dem beliebigen Punkt P an den Kegelschnitt schließt mit dem von ihm ausgehenden Strahl nach dem einen Brennpunkt den gleichen Winkel ein, wie die andere Tangente mit dem Strahl nach dem andern Brennpunkt.

Dieser Satz gilt in gleicher Weise für die Parabel, wenn man ihren zweiten Brennpunkt auf ihrer Achse unendlich fern annimmt, so daß der Strahl nach diesem Brennpunkt zur Achse parallel wird (Fig. 237).

370. Wir wollen zuletzt noch die Brennpunkte als Doppelpunkte einer bestimmten Involution auf der bezüglichen Achse nachweisen, indem wir zunächst den Satz aufstellen: Die Punkte einer jeden Achse eines Kegelschnittes gehören paarweise in der Art zusammen, daß je zwei rechtwinklige Strahlen, deren jeder einen Punkt des Paares enthält, harmonische Polaren sind.

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M

I

FA

α

Es mögen die beiden rechtwinkligen harmonischen Polaren s und $1 auf einer Achse a die Punkte P und P1 ausschneiden (Fig. 238). Der Strahlbüschel mit dem Scheitel P ist projektiv zu der Punktreihe der zu den Strahlen gehörigen Pole. Projiziert man diese Punktreihe aus P1, so erhält man zwei projektive Strahlbüschel mit den Scheiteln P und P1, deren entsprechende Strahlen harmonische Polaren sind. Nun sind drei Strahlen des zweiten Büschels normal zu den entsprechenden Strah

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Fig. 238.

len des ersten. Sind nämlich n und n, die auf der Achse a in P und P errichteten Senkrechten, so entsprechen den Strahlen n, a und s des ersten Büschels die Strahlen a, n und $1 im zweiten, denn die Pole von n und n, liegen auf a. Beide Büschel sind somit kongruent (184) und jeder Strahl steht auf seinem entsprechenden senkrecht.

Schneiden s und s, die andere Achse, sie sei b, in den Punkten Q und Q, so gilt auch für dieses Punktepaar unser Satz. Je zwei

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