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der m, m1, u, v resp. in den Punkten M, M1, U, V schneiden mag (SM = SM1 = SU = SV). Dieser schneidet den Kegel in einem Kreis k, für welchen MM, ein Durchmesser und UV eine Sehne ist, und es gilt die Relation WM.WM1 = (WU)2, (W = UV × MM1). WU ist aber die halbe Basis des gleichschenkligen Dreiecks SUV, das sich aus der Länge seiner Schenkel (= SM) und dem Winkel & an seiner Spitze zeichnen läßt, so daß sich daraus auch der Punkt U auf k ergiebt (in der Figur sind k und U in der Umlegung ko und U° gezeichnet) und dann der Punkt W auf MM. Trägt man noch auf SW die Strecke ST 2 a auf und zeichnet das Parallelogramm STAA1, dessen Ecken A und 4 auf m resp. m, liegen, so ist AA1 der Lage und der Länge nach die reelle Achse der gesuchten Hyperbel h. In der Figur ist die um AA, umgelegte Hyperbel h。 angegeben.

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Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

342. In den vorausgehenden Entwicklungen weist die öfters bemerkbare paarweise Gegenüberstellung von Sätzen auf ein allgemeines geometrisches Gesetz hin, welches sowohl die ebenen wie die räumlichen Figuren beherrscht: das Gesetz der Dualität. Seine Bedeutung besteht darin, daß aus jedem synthetisch-geometrischen Satze sofort ein anderer abgeleitet werden kann, indem man gewisse sich entsprechende Begriffe durcheinander ersetzt. Es nimmt zwei verschiedene Formen an, je nachdem man Figuren in der Ebene oder im Raume betrachtet.

343. In der Ebene bilden der Punkt und die Gerade die sich dual entgegenstehenden Begriffe, weil beide für die Zusammensetzung der ebenen Gebilde als Elemente betrachtet werden können und weil die hierbei allein zur Geltung kommenden Grundgesetze:

Zwei Punkte bestimmen Zwei Gerade bestimmen eine Gerade; einen Punkt; durch Vertauschung beider Begriffe auseinander hervorgehen. Demnach entsprechen allen Punkten einer Geraden (einer Punktreihe) alle Gerade durch einen Punkt (ein Strahlbüschel), einem vollständigen Viereck mit seinen sechs Seiten ein vollständiges Vierseit mit seinen sechs Ecken, also vier harmonischen Punkten vier harmonische Strahlen, perspektiven resp. projektiven Punktreihen perspektive resp. projektive Strahlbüschel, dem Kegelschnitt als Erzeugnis

projektiver Strahlbüschel ein Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Punktreihen, den Punkten des ersteren also die Tangenten des letzteren, einem Pascal'schen Sechseck ein Brianchon'sches Sechsseit u. s. f.

344. Im Raume bilden der Punkt und die Ebene dual entgegengesetzte Begriffe, der geraden Linie entspricht. wieder eine gerade Linie. In der That lassen die für die Zusetzung der Raumgebilde aus diesen Elementen geltenden Grundgesetze die Vertauschung der als dual bezeichneten Begriffe zu. Es sind diese:

Zwei Punkte bestimmen eine Gerade;

Drei Punkte bestimmen eine Ebene, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen;

Zwei Ebenen bestimmen eine Gerade;

Drei Ebenen bestimmen einen Punkt, wenn sie nicht durch eine Gerade gehen.

Einfache Beispiele dualer Sätze sind die folgenden:

Beliebig viele Gerade liegen in einer Ebene, wenn je zwei einen, aber nicht alle denselben Punkt gemein haben.

Eine gemeinsame Sekante dreier windschiefer Geraden ist die Schnittlinie der Verbindungsebenen, die ein Punkt der ersten mit jeder der beiden andern bestimmt.

Beliebig viele Gerade gehen durch einen Punkt, wenn je zwei eine, aber nicht alle dieselbe Verbindungsebene haben.

Eine gemeinsame Sekante dreier windschiefer Geraden ist Verbindungslinie der Schnittpunkte, die eine Ebene durch die erste mit jeder der beiden andern bestimmt.

345. Dem Gesetz der Dualität sind nur die Eigenschaften der Figuren unterworfen, die reine Lage beziehungen ihrer Elemente ausdrücken und folglich durch Projektion nicht zerstört werden (projektive Eigenschaften). Die an den Figuren stattfindenden metrischen Relationen unterliegen jenem Gesetz nicht, weil sie Begriffe enthalten, für die wir dual entgegengesetzte nicht haben, nämlich den Begriff der Strecke und den des Winkels. Beispielsweise entspricht zwar der Konstruktion der Doppelstrahlen zweier involutorischer Büschel (317) durch Dualität die Konstruktion der Doppelpunkte zweier involutorischer Reihen (318), aber dieses Entsprechen erstreckt sich nicht auf die Bestimmung des Rechtwinkelpaares der Strahleninvolution und die des Mittelpunktes der Punktinvolution.

346. Duale Figuren in der Ebene können insbesondere, die eine aus der andern, nach einem bestimmten Gesetz abgeleitet werden; man bezeichnet es als das Gesetz der Reciprozität in Bezug auf einen Kegelschnitt und nennt letzteren die Direktrix (den Leitkegelschnitt) der Reciprozität. Denkt man sich nämlich zu allen Punkten und Geraden einer ebenen Figur F1 die Polaren und Pole in Bezug auf einen gegebenen Leitkegelschnitt k konstruiert, so bilden diese eine duale Figur F2, von der man rückwärts auf die gleiche Art wieder zu der Anfangsfigur F, gelangt. F1 und F2 heißen polarverwandte oder Reciprokalfiguren in Bezug auf die Direktrix k. Jeder Punktreihe der einen Figur entspricht ein mit ihr projektiver Strahlbüschel der andern und umgekehrt (281); projektiven und speziell involutorischen Reihen der einen Figur entsprechen projektive, bezw. involutorische Büschel der andern u. s. f.

347. Als Beispiel führen wir an, daß man die drei Kegelschnittgattungen als Reciprokalfiguren eines Kreises k1 in Bezug auf einen andern Kreis k als Direktrix erhält. Indem man sich k, durch zwei

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projektive (kongruente) Strahlbüschel erzeugt denkt, ergiebt sich für die Reciprokalkurve eine Erzeugung durch zwei projektive Punktreihen; sie ist daher jedenfalls ein Kegelschnitt k2. Den Punkten und Tangenten von k1 entsprechen die Tangenten und Punkte von ką. Nun gehört zu dem Centrum M des Leitkreises k als Polare in Bezug auf

k die unendlich ferne Gerade, ferner gehören zu den Punkten A und B von k1, deren Tangenten durch M gehen, als Polaren in Bezug auf k zwei Gerade a und b (a | AM, b ¦ BM). Da A und B auf k1 liegen, so sind a und b Tangenten von k,, und da die zu A und B gehörigen Tangenten durch M gehen, so liegen die Berührungspunkte von a und b mit k2 unendlich fern; d. h. a und sind die Asymptoten von k2 (Fig. 224). Einer gemeinsamen

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Tangente von k1 und k gehört als Polare ihr Berührungspunkt mit k zu; durch diesen Punkt geht also k, hindurch. Nach dem Gesagten ist ersichtlich, daß die Reciprokalkurve eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse ist, je nachdem das Centrum M des Leitkreises k außerhalb, auf oder innerhalb der Peripherie des gegebenen Kreises k, liegt.

348. Eine Konstruktion, die nur gerade Linien benutzt, heißt linear; ihr Resultat ist unzweideutig bestimmt. Bei allen Aufgaben, die nur eine bestimmte Lösung zulassen, darf man umgekehrt stets eine lineare Konstruktion erwarten; sie heißen Aufgaben ersten Grades. Probleme dagegen, zu deren Lösung ein Kegelschnitt erforderlich ist, besitzen im allgemeinen zwei Lösungen und heißen Aufgaben zweiten Grades; zu ihrer Konstruktion bedient man sich in der Regel eines Kreises. Da die Gerade und der Kreis die einzigen Gebilde sind, die sich unmittelbar zeichnen lassen, so ist klar, daß man jede kompliziertere Aufgabe, soweit thunlich, auf solche vom ersten und zweiten Grade zurückzuführen suchen muß. Wir haben uns hier nur mit den letzteren zu beschäftigen.

349. Für alle Probleme zweiten Grades bilden die folgenden zwei die Grundlage: die Schnittpunkte eines Kegelschnittes (Kreises) mit einer gegebenen Geraden zu bestimmen;

die Tangenten an einen Kegelschnitt (Kreis) aus einem. gegebenen Punkte zu bestimmen;

sie stehen einander dual gegenüber und lassen sich unter einem gemeinsamen Gesichtspunkte betrachten. Ihre Lösungen bilden nämlich bezw.

die Doppelpunkte der Involution harmonischer Pole, welche der Kegelschnitt auf der gegebenen Geraden bestimmt;

die Doppelstrahlen der Involution harmonischer Polaren, welche der Kegelschnitt an dem gegebenen Punkte bestimmt.

Die Fundamentalaufgabe lautet daher in allgemeinster Fassung so: Gegeben sind zwei projektive Punktreihen oder Strahlbüschel mit demselben Träger; man soll ihre sich selbst entsprechenden Elemente konstruieren.

350. Denkt man sich die gegebenen Gebilde nach analytischer Methode durch Gleichungen zwischen den Koordinaten ihrer Punkte

oder Geraden dargestellt, so wird jedes geometrische Problem abhängig sein von der Auflösung gewisser Gleichungen. Die uns vorliegenden Aufgaben zweiten Grades im besonderen führen auf algebraische Gleichungen zweiten Grades mit reellen Koëffizienten. Die drei möglichen Fälle, daß die betreffende Gleichung zweiten Grades, zwei reelle verschiedene, zwei reelle gleiche oder zwei konjugiert imaginäre Wurzeln hat, entsprechen genau denen, wo sich auf konstruktivem Wege zwei getrennte, vereinte oder keine die Aufgabe befriedigenden Elemente finden lassen. Die nicht konstruierbaren, sondern nur analytisch definierten Lösungen werden aus Zweckmäßigkeitsgründen auch in der synthetischen Geometrie mitgezählt als imaginäre geometrische Elemente.

Indem wir es als selbstverständlich ansehen, daß die beiden Lösungen einer Aufgabe zweiten Grades reell oder konjugiert maginär sein, bezw. durch Koincidenz eine besondere reelle Lösung bestimmen können, wird es überflüssig, dies bei den einzelnen Sätzen ausdrücklich hervorzuheben. Wir sagen also z. B.:

Je zwei projektive Grundgebilde (Ebenen-, Strahlbüschel oder Punktreihen) mit einerlei Träger bestimmen zwei Doppelelemente (sich selbst entsprechende Elemente).

Auf jeder Geraden der Ebene liegen zwei Punkte eines gegebenen Kegelschnittes.

Durch jeden Punkt der Ebene gehen zwei Tangenten eines gegebenen Kegelschnittes.

351, Konstruktiv sind nur reelle geometrische Elemente verwendbar; wenn trotzdem von einer Konstruktion aus imaginären Elementen gesprochen wird, so ist dies nur eine abgekürzte Ausdrucksweise. Man sieht dann nur reelle Elemente als gegeben an, die durch ihre Beziehung zu einander die imaginären ersetzen.

Zwei konjugiert imaginäre Punkte werden durch hinreichend viele reelle Punktepaare gegeben, die auf der reellen Verbindungslinie zwei projektive (involutorische) Punktreihen mit den gedachten Punkten als Doppelelementen bestimmen.

Zwei konjugiert imaginäre Strahlen werden durch hinreichend viele reelle Strahlenpaare gegeben, die an dem reellen Schnittpunkt zwei projektive (involutorische) Strahlbüschel mit den gedachten Strahlen als Doppelelementen bestimmen.

Zwei konjugiert imaginäre Punkte liegen also stets auf einer reellen Geraden und können auf dieser durch zwei Punktepaare

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