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spektive kann man leicht zur räumlichen Perspektive übergehen, indem man den Kegelschnitt um die Perspektivitätsachse aus der gemeinsamen Ebene herausdreht. Hier erscheint dann der Kegelschnitt als Kurve auf einem schiefen Kreiskegel. Es läßt sich aber zeigen, daß man durch jeden Kegelschnitt auch Rotationskegel legen kann und zwar unendlich viele. Umgekehrt lassen sich aus einem gegebenen Rotationskegel alle möglichen Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln (die letzteren nur innerhalb gewisser Grenzen) ausschneiden, und dieser Frage wollen wir jetzt näher treten.

Man soll aus einem gegebenen Rotationskegel eine Ellipse mit den vorgegebenen Halbachsen a und b ausschneiden (a > b).

Wir legen durch die Kegelachse / eine Ebene TT, Meridianebene, die den Kegelmantel in zwei Erzeugenden m und mx schneidet (Fig. 221 a), dabei sei der am Scheitel S gelegene Winkel i_mmx = «. Alle zur Meridianebene TT normalen Sehnen des Kegels werden von dieser aus Gründen der Symmetrie halbiert. Es gilt nun der Satz: Die Mittelpunkte aller zu einer Meridianebene normalen Sehnen des Rotationskegels, welche eine vorgeschriebene Länge 2b besitzen, liegen auf einer Hyperbel. Die Asymptoten sind die in der Meridianebene liegenden Erzeugenden m und mx, sie schneiden auf der Scheiteltangente die Strecke 2b ab. Es möge O ein beliebiger Punkt von TT sein, in dem die normale Sehne die Länge 2 b aufweist, und ebenso sei L ein Punkt der Kegelachse / mit einer normalen Sehne von der Länge 2 b. Zieht man ferner durch O und L Senkrechte zur Kegelachse und schneiden diese die Erzeugenden in Mund Mx resp. in J und Jx, so gelten die Relationen OM. OMx = b2 und LJ.LJx = b2; da ja die normalen Kegelsehnen in O und L zugleich Sehnen der über den Durchmessern MMx und JJx beschriebenen Kreise sind. Nach 334 liegt somit O auf einer Hyperbel

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Fig. 221.

h mit den Asymptoten m und mx und dem Scheitel L: (Die Endpunkte aller zu TT normalen Sehnen von der Länge 2b liegen auf zwei zu h parallelen Hyperbeln.)

Soll nun die in O auf TT Senkrechte Kegelsehne BBx ( = 2 b) die kleine Achse einer Ellipse sein, so ist O der Mittelpunkt ihrer großen Achse AAx, die von den Erzeugenden m und mx begrenzt wird. Demnach muß AAx die Hyperbel h in O berühren. Die großen Achsen aller auf dem Rotationskegel liegender Ellipsen, deren kleine Achsen zur Meridianebene TT normal und von der Länge 2b sind, tangieren die genannte Hyperbel h in ihren Mittelpunkten.

339. Diese Hyperbel h hat nach 333 die Eigenschaft, daß SA.SAx = SJ.SJx ist, oder daß die Dreiecke SAAx und SJJx gleichen Flächeninhalt besitzen. Richtet man es insbesondere so ein, daß AAx die vorgeschriebene Länge 2 a hat, so stellt AAx die große Achse einer auf dem Kegel liegenden Ellipse e mit den vorgegebenen Halbachsen a und b dar. Diese Aufgabe erfordert die Konstruktion des Dreiecks SAAx, von dem man die Länge der Seite AAx, den gegenüberliegenden Winkel a und den Inhalt (= Asjjx) kennt. In Fig. 221 b ist diese Konstruktion ausgeführt. Es ist AAx mit dem Mittelpunkt O angenommen, dann ist die Höhe h des Asaax aus der Proportion h: SL = LJ: OA abgeleitet (in den Dreiecken JJxS und AAxS verhalten sich die Grundlinien umgekehrt wie die Höhen). Die Ecke S liegt also auf einer Parallelen zu AAx im Abstande h und auf einem Kreise, der über der Sehne AAx beschrieben ist und L. ce als zugehörigen Peripheriewinkel faßt. Trägt man nun noch die Strecken SA und SAx von S aus auf m und mx auf, so ist AAx die große Achse der gesuchten Ellipse e, deren Ebene auf TT senkrecht steht. In der Figur 221 a ist sie um AAx in TT als e0 umgelegt.

340. Ein Rotationskegel soll in einer vorgegebenen Parabel geschnitten werden.

Wir nehmen wie vorher eine Meridianebene TT an, die aus dem Kegel zwei Mantellinien m und mx ausschneidet. Dann schneiden alle zu TT senkrechten Ebenen, deren Spurlinien in TT zu m (resp. parallel sind, aus dem Kegel Parabeln aus. Die vorgegebene Parabel p ist durch die Richtung ihrer Achse a, den Scheitel A auf ihr und einen ihrer Punkte B völlig bestimmt (Fig. 222 b). Man ziehe also (Fig. 222 a) zu m eine Parallele n, die auf mx die Strecke SP= AO abschneidet, errichte in S auf l die Normale, welche n in Q trifft, und trage an Q die Strecke QR = OB senkrecht zu QS an. Dann bestimme man K auf SQ so, daß L. SRK = 900 ist, und Mx auf mi durch die'Gerade KMx\\m; hierauf ziehe man senkrecht zu l die Gerade MMx, welche n in O begegnet. Die zu TT senkrechte Ebene, deren Spur a durch O und parallel zu mx geht, schneidet aus dem Kegel die verlangte Parabel p aus. Ihr Scheitel A liegt nämlich in m x a und sie besitzt im Abstand AO eine zu a normale Sehne BBx von der vorgeschriebenen Länge. Denn das Quadrat der halben Sehne ist gleich OM. OMx = QS.QX= (QRf, wie verlangt. In der Figur ist die Parabel um a als p0 umgelegt.

341. Einen Rotationskegel in einer vorgeschriebenen Hyperbel zu schneiden.

Die Hyperbel h ist durch den Winkel s ihrer Asymptoten und die Größe 2 a ihrer reellen Achse der Gestalt nach völlig bestimmt. Man gehe nun wieder von einer Meridianebene TT aus und den beiden Erzeugenden m und mx in ihr (l_ mmx = a) (Fig. 223). normale Ebene E den Kegel in einer Hyperbel, so schneidet eine zu ihr parallele Ebene durch die Kegelspitze S ein Paar Mantellinien u und v aus. Auf ihnen liegen die unendlich fernen Punkte der Hyperbel, d. h. sie sind zu deren Asymptoten parallel. Soll also E die verlangte Hyperbel h ausschneiden, so müssen u und v den Winkel s miteinander einschließen. Das ^< ist aber nur dann möglich, wenn s a ist. Um u und v zu finden, lege man einen Nor- "'if^<x:;;c'-'''k° malschnitt zur Kegelachse l, Fig. 223.

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Fig. 222. Schneidet eine zu TT

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der m, mx, u, v resp. in den Punkten M, Mv U, V schneiden mag (SM= SMx =SU= SV). Dieser schneidet den Kegel in einem Kreis k, für welchen MMx ein Durchmesser und UV eine Sehne ist, und es gilt die Relation WM. WMx = {WU)2, (W = UV x MMJ. WU ist aber die halbe Basis des gleichschenkligen Dreiecks SUV, das sich aus der Länge seiner Schenkel (= SM) und dem Winkel s an seiner Spitze zeichnen läßt, so daß sich daraus auch der Punkt U auf k ergiebt (in der Figur sind h und U in der Umlegung und gezeichnet) und dann der Punkt W auf MMv Trägt man noch auf SW die Strecke ST=2a auf und zeichnet das Parallelogramm STAAx, dessen Ecken A und A\ auf m resp. mx liegen, so ist AAx der Lage und der Länge nach die reelle Achse der gesuchten Hyperbel h. In der Figur ist die um AAx umgelegte Hyperbel A0 angegeben.

Gesetz der Dualität. Reciprokalfiguren in Bezug auf einen Kegelschnitt. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Lösungen.

342. In den vorausgehenden Entwicklungen weist die öfters bemerkbare paarweise Gegenüberstellung von Sätzen auf ein allgemeines geometrisches Gesetz hin, welches sowohl die ebenen wie die räumlichen Figuren beherrscht: das Gesetz der Dualität. Seine Bedeutung besteht darin, daß aus jedem synthetisch-geometrischen Satze sofort ein anderer abgeleitet werden kann, indem man gewisse sich entsprechende Begriffe durcheinander ersetzt. Es nimmt zwei verschiedene Formen an, je nachdem man Figuren in der Ebene oder im Raume betrachtet.

343. In der Ebene bilden der Punkt und die Gerade die sich dual entgegenstehenden Begriffe, weil beide für die Zusammensetzung der ebenen Gebilde als Elemente betrachtet werden können und weil die hierbei allein zur Geltung kommenden Grundgesetze:

Zwei Punkte bestimmen Zwei Gerade bestimmen eine Gerade; einen Punkt;

durch Vertauschung beider Begriffe auseinander hervorgehen. Demnach entsprechen allen Punkten einer Geraden (einer Punktreihe) alle Gerade durch einen Punkt (ein Strahlbüschel), einem vollständigen Viereck mit seinen sechs Seiten ein vollständiges Vierseit mit seinen sechs Ecken, also vier harmonischen Punkten vier harmonische Strahlen, perspektiven resp. projektiven Punktreihen perspektive resp. projektive Strahlbüschel, dem Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Strahlbüschel ein Kegelschnitt als Erzeugnis projektiver Punktreihen, den Punkten des ersteren also die Tangenten des letzteren, einem Pascal'schen Sechseck ein Brianchon'sches Sechsseit u. s. f.

344, Im Raume bilden der Punkt und die Ebene dual entgegengesetzte Begriffe, der geraden Linie entspricht wieder eine gerade Linie. In der That lassen die für die Zusetzung der Raumgebilde aus diesen Elementen geltenden Grundgesetze die Vertauschung der als dual bezeichneten Begriffe zu. Es sind diese:

Zwei Punkte bestimmen Zwei Ebenen bestimmen eine Gerade; eine Gerade;

Drei Punkte bestimmen Drei Ebenen bestimmen eine Ebene, wenn sie nicht einen Punkt, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen; durch eine Gerade gehen.

Einfache Beispiele dualer Sätze sind die folgenden:

Beliebig viele Gerade liegen Beliebig viele Gerade gehen

in einer Ebene, wenn je zwei durch einen Punkt, wenn je zwei

einen, aber nicht alle denselben eine, aber nicht alle dieselbe

Punkt gemein haben. Verbindungsebene haben.

Eine gemeinsame Sekante dreier Eine gemeinsame Sekante dreier windschiefer Geraden ist die windschiefer Geraden ist VerSchnittlinie der Verbin dungs- bindungslinie der Schnittpunkte, ebenen, die ein Punkt der ersten die eine Ebene durch die erste mit jeder der beiden andern be- mit jeder der beiden andern bestimmt, stimmt.

345. Dem Gesetz der Dualität sind nur die Eigenschaften der Figuren unterworfen, die reine Lage beziehungen ihrer Elemente ausdrücken und folglich durch Projektion nicht zerstört werden (projektive Eigenschaften). Die an den Figuren stattfindenden metrischen Relationen unterliegen jenem Gesetz nicht, weil sie Begriffe enthalten, für die wir dual entgegengesetzte nicht haben, nämlich den Begriff der Strecke und den des Winkels. Beispielsweise entspricht zwar der Konstruktion der Doppelstrahlen zweier involutorischer Büschel (317) durch Dualität die Konstruktion der Doppelpunkte zweier involutorischer Reihen (318), aber dieses Entsprechen erstreckt sich nicht auf die Bestimmung des Rechtwinkelpaares der Strahleninvolution und die des Mittelpunktes der Punktinvolution.

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