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eine Parallele DE, so halbiert der konjugierte Durchmesser die Strecke DE, welche von den Asymptoten auf ihr abgeschnitten wird (CD CE). Andererseits wird aber jede zu einem Durchmesser parallele Sehne vom konjugierten Durchmesser halbiert, so daß CA CB ist. Die Strecken, welche auf einer Sekante.

= :

=

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zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten liegen, sind einander gleich (AE = BD).

=

Daraus ergiebt sich auch wieder das obige Resultat für die Tangente, nämlich TR TS. Aus dem Gesagten kann man die Hyperbel leicht konstruieren, wenn man ihre Asymptoten und einen ihrer Punkte A kennt.

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ein Durchmesser. Führen wir diese Konstruktion insbesondere bei der Parabel aus (Fig. 220), so geht dieselbe durch die Mitte O der

Strecke LW, da L und UV als Pol und Polare den genannten Durchmesser, dessen einer Endpunkt unendlich fern ist, harmonisch teilen. Es besteht also der Satz: Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt einer Parabelsehne und ihrem Pole wird von der Parabel halbiert.

Wie in 333 der Hyperbel, so wollen wir jetzt der Parabel ein Viereck umschreiben, und zwar wählen wir als dessen Seiten drei beliebige Tangenten u, v, m und die unendlich ferne Gerade. Sind U, V und M die Berührungspunkte von u, v und m, sind ferner P und die Schnittpunkte von u und v mit m, endlich S und R die auf u und v liegenden unendlich fernen Punkte, so schneiden sich PR (v) und QS (|| u) in einem Punkte N, durch den sowohl die Sehne UV als auch der durch M gezogene Durchmesser gehen. Daraus folgt:

PU: PL = NU: NV = QL: QV.

Aufzwei Parabeltangenten werden die Strecken zwischen ihrem Schnittpunkt und ihren Berührungspunkten von jeder weiteren Tangente nach demselben Verhältnis geteilt. 337. Ziehen wir in unserer Figur noch UU' || VV' || m (U' und V' auf MN), so können wir

und

ansehen.

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Dabei spielen die Tangente in M und der durch M gehende Parabeldurchmesser die Rolle der Koordinatenachsen. Nun verhalten sich zwei parallele Strecken PU und QN ebenso wie ihre Parallelprojektionen MU' und MN auf die Gerade MX, also:

ferner

MU': MN = PU: QN = NU: VN = UU' : VV':

MN: MV' — PN: QV = NU; VN = UU' : VV'.

=

2

=

Durch Multiplikation folgt hieraus als Gleichung der Parabel: x: x = yy, oder y2: x = y, x1 x1 konst. Wählt man irgend einen Durchmesser der Parabel zur Abscissenachse und die Tangente in seinem Endpunkte zur Ordinatenachse, so verhalten sich die Abscissen der Parabelpunkte wie die Quadrate ihrer Ordinaten. Insbesondere verhalten sich die senkrechten Abstände der Parabelpunkte von der Scheiteltangente, wie die Quadrate ihrer Abstände von der Achse der Parabel.

338. Schon im vorigen Abschnitt (307 und 308) sind perspektive Beziehungen zwischen einem beliebigen Kegelschnitt und einem Kreise hergestellt worden. Von der dort behandelten ebenen Per

spektive kann man leicht zur räumlichen Perspektive übergehen, indem man den Kegelschnitt um die Perspektivitätsachse aus der gemeinsamen Ebene herausdreht. Hier erscheint dann der Kegelschnitt als Kurve auf einem schiefen Kreiskegel. Es läßt sich aber zeigen, daß man durch jeden Kegelschnitt auch Rotationskegel legen kann und zwar unendlich viele. Umgekehrt lassen sich aus einem gegebenen Rotationskegel alle möglichen Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln (die letzteren nur innerhalb gewisser Grenzen) ausschneiden, und dieser Frage wollen wir jetzt näher treten.

Man soll aus einem gegebenen Rotationskegel eine Ellipse mit den vorgegebenen Halbachsen a und bausschneiden (a > b).

Wir legen durch die Kegelachse 7 eine Ebene ПT, Meridianebene, die den Kegelmantel in zwei Erzeugenden m und m, schneidet (Fig. 221 a), dabei sei der am Scheitel S gelegene Winkel a. Alle zur Meridianebene

Lmm1

П normalen Sehnen des Kegels wer-
den von dieser aus Gründen der

Symmetrie halbiert. Es gilt nun
der Satz: Die Mittelpunkte
aller zu einer Meridianebene
normalen Sehnen des Rota-
tionskegels, welche eine vor-
geschriebene Länge 26
2b be-
sitzen, liegen auf einer Hyper-
bel. Die Asymptoten sind die
in der Meridianebene liegen-
den Erzeugenden m
und m1,
sie schneiden auf der Scheitel-
tangente die Strecke 2b ab. Es
möge O ein beliebiger Punkt von П
sein, in dem die normale Sehne die
Länge 2b aufweist, und ebenso sei
I ein Punkt der Kegelachse 7 mit
einer normalen Sehne von der Länge
26. Zieht man ferner durch und

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L Senkrechte zur Kegelachse und schneiden diese die Erzeugenden in M und M1 resp. in J und J1, so gelten die Relationen OM. OM1 = b2 und LJ. LJ1 = b2; da ja die normalen Kegelsehnen in O und Z zugleich Sehnen der über den Durchmessern MM, und JJ, beschriebenen Kreise sind. Nach 334 liegt somit O auf einer Hyperbel

h mit den Asymptoten m und m, und dem Scheitel L. (Die Endpunkte aller zu П normalen Sehnen von der Länge 26 liegen auf zwei zu h parallelen Hyperbeln.)

Soll nun die in O auf П senkrechte Kegelsehne BB1 (= 26) die kleine Achse einer Ellipse sein, so ist O der Mittelpunkt ihrer großen Achse 441, die von den Erzeugenden m und m1 begrenzt wird. Demnach muß AA, die Hyperbel h in O berühren. Die großen Achsen aller auf dem Rotationskegel liegender Ellipsen, deren kleine Achsen zur Meridianebene П normal und von der Länge 26 sind, tangieren die genannte Hyperbel h in ihren Mittelpunkten.

=

339. Diese Hyperbel h hat nach 333 die Eigenschaft, daß SA.SA1 SJ. SJ, ist, oder daß die Dreiecke SAA, und SJJ, gleichen Flächeninhalt besitzen. Richtet man es insbesondere so ein, daß AA, die vorgeschriebene Länge 2 a hat, so stellt 44, die große Achse einer auf dem Kegel liegenden Ellipse e mit den vorgegebenen Halbachsen a und b dar. Diese Aufgabe erfordert die Konstruktion des Dreiecks SAA1, von dem man die Länge der Seite AA1, den gegenüberliegenden Winkel a und den Inhalt (=SJJ1) kennt. In Fig. 221 b ist diese Konstruktion ausgeführt. Es ist AA, mit dem Mittelpunkt O angenommen, dann ist die Höhe h des SAA, aus der Proportion h: SL = LJ: OA abgeleitet (in den Dreiecken JJ,S und A4,8 verhalten sich die Grundlinien umgekehrt wie die Höhen). Die Ecke S liegt also auf einer Parallelen zu A4, im Abstande h und auf einem Kreise, der über der Sehne 44, beschrieben ist und La als zugehörigen Peripheriewinkel faßt. Trägt man nun noch die Strecken SA und SA, von S aus auf m und m1, auf, so ist Д, die große Achse der gesuchten Ellipse e, deren Ebene auf П senkrecht steht. In der Figur 221 a ist sie um AA, in П als e, umgelegt.

340. Ein Rotationskegel soll in einer vorgegebenen Parabel geschnitten werden.

Wir nehmen wie vorher eine Meridianebene TT an, die aus dem Kegel zwei Mantellinien m und m1 ausschneidet. m1 Dann schneiden alle zu П senkrechten Ebenen, deren Spurlinien in TT zu m (resp. m,) parallel sind, aus dem Kegel Parabeln aus. Die vorgegebene Parabel p ist durch die Richtung ihrer Achse a, den Scheitel A auf ihr und einen ihrer Punkte B völlig bestimmt (Fig. 222 b). Man ziehe also (Fig. 222 a) zu m eine Parallele n, die auf m1 die Strecke SP AO abschneidet, errichte in S auf 7 die Normale, welche n in Q trifft, und trage an Q die Strecke QR OB senkrecht zu QS an. Dann bestimme man K auf SQ so, daß SRK = 90° ist, und M, auf m

=

=

durch die Gerade KM1||m; hierauf ziehe man senkrecht zu 7 die Gerade MM,, welche n in O begegnet. Die zu П senkrechte Ebene, deren Spur a durch O und pa

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normale Ebene E den Kegel in einer Hyperbel, so schneidet eine

zu ihr parallele Ebene durch
die Kegelspitze S ein Paar
Mantellinien u und v aus.
Auf ihnen liegen die unend-
lich fernen Punkte der Hy-
perbel, d. h. sie sind zu
deren Asymptoten parallel.
Soll also E die verlangte
Hyperbel h ausschneiden, so
müssen u und v den Winkel &
miteinander einschließen. Das M
ist aber nur dann möglich,
wenn & a ist. Um u und v
zu finden, lege man einen Nor-
malschnitt zur Kegelachse 1,

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