einer gleichlaufenden Involution als deren Doppelpunkte definiert werden. Sie liegen also zu beiden Punktepaaren harmonisch (232). Ein Punktepaar, das gleichzeitig zu zwei gegebenen Punktepaaren einer Geraden harmonisch liegt, ist konjugiert imaginär, wenn die gegebenen Paare sich gegenseitig trennen; in allen übrigen Fällen ist es reell. Ein gleicher Satz gilt infolge der Dualität für konjugiert imaginäre Strahlen.

Die auf die vorstehenden Definitionen sich gründende Ausdrucksweise bietet außer ihrer Kürze den weiteren Vorteil, daß der Zusammenhang gewisser Sätze untereinander deutlicher erkennbar wird. Im folgenden sollen einige Konstruktionen und Sätze nebst ihren dualen als Beispiele hierfür behandelt werden.

352. Zwei Punktepaare, die harmonisch liegen, sind entweder beide reell, oder die Punkte des einen sind reell, die des andern konjugiert imaginär; dagegen können nicht beide Paare aus konjugiert imaginären Punkten bestehen. Bildet das erste Paar mag es nun reell oder imaginär sein die Doppelpunkte einer Involution, so stellt das zweite Paar zwei sich entsprechende Punkte dieser Involution dar (223). Nehmen wir die Involution auf einem Kreise k an (317) (falls sie auf einer Geraden liegt, projizieren wir sie aus einem Punkte durch eine Strahleninvolution und schneiden diese mit einem Kreise durch den Scheitel), so schneiden sich die Verbindungslinien entsprechender Punkte alle in einem Punkte M, dem Mittelpunkt der Involution. Liegt M außerhalb k, so sind die Doppelpunkte der Involution reell und werden aus k durch die Polare m von M ausgeschnitten. Jeder Strahl durch M schneidet den Kreis in zwei zu den reellen Doppelpunkten harmonisch liegenden Punkten. Diese letzteren können reell oder konjugiert imaginär sein; denn durch M gehen auch Strahlen, die den Kreis nicht in reellen Punkten schneiden. Liegt M innerhalb k, so sind die Doppelpunkte der Involution konjugiert imaginär, denn die Polare m von M hat mit k keine reellen Punkte gemein. Jetzt schneidet jeder Strahl durch M den Kreis in zwei reellen Punkten, die zu den imaginären Doppelpunkten harmonisch liegen. Hieraus erkennt man auch, daß zwei Punktepaare auf einem Kegelschnitt harmonisch liegen, wenn von ihren beiden Verbindungslinien jede durch den Polder andern geht.

353. Sind drei Punktepaare so beschaffen, daß je zwei harmonisch liegen, so sind zwei von ihnen reell, die Punkte des dritten sind konjugiert imaginär. Denn nach dem voranstehenden Satze müssen ihre drei Verbindungslinien, wenn die Punkte

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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paare auf einem Kegelschnitt liegen, ein Polardreieck bilden, da jede von ihnen die Pole der beiden andern enthalten muß. Eine Ecke eines Polard reiecks liegt aber immer innerhalb, die beiden andern liegen außerhalb des Kegelschnittes; zwei Seiten des Polardreiecks schneiden ihn deshalb in reellen, die dritte in konjugiert imaginären Punkten.

Es seien zwei Involutionen von Punkten (oder Tangenten) auf einem Kegelschnitte k gegeben. Sind M und Wihre Mittelpunkte (315), m und n deren Polaren, also die Achsen der Involutionen, so bestimmt m auf k die Doppelpunkte der einen, n die der andern Involution und MN das gemeinsame Punktepaar. Letzteres wird imaginär, wenn die Gerade MN den Kegelschnitt nicht schneidet, also wenn ihr Pol m n innerhalb liegt. In diesem Falle aber hat jede der Involutionen ein reelles Doppelpunktepaar und die Punkte des einen trennen die des andern. Dieses Ergebnis überträgt sich auf Paare von Punktinvolutionen auf einer Geraden, oder Strahleninvolutionen an einem Scheitel; denn um an ihnen die entsprechenden Konstruktionen auszuführen, muß man, wie oben (317, 318) angegeben wurde, zu Involutionen auf einem Hilfskegelschnitt übergehen. Daher gilt allgemein der Satz:

Zwei Involutionen auf demselben Träger haben ein Elementepaar gemeinsam, welches reell ist, sobald nicht beide Involutionen reelle Doppelelemente besitzen, die einander wechselseitig trennen; in letzterem Falle ist das gemeinsame Paar imaginär. Das gemeinsame Paar liegt zu den Doppelelementen beider Involutionen harmonisch. Im besonderen können beide Involutionen ein Doppelelement gemein haben, das dann zugleich das gemeinsame Elementepaar darstellt.

9

354. Zwei Punktinvolutionen I und I' auf zwei Geraden g und g' können in doppelter Weise durch die nämliche Strahleninvolution ausgeschnitten werden. Dazu ist nur nötig, daß zwei Strahlenpaare der Strahleninvolution aus den Geraden g und g' je zwei Punktepaare der gegebenen Involutionen J resp. ' ausschneiden. Denn sowohl die Strahleninvolution als auch die Punktinvolutionen sind durch je zwei Elementepaare völlig bestimmt. Ist durch die Punktepaare A, A1 und B, B1 gegeben und I' durch die Punktepaare C', C, und D', D1', so kann man zunächst zu dem Punkte SgXg' den entsprechenden Punkt S in der Involution I und den entsprechenden Punkt S, in der Involution 'zeichnen (224, Fig. 225). Nun sind auf g' die Punkt

1

reihen S, S', C',

,

und S', S, C, C',

projektiv, folglich sind es auch die Strahlbüschel, die sie aus den Punkten A resp. A1 projizieren. Schneiden wir beide Büschel mit der Geraden S1S', so erhalten wir die projektiven

Punktreihen S1, S1', P, Q, ..

ין

....

...

", so

S

C

A

P

Fig. 225.

und S1', S1, P1, Q1 In ihnen entsprechen sich die Punkte S und S vertauschbar; deshalb liegen sie involutorisch und es sind SS, PP, QQ, Punktepaare einer Involution 3". Zwei Strahlen durch A und 41, welche g' in entsprechenden Punkten von I' schneiden, liefern auch entsprechende Punkte von J" und umgekehrt. Ist also O ein Doppelpunkt der Involution schneiden die Strahlenpaare OS, OS1, OA, OA1 sowohl auf g Punktepaare von I als auch auf g' Punktepaare von J' aus. O ist somit der Scheitel einer Strahleninvolution, die aus g und g' die gegebenen Involutionen und I' ausschneidet. Gleiches gilt für den andern Doppelpunkt O' von J". 355. Besitzen beide Involutionen I und I' reelle Doppelpunkte, so gehen ersichtlich je zwei ihrer Verbindungslinien durch O resp. O'. Besitzen dagegen beide Involutionen und 3' konjugiert imaginäre Doppelpunkte, so enthält die Strecke SS, einen Punkt des Paares AA1 etwa A und die Strecke SS' einen Punkt des Paares C'C' etwa C Dann liegen die Schnittpunkte Q und Q1 von S, S' mit AC' resp. A1⁄4ÎС′ beide auf der Strecke SS und die Involution I" hat wiederum reelle Doppelpunkte O und O'. Nur wenn eine der gegebenen Involutionen reelle und die andere imaginäre Doppelpunkte aufweist, wird das Punktepaar QQ, durch einen der beiden Punkte 8, resp. S' getrennt und die Doppelpunkte von " werden konjugiert imaginär.

Zwei Punktinvolutionen auf verschiedenen Trägern werden dann (und zwar in doppelter Weise) durch die nämliche Strahleninvolution projiziert, wenn sie entweder beide reelle, oder beide imaginäre Doppelpunkte besitzen.

Das Prinzip der Dualität liefert noch den dualen Satz: Zwei Strahleninvolutionen mit verschiedenen Scheiteln werden dann (und zwar in doppelter Weise) von einer Geraden in der nämlichen Punktinvolution geschnitten, wenn sie ent

weder beide reelle, oder beide imaginäre Doppelstrahlen aufweisen. Auch die Konstruktion dieser Geraden geht aus der Dualität hervor.

356. Ein Kegelschnitt ist konstruierbar aus drei reellen Punkten A, B, C und zwei konjugiert imaginären (d. h. der gleichlaufenden Involution seiner harmonischen Pole D1, D2 und E, E auf einer Geraden g).

Man suche zunächst einen Punkt S so, daß SD, 1 SD, und SEI SE wird, was mit Hilfe zweier Halbkreise über den Durchmessern DD, und EE, geschieht. Dann ist S der Scheitel für eine Involution rechter Winkel, deren Schenkel auf g die Involution

B

G

D'

g E

DCB

-9

harmonischer Pole ausschneiden (Fig. 226). Sind ferner B, resp. C1 die Schnittpunkte der Strahlen AB und AC mit g, sind endlich B2 resp. C2 die zu diesen Punkten gehörigen harmonischen Pole, so bestimmen die Strahlen BB und C2C den zweiten Schnittpunkt der durch A gehenden harmonischen Polare h zu g (vergl. 283). Die Verbindungslinien irgend zweier harmonischer Pole (D, und D, E1 und E2, .) mit A und A' (oder mit A' und A) ergeben neue Punkte (D und D', E und E', . . .) des gesuchten Kegelschnittes. Die Punkte A, B, C, D, E, . . . bilden mit A', B', C', D', E' . . . eine Involution auf dem Kegelschnitt, deren Achse g und deren Mittelpunkt ihr Pol G ist (315, 316).

Fig. 226.

Das Prinzip der Dualität ergiebt unmittelbar die Lösung des Problems: Aus drei reellen Tangenten a, b, c und zwei konjugiert imaginären (d. h. der gleichlaufenden Involution seiner harmonischen Polaren an einem gegebenen Scheitel S) einen Kegelschnitt zu konstruieren.

357. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch einen reellen und zwei Paare konjugiert imaginärer Punkte (die durch

die gleichlaufenden Involutionen harmonischer Pole auf zwei Geraden g und h vertreten werden).

R-R

=

h

Auf jeder der beiden Geraden g und h müssen zwei Paare harmonischer Pole gegeben sein. Man kann dann zu P gxh sowohl auf g den harmonischen Pol Q1, als auch auf h den harmonischen Pol R, konstruieren und erhält so in p = QR, die Polare von P (Fig. 227). P liegt außerhalb des gesuchten Kegelschnittes, da die Geraden g und h ihn nicht schneiden; demnach muß seine Polare p zwei reelle Punkte Q und R mit demselben gemein haben. Ist nun A der gegebene reelle Punkt des Kegelschnittes, so schneiden die Strahlen AQ= q und AR =r nach 283 sowohl auf g als auf h harmonische Pole aus, da ja g und h beide harmonische Polaren zu p sind. Projiziert.

B

B1

Fig. 227.

B%

man also die Punktinvolutionen auf g und h von A aus, so erhält man zwei Strahleninvolutionen, deren gemeinsames Strahlenpaar die gesuchten Strahlen q und r sind. Zur Konstruktion lege man durch A einen Hilfskreis, auf diesem schneiden die genannten Strahleninvolutionen zwei Punktinvolutionen aus; das gemeinsame Punktepaar der letzteren liegt auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte (353) und bestimmt die Strahlen q und r. Sind so auf p Punkte und R des Kegelschnittes gefunden, so sind QP und RP die zugehörigen Tangenten. Sind B1 und B2 harmonische Pole auf g, so sind nach 283 B' RB, und B = QB X RB1 zwei Punkte des Kegelschnittes u. s. f.

QB,

2

Durch das Dualitätsprinzip ergiebt sich hieraus der Satz:

die

Ein Kegelschnitt ist konstruierbar aus einer reellen und zwei Paaren konjugiert imaginärer Tangenten (die durch