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346. Duale Figuren in der Ebene können insbesondere, die eine aus der andern, nach einem bestimmten Gesetz abgeleitet werden; man bezeichnet es als das Gesetz der Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt und nennt letzteren die Direktrix (den Leitkegelschnitt) der Reciprozität. Denkt man sich nämlich zu allen Punkten und Geraden einer ebenen Figur ^ die Polaren und Pole in Bezug auf einen gegebenen Leitkegelschnitt k konstruiert, so bilden diese eine duale Figur $2, von der man rückwärts auf die gleiche Art wieder zu der Anfangsfigur ^ gelangt. 5j und $2 heißen polarverwandte oder Reciprokalfiguren in Bezug auf die Direktrix k. Jeder Punktreihe der einen Figur entspricht ein mit ihr projektiver Strahlbüschel der andern und umgekehrt (281); projektiven und speziell involutorischen Reihen der einen Figur entsprechen projektive, bezw. involutorische Büschel der andern u. s. f.

347. Als Beispiel führen wir an, daß man die drei Kegelschnittgattüngen als Reciprokalfiguren eines Kreises Ax in Bezug auf einen andern Kreis k als Direktrix erhält. Indem man sich Aj durch zwei

k die unendlich ferne Gerade, ferner gehören zu den Punkten A und B von \, deren Tangenten durch M gehen, als Polaren in Bezug auf k zwei Gerade a und b [a J_ AM, b J_ BM). Da A und B auf kx liegen, so sind a und b Tangenten von k2, und da die zu A und B gehörigen Tangenten durch M gehen, so liegen die Berührungspunkte von a und b mit k2 unendlich fern; d. h. a und b sind die Asymptoten von h2 (Fig. 224). Einer gemeinsamen

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proj ektive (kongruente) Strahlbüschel erzeugt denkt, ergiebt sich für die Beciprokalkurve eine Erzeugung durch zwei projektive Punktreihen; sie ist daher jedenfalls ein Kegelschnitt k2. Den Punkten und Tangenten von Aj entsprechen die Tangenten und Punkte von k2. Nun gehört zu dem Centrum M dös Leitkreises k als Polare in Bezug auf Tangente von und k gehört als Polare ihr Berührungspunkt mit k zu; durch diesen Punkt geht also A2 hindurch. Nach dem Gesagten ist ersichtlich, daß die Reciprokalkurve eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse ist, je nachdem das Centrum M des Leitkreises h außerhalb, auf oder innerhalb der Peripherie des gegebenen Kreises kx liegt.

348. Eine Konstruktion, die nur gerade Linien benutzt, heißt linear; ihr Resultat ist unzweideutig bestimmt. Bei allen Aufgaben, die nur eine bestimmte Lösung zulassen, darf man umgekehrt stets eine lineare Konstruktion erwarten; sie heißen Aufgaben ersten Grades. Probleme dagegen, zu deren Lösung ein Kegelschnitt erforderlich ist, besitzen im allgemeinen zwei Lösungen und heißen Aufgaben zweiten Grades; zu ihrer Konstruktion bedient man sich in der Regel eines Kreises. Da die Gerade und der Kreis die einzigen Gebilde sind, die sich unmittelbar zeichnen lassen, so ist klar, daß man jede kompliziertere Aufgabe, soweit thunlich, auf solche vom ersten und zweiten Grade zurückzuführen suchen muß. Wir haben uns hier nur mit den letzteren zu beschäftigen.

349. Für alle Probleme zweiten Grades bilden die folgenden zwei die Grundlage:

die Schnittpunkte eines Ke- die Tangenten an einen Kegelschnittes (Kreises) mit gelschnitt (Kreis) aus einem einer gegebenen Geraden zu gegebenen Punkte zu bebestimmen; stimmen;

sie stehen einander dual gegenüber und lassen sich unter einem gemeinsamen Gesichtspunkte betrachten. Ihre Lösungen bilden nämlich bezw.

die Doppelpunkte der Invo- die Doppelstrahlen der Involution harmonischer Pole, lution harmonischer Polaren, welche der Kegelschnitt auf welche der Kegelschnitt an der gegebenen Geraden be- dem gegebenen Punkte bestimmt; stimmt.

Die Fundamentalaufgabe lautet daher in allgemeinster Fassung so: Gegeben sind zwei projektive Punktreihen oder Strahlbüschel mit demselben Träger; man soll ihre sich selbst entsprechenden Elemente konstruieren.

350. Denkt man sich die gegebenen Gebilde nach analytischer Methode durch Gleichungen zwischen den Koordinaten ihrer Punkte oder Geraden dargestellt, so wird jedes geometrische Problem abhängig sein von der Auflösung gewisser Gleichungen. Die uns vorliegenden Aufgaben zweiten Grades im besonderen führen auf algebraische Gleichungen zweiten Grades mit reellen Koeffizienten. Die drei möglichen Fälle, daß die betreffende Gleichung zweiten Grades, zwei reelle verschiedene, zwei reelle gleiche oder zwei konjugiert imaginäre Wurzeln hat, entsprechen genau denen, wo sich auf konstruktivem Wege zwei getrennte, vereinte oder keine die Aufgabe befriedigenden Elemente finden lassen. Die nicht konstruierbaren, sondern nur analytisch definierten Lösungen werden aus Zweckmäßigkeitsgründen auch in der synthetischen Geometrie mitgezählt als imaginäre geometrische Elemente.

Indem wir es als selbstverständlich ansehen, daß die beiden Lösungen einer Aufgabe zweiten Grades reell oder konjugiert maginär sein, bezw. durch Koincidenz eine besondere reelle Lösung bestimmen können, wird es überflüssig, dies bei den einzelnen Sätzen ausdrücklich hervorzuheben. Wir sagen also z. B.:

Je zwei projektive Grundgebilde (Ebenen-, Strahlbüschel oder Punktreihen) mit einerlei Träger bestimmen zwei Doppelelemente (sich selbst entsprechende Elemente).

Auf jeder Geraden der Durch jeden Punkt der Ebene liegen zwei Punkte Ebene gehen zwei Tangeneines gegebenen Kegel- ten eines gegebenen Kegelschnittes. Schnittes.

351, Konstruktiv sind nur reelle geometrische Elemente verwendbar; wenn trotzdem von einer Konstruktion aus imaginären Elementen gesprochen wird, so ist dies nur eine abgekürzte Ausdrucksweise. Man sieht dann nur reelle Elemente als gegeben an, die durch ihre Beziehung zu einander die imaginären ersetzen.

Zwei konjugiert imaginäre Zwei konjugiert imaginäre Punkte werden durch hin- Strahlen werden durch hinreichend viele reelle Punkte- reichend viele reelle Strahpaare gegeben, die auf der lenpaare gegeben, die an dem reellen Verbindungslinie reellen Schnittpunkt zwei zwei projektive (involuto- projektive (involutorische) rische) Punktreihen mit den Strahlbüschel mit den gegedachten Punkten als Dop- dachten Strahlen als Doppelelementen bestimmen. pelelementen bestimmen.

Zwei konjugiert imaginäre Punkte liegen also stets auf einer reellen Geraden und können auf dieser durch zwei Punktepaare einer gleichlaufenden Involution als deren Doppelpunkte definiert werden. Sie liegen also zu beiden Punktepaaren harmonisch (232). Ein Pnnktepaar, das gleichzeitig zu zwei gegebenen Punktepaaren einerGeraden harmonischliegt, istkonjugiertimaginär, wenn die gegebenen Paare sich gegenseitig trennen; in allen übrigen Fällen ist es reell. Ein gleicher Satz gilt infolge der Dualität für konjugiert imaginäre Strahlen.

Die auf die vorstehenden Definitionen sich gründende Ausdrucksweise bietet außer ihrer Kürze den weiteren Vorteil, daß der Zusammenhang gewisser Sätze untereinander deutlicher erkennbar wird. Im folgenden sollen einige Konstruktionen und Sätze nebst ihren dualen als Beispiele hierfür behandelt werden.

352. Zwei Punktepaare, die harmonisch liegen, sind entweder beide reell, oder die Punkte des einen sind reell, die des andern konjugiert imaginär; dagegen können nicht beide Paare aus konjugiert imaginären Punkten bestehen. Bildet das erste Paar — mag es nun reell oder imaginär sein — die Doppelpunkte einer Involution, so stellt das zweite Paar zwei sich entsprechende Punkte dieser Involution dar (223). Nehmen wir die Involution auf einem Kreise k an (317) (falls sie auf einer Geraden liegt, projizieren wir sie aus einem Punkte durch eine Strahleninvolution und schneiden diese mit einem Kreise durch den Scheitel), so schneiden sich die Verbindungslinien entsprechender Punkte alle in einem Punkte M, dem Mittelpunkt der Involution. Liegt M außerhalb k, so sind die Doppelpunkte der Involution reell und werden aus k durch die Polare m von M ausgeschnitten. Jeder Strahl durch M schneidet den Kreis in zwei zu den reellen Doppelpunkten harmonisch liegenden Punkten. Diese letzteren können reell oder konjugiert imaginär sein; denn durch M gehen auch Strahlen, die den Kreis nicht in reellen Punkten schneiden. Liegt M innerhalb h, so sind die Doppelpunkte der Involution konjugiert imaginär, denn die Polare m von M hat mit k keine reellen Punkte gemein. Jetzt schneidet jeder Strahl durch M den Kreis in zwei reellen Punkten, die zu den imaginären Doppelpunkten harmonisch liegen. Hieraus erkennt man auch, daß zwei Punktepaare auf einem Kegelschnitt harmonisch liegen, wenn von ihren beiden Verbindungslinien jede durch den Pol der andern geht.

353. Sind drei Punktepaare so beschaffen, daß je zwei harmonisch liegen, so sind zwei von ihnen reell, die Punkte des dritten sind konjugiert imaginär. Denn nach dem voranstehenden Satze müssen ihre drei Verbindungslinien, wenn die Punkte

Rohn u. Pappbritz. I. 2. Aufl. 17

paare auf einem Kegelschnitt liegen, ein Polardreieck bilden, da jede von ihnen die Pole der beiden andern enthalten muß. Eine Ecke eines Polardreiecks liegt aber immer innerhalb, die beiden andern liegen außerhalb des Kegelschnittes; zwei Seiten des Polardreiecks schneiden ihn deshalb in reellen, die dritte in konjugiert imaginären Punkten.

Es seien zwei Involutionen von Punkten (oder Tangenten) auf einem Kegelschnitte k gegeben. SindM und iV^ihre Mittelpunkte (315), m und n deren Polaren, also die Achsen der Involutionen, so bestimmt m auf k die Doppelpunkte der einen, n die der andern Involution und MN das gemeinsame Punktepaar. Letzteres wird imaginär, wenn die Gerade MN den Kegelschnitt nicht schneidet, also wenn ihr Pol m x n innerhalb liegt. In diesem Falle aber hat jede der Involutionen ein reelles Doppelpunktepaar und die Punkte des einen trennen die des andern. Dieses Ergebnis überträgt sich auf Paare von Punktinvolutionen auf einer Geraden, oder Strahleninvolutionen an einem Scheitel; denn um an ihnen die entsprechenden Konstruktionen auszuführen, muß man, wie oben (317, 318) angegeben wurde, zu Involutionen auf einem Hilfskegelschnitt übergehen. Daher gilt allgemein der Satz:

Zwei Involutionen auf demselben Träger haben ein Elementepaar gemeinsam, welches reell ist, sobald nicht beide Involutionen reelle Doppelelemente besitzen, die einander wechselseitig trennen; in letzterem Falle ist das gemeinsame Paar imaginär. Das gemeinsame Paar liegt zu den Doppelelementen beider Involutionen harmonisch. Im besonderen können beide Involutionen ein Doppelelement gemein haben, das dann zugleich das gemeinsame Elementepaar darstellt.

354. Zwei Punktinvolutionen 3 und 8' auf zwei Geraden g und g' können in doppelter Weise durch die nämliche Strahleninvolution ausgeschnitten werden. Dazu ist nur nötig, daß zwei Strahlenpaare der Strahleninvolution aus den Geraden (/ und g' je zwei Punktepaare der gegebenen Involutionen 8 resp. 3' ausschneiden. Denn sowohl die Strahleninvolution als auch die Punktinvolutionen sind durch je zwei Elementepaare völlig bestimmt. Ist 3 durch die Punktepaare A, und B, Bx gegeben und 8' durch die Punktepaare C, C( und B', so kann man zunächst zu dem Punkte S = g x g' den entsprechenden Punkt Sx in der Involution 3 und den entsprechenden Punkt Sx' in der Involution 3' zeichnen (224, Fig. 225). Nun sind auf g' die Punkt

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