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die gleichlaufenden Involutionen harmonischer Polaren an zwei Scheiteln S und T vertreten werden).

358. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch einen reellen Punkt A und zwei konjugiert imaginäre Punkte mit den zugehörigen konjugiert imaginären Tangenten. Zur Be

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eine

stimmung der imaginären Elemente denke man sich reelle Gerade 9 (als Verbindungslinie der Berührungspunkte) und ihren Pol G (als Schnittpunkt der Tangenten) gegeben und überdies entweder die gleichlaufende Involution der harmonischen Pole des Kegelschnittes auf g oder die seiner Polaren am Scheitel G. Von dieser Involution liefert eine die andere, weil sie perspektiv sind.

Ist G' der Schnitt

punkt der Geraden AG mit g (Fig. 228), so findet man ihren zweiten Schnittpunkt A' mit dem Kegelschnitt als denjenigen, der zu A in Bezug auf G und G' harmonisch liegt. Sind ferner B, und B, C und C2, Punktepaare der Involution auf g, so sind B=AB1 × A'B2, B' = AB2 × A'B1, C= AC1 × A'C2, C′ = AС2 × A'С1, ... neue Punkte des gesuchten Kegelschnittes.

...

2

359. Wenn eine Strahleninvolution zwei Paare rechtwinkliger Strahlen enthält, so ist sie eine Involution rechter Winkel. Denn schneidet man die gegebenen Strahlen mit einem durch den Scheitel gelegten Hilfskreis, so erhält man Paare einer Punktinvolution und als Mittelpunkt der letzteren den Kreismittelpunkt. Jeder Durchmesser bestimmt ein neues Punktepaar auf dem Kreise und das zugehörige Strahlenpaar schließt wieder einen rechten Winkel ein.

Betrachtet man irgend zwei Rechtwinkelinvolutionen in derselben Ebene, so liegt zu jedem Strahlenpaar der einen ein Strahlenpaar der andern parallel, oder beide bestimmen auf der unendlich fernen Geraden dieselbe gleichlaufende Punktinvolution. Die imaginären Doppelstrahlen zweier Rechtwinkelinvolutionen sind daher parallel,

sie gehen durch dieselben beiden imaginären Punkte der unendlich fernen Geraden, die Doppelpunkte der gedachten Punktinvolution. Man bezeichnet sie als die imaginären Kreispunkte der Ebene und zwar deshalb, weil sie allen Kreisen der Ebene angehören. In der That bilden alle rechten Winkel mit gemeinsamem Scheitel die Involution der konjugierten Durchmesser für jeden um den Scheitel als Centrum beschriebenen Kreis und ihre imaginären Doppelstrahlen sind die Tangenten des Kreises, deren Berührungspunkte unendlich fern liegen.

360. Wenn man beachtet, daß alle Kreise einer Ebene durch die imaginären Kreispunkte gehen, so erscheinen die beiden nachfolgenden Sätze als Spezialfälle des Satzes in 301.

Drei reelle Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, oder ein reeller Punkt und zwei konjugiert imaginäre bestimmen einen Kreis.

Wir

geben für den zweiten Fall noch kurz die Konstruktion des Kreises an. Es sei A der gegebene reelle Punkt, B, und B2, C1 und C2 Paare harmonischer Pole des Kreises auf der reellen Geraden g (Fig. 229). Zieht man durch den Schnittpunkt S der beiden über den Durchmessern B1B2 und CC2 geschlagenen Kreise die Senkrechte zu 9, so schneidet sie den Mittelpunkt M der Involution auf g aus und stellt als Polare des unendlich fernen

2

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Fig. 229.

Punktes von g einen Durchmesser des gesuchten Kreises dar. Sind D und E die Endpunkte dieses Durchmessers, so schneiden ihre Verbindungslinien mit dem Punkte A nach 283 auf g ein Paar harmonischer Pole aus, da g und ED konjugierte Polaren sind. Zieht man umgekehrt von A aus Strahlen nach den harmonischen Polen auf g, so entsteht eine Strahleninvolution, deren rechtwinklige Strahlen durch D und E respektive gehen. Ein Hilfskreis k durch A schneidet aber die Strahleninvolution in einer Punktinvolution mit dem Mittelpunkt N; die Endpunkte X, Y seines durch N gezogenen Durchmessers liegen dann auf den gesuchten Rechtwinkelstrahlen.

Man kann auch einen Kreis durch S und A zeichnen, dessen Mittelpunkt auf g liegt; er schneidet auf g zwei harmonische Pole aus, deren Verbindungslinien mit A zu einander rechtwinklig sind, also durch D und E resp. gehen.

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

361. Wir haben früher den Kegelschnitt als perspektives Bild eines Kreises definiert und später gezeigt (308), wie ein Kegelschnitt zu jedem Kreise seiner Ebene, der ihn in zwei Punkten schneidet, in perspektiver Beziehung steht. Wir haben aber auch gesehen, daß jeder Kegelschnitt aus einem Rotationskegel ausgeschnitten werden kann (338-341). Aus beiden Erzeugungsweisen des Kegelschnittes können die Eigenschaften seiner Brennpunkte und Leitlinien leicht gewonnen werden, wie das im Folgenden dargelegt werden soll.11)

Wir gehen zunächst vom Rotationskegel mit dem Scheitel S aus und legen durch seine Achse senkrecht zur Ebene des Kegelschnittes c die Aufrißebene, während wir jene als Grundrißebene benutzen. In den Figg. 230a), b) und c) sind dann der elliptische, der hyperbolische und der parabolische Schnitt dargestellt. Im ersten Falle enthält die x-Achse die große Achse AB der Ellipse, im zweiten die Hauptachse AB der Hyperbel und im dritten die Parabelachse mit dem Scheitel A. Jeder Punkt der Kegelachse kann als Mittelpunkt einer Kugel gewählt werden, welche den Kegelmantel längs eines Kreises mit zur Achse normaler Ebene berührt. Unter diesen berührenden Kugeln giebt es zwei (beim Parabelschnitt nur eine), die außerdem die Ebene des Kegelschnittes c berühren. Sie schneiden die Aufrißebene in Kreisen, die außer den Mantelinien SA und SB auch noch die x-Achse tangieren.

2 2

Es seien nun K1 und K, die Mittelpunkte dieser Kugeln und zugleich der ebengenannten Kreise. Sie mögen die Ebene des Kegelschnittes c in den Punkten F, resp. F2 (auf x) berühren und den Kegelmantel in den Kreisen k1 und k2, deren Aufrisse mit den Durchmessern T11 resp. TU2 zusammenfallen. Die Ebenen dieser Kreise k1 und k2 haben zwei auf x senkrecht stehende Gerade d resp. do zu Grundrißspuren und TU1 resp. TU2 zu Aufrißspuren. Eine beliebige Mantellinie des Kegels mag k, k, und k2 in P, P1 und P, respektive schneiden und der durch P gehende Kegelkreis k mag sich als Durchmesser TU im Aufriß projizieren. Dann gelten die Beziehungen:

2

PF1 = PP1 und PF2= PP2,

2

da alle Kugeltangenten aus einem Punkte gleich lang sind.

Daher ist bei der Ellipse (Fig. 230 a) die Summe:

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Analog ist bei der Hyperbel (Fig. 230b) die Differenz:

= PP ̧ − PP2 = P1P2 = T1T2,

PF1 — PF1⁄2

also konstant und zwar

=

2

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2

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==

T

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Für die Parabel (Fig. 230c) folgt insbesondere: PP1=TT1=P”D ̧· Die Punkte Fund F2 bezeichnet man als die Brennpunkte des Kegelschnittes c und die Geraden d und d als seine Leitlinien. Nach dem letzten Resultat ist: AF: AD1 = BF: BD, (wenn wir statt P einmal den Punkt 4 und einmal den Punkt B setzen). Die vier Punkte liegen also harmonisch (218), und es ist jeder Brennpunkt der Pol einer Leitlinie. in Bezug auf den Kegelschnitt c. Hiernach gilt der Satz:

A

l

d

P

E,

Fig. 230 c.

Ellipse und Hyperbel besitzen auf der großen, resp. auf der reellen Achse je zwei Brennpunkte Fund F, und deren Polaren als Leitlinien

2

d1 und d2. Die Parabel hat auf ihrer Achse nur einen Brennpunkt D, und eine zugehörige Leitlinie d. Für jeden Punkt P einer Ellipse ist die Summe der Brennstrahlen PF + PF2, für jeden Punkt einer Hyperbel ihre Differenz PF-PF, konstant, nämlich gleich der Hauptachse AB.

1

2

Für jeden Punkt eines beliebigen Kegelschnittes ist das Verhältnis seiner Entfernungen von einem Brennpunkte (Fokus) und von der zugehörigen Leitlinie (Direktrix) konstant. Dieses Verhältnis hat bei der Parabel den Wert 1 und ist bei der Ellipse <1 und bei der Hyperbel > 1. 362. Aus diesem Satze können wir leicht noch eine weitere charakteristische Eigenschaft der Brennpunkte ableiten. Ziehen

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wir durch einen Brennpunkt F eine
Sehne JK parallel zu der zugehörigen
Leitlinie d1 (d1 Polare von F1) und eine
beliebige andere Sehne GH, so schnei-
den sich die Verbindungslinien ihrer End-
punkte paarweise in zwei harmonischen
Polen P und Q, die auf der Leitlinie d
liegen (Fig. 231). Offenbar halbiert die
Gerade GH die Strecke PQ in R, da
sie die dazu parallele Strecke JK in F
halbiert. Nun ist JGF1
Δ PGR,
also FG: FJ
= RG: RP, und nach
dem voranstehenden Satz: FG: F1J=
=
GG': JJ' GG': FD, RG: RF. Aus
beiden Relationen folgt RP RF; d. h.

=

=

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schlägt man um einen beliebigen Punkt R der Leitlinie d, als Centrum einen Kreis, dessen Peripherie den zugehörigen Brennpunkt F, enthält, so schneidet er die Leitlinie in harmonischen Polen Pund Q. Die Polare von P geht durch Q und F, und die Polare von Q durch P und F1, und da nach dem soeben Gesagten FQ FP ist, haben wir den Satz: Je zwei harmonische Polaren durch einen Brennpunkt sind zu einander rechtwinklig und umgekehrt. Diesem Satze kann man auch noch eine andere Form geben, wenn man bedenkt, daß der Berührungspunkt einer von Q an den Kegelschnitt gezogenen Tangente auf der Polare PF, von Q liegt. Auf jeder Tangente eines Kegelschnittes wird das vom Berührungspunkt und einer Leitlinie begrenzte Stück aus dem zugehörigen Brennpunkt durch einen rechten Winkel projiziert.

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