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Man kann auch einen Kreis durch S und A zeichnen, dessen Mittelpunkt auf g liegt; er schneidet auf g zwei harmonische Pole aus, deren Verbindungslinien mit A zu einander rechtwinklig sind, also durch B und E resp. gehen.

Brennpunkte und Leitlinien eines Kegelschnittes.

361. Wir haben früher den Kegelschnitt als perspektives Bild eines Kreises definiert und später gezeigt (308), wie ein Kegelschnitt zu jedem Kreise seiner Ebene, der ihn in zwei Punkten schneidet, in perspektiver Beziehung steht. Wir haben aber auch gesehen, daß jeder Kegelschnitt aus einem Rotationskegel ausgeschnitten werden kann (338—341). Aus beiden Erzeugungsweisen des Kegelschnittes können die Eigenschaften seiner Brennpunkte und Leitlinien leicht gewonnen werden, wie das im Folgenden dargelegt werden soll.jj)

Wir gehen zunächst vom Rotationskegel mit dem Scheitel S aus und legen durch seine Achse senkrecht zur Ebene des Kegelschnittes c die Aufrißebene, während wir jene als Grundrißebene benutzen. In den Figg. 230a), b) und c) sind dann der elliptische, der hyperbolische und der parabolische Schnitt dargestellt. Im ersten Falle enthält die ar-Achse die große Achse der Ellipse, im zweiten die Hauptachse AB der Hyperbel und im dritten die Parabelachse mit dem Scheitel A. Jeder Punkt der Kegelachse kann als Mittelpunkt einer Kugel gewählt werden, welche den Kegelmantel längs eines Kreises mit zur Achse normaler Ebene berührt. Unter diesen berührenden Kugeln giebt es zwei (beim Parabelschnitt nur eine), die außerdem die Ebene des Kegelschnittes e berühren. Sie schneiden die Aufrißebene in Kreisen, die außer den Mantelinien SA und SB auch noch die ar-Achse tangieren.

Es seien nun Kx und K2 die Mittelpunkte dieser Kugeln und zugleich der ebengenannten Kreise. Sie mögen die Ebene des Kegelschnittes c in den Punkten Fx resp. F2 (auf x) berühren und den Kegelmantel in den Kreisen äx und h2, deren Aufrisse mit den Durchmessern ^ Ux resp. T2 U2 zusammenfallen. Die Ebenen dieser Kreise ^ und k2 haben zwei auf x senkrecht stehende Gerade dx resp. d2 zu Grundrißspuren und 1\ resp. T2 U2 zu Aufrißspuren. Eine beliebige Mantellinie des Kegels mag k, Aj und h2 in P, Px und P2 respektive schneiden und der durch P gehende Kegelkreis k mag sich als Durchmesser TU im Aufriß projizieren. Dann gelten die Beziehungen:

PP\=PPx und PF2=PP2, da alle Kugeltangenten aus einem Punkte gleich lang sind.

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Ferner haben wir bei beiden Kurven:

PF2 = PP2 = TT2 und TT2: AT2 = P"B2: AB2, mithin: PF2:P"B2 = AT2:AB2, also konstant. Ebenso ergiebt sich: PFx: P"Bl = ATl: ABl, also konstant.

FürdieParabel (Fig.230c)folgt insbesondere:PPl = TTl = P"Bl.

Die Punkte Fl und F2 bezeich- y. ^ net man als die Brennpunkte des Kegelschnittes c und die Geraden dl und d2 als seine Leitlinien. Nach dem letzten Resultat ist: AFl: ABl = BFl: BBl (wenn wir statt P einmal den Punkt A und einmal den Punkt B setzen). Die vier Punkte liegen also harmonisch (218), und es ist jeder Brennpunkt der Pol einer Leitlinie in Bezug auf den Kegelschnitt c. Hiernach gilt der Satz:

Ellipse und Hyperbel besitzen auf der großen, resp. auf der reellen Achse je zwei Brennpunkte Fx und F2 und deren Polaren als Leitlinien

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dx und d2. Die Parabel hat auf ihrer Achse nur einen Brennpunkt Bx und eine zugehörige Leitlinie dv Für jeden Punkt P einer Ellipse ist die Summe der Brennstrahlen PFx + PF2, für jeden Punkt einer Hyperbel ihre Differenz PFx PF2 konstant, nämlich gleich der Hauptachse AB.

Für jeden Punkt eines beliebigen Kegelschnittes ist das Verhältnis seiner Entfernungen von einem Brennpunkte (Fokus) und von der zugehörigen Leitlinie (Direktrix) konstant. Dieses Verhältnis hat bei der Parabel den Wert 1 und ist bei der Ellipse < 1 und bei der Hyperbel > 1.

362. Aus diesem Satze können wir leicht noch eine weitere charakteristische Eigenschaft der Brennpunkte ableiten. Ziehen

wir durch einen Brennpunkt F^ eine Sehne JK parallel zu der zugehörigen Leitlinie dx (dx Polare von Fx) und eine beliebige andere Sehne GH, so schneiden sich die Verbindungslinien ihrer Endpunkte paarweise in zwei harmonischen Polen P und Q, die auf der Leitlinie dx liegen (Fig. 231). Offenbar halbiert die Gerade GH die Strecke PQ in R, da sie die dazu parallele Strecke JK in Fx halbiert. Nun ist A JGFx ~ A PGR, also F^G : FxJ = RG : RP, und nach

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Fig. 231.

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beiden Relationen folgt RP = RF, \ d. h. schlägt man um einen beliebigen Punkt R der Leitlinie dx als Centrum einen Kreis, dessen Peripherie den zugehörigen Brennpunkt^ enthält, so schneidet er die Leitlinie in harmonischen Polen Pund Q. Die Polare von P geht durch Q und Fx und die Polare von Q durch P und Fv und da nach dem soeben Gesagten F^ J_ FxP ist, haben wir den Satz: Je zwei harmonische Polaren durch einen Brennpunkt sind zu einander rechtwinklig und umgekehrt. Diesem Satze kann man auch noch eine andere Form geben, wenn man bedenkt, daß der Berührungspunkt einer von Q an den Kegelschnitt gezogenen Tangente auf der Polare PFx von Q liegt. Auf jeder Tangente eines Kegelschnittes wird das vom Berührungspunkt und einer Leitlinie begrenzte Stück aus dem zugehörigenBrennpunkt durch einen rechten Winkel projiziert.

Dieses Resultat ist auch aus Fig. 230a zu erkennen, wenn man die Tangentialebene längs der Mantellinie SP in Betracht zieht. Dieselbe hat die Tangente im Punkte P des Kegelschnittes c zur ersten Spur und mag rfj und d2 in Qx und Q2 schneiden. Dann sind die Dreiecke PF2Q2 und PP2Q2 kongruent, da PF2 = PP2 und Q2F2 = Q2P2 Kugeltangenten sind; da t_ PP2Q2 =90° ist, folgt auch L_ PF2Q2 = 90°.

363. Wir haben gesehen, daß einerseits: PFx: P"Bx = konst. und andererseits auch PF2 :P"B2 = konst. ist; wegen der Symmetrieverhältnisse müssen aber beide Quotienten gleich sein. Somit ergiebt sich: PF^. PF2 = P'B^. P"B2 = PQ^. PQ2, und daraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke PF^ und PF2Q2, die ja bei Fx und F2 rechte Winkel aufweisen, und die Gleichung: i_ ^PQi = /L ^PQy Das giebt den Satz: Die Brennstrahlen nach einem Punkte des Kegelschnittes bilden mit seiner Tangente (und seiner Normale) gleiche Winkel. Bei der Parabel bildet jede Tangente mit der Achse und dem Brennstrahl nach ihrem Berührungspunkt gleiche Winkel. Denn in Fig. 230c sind die Dreiecke PF^ und PF^ kongruent.

364. Nimmt man die perspektive Beziehung zwischen Kegelschnitt k und Kreis kx zum Ausgangspunkt und legt das Centrum der Perspektive in das Centrum F

des Kreises, so wird F zum Brennpunkt des Kegelschnittes (Fig. 232). Denn die Strahlen durch das Centrum F entsprechen sich selbst; rechtwinklige Durchmesser des Kreises sind aber harmonische Polaren desselben, sie sind also auch rechtwinklige harmonische Polaren des Kegelschnittes und F ist somit Brennpunkt. Zugleich wird die Verschwindungslinie e zur Leitlinie, denn sie entspricht der unendlich fernen Geraden, d. h. der Polare von F in Bezug auf den Kreis kv Beschreibt man umgekehrt um einen Brennpunkt F des Kegelschnittes k einen beliebigen Kreis Aj, so ist F das Centrum einer Perspektive für beide Kegelschnitte, deren Verschwindungslinie ea die zugehörige Leitlinie ist. Läßt man nämlich die Punkte P und Px die ein beliebiger Strahl g aus k und Aj ausschneidet, einander entsprechen, so ist einerseits die Perspektive festgelegt und andererseits ist der Kegelschnitt k durch Brennpunkt, Leitlinie und den Punkt P völlig bestimmt. Zu jedem Strahl durch P hat man ja den Pol in Bezug auf k als Schnittpunkt von ev mit dem zu ersterem rechtwinkligen Strahl, so daß man aus P beliebig viele Punkte von k gewinnen kann.

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Es ist klar, daß ein Brennpunkt nur auf einer Achse des Kegelschnittes liegen kann. Denn der durch ihn gehende Durchmesser und die durch ihn gezogene Parallele zum konjugierten Durchmesser sind harmonische Polaren und müssen deshalb zu einander senkrecht sein. Es giebt aber auch nur auf einer Achse Brennpunkte, denn die Verbindungslinie zweier Brennpunkte muß stets eine Achse sein. Zu dieser Verbindungslinie bilden nämlich die auf ihr in den Brennpunkten errichteten Normalen harmonische Polaren. Der Schnittpunkt der letzteren liegt in der zur Verbindungslinie senkrechten Richtung unendlich fern und ist der Pol von ihr; also ist sie eine Achse.

365. Die perspektive Beziehung zwischen k und kx kann wiederum zur Herleitung der hauptsächlichsten Brennpunktseigen

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Fig. 233.

schatten benutzt werden. Fügt man in Fig. 232 noch die Fluchtlinie e hinzu und schneiden e und e die Gerade q in G und

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