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329. Um zu entscheiden, welche Art von Kegelschnitt zwei projektive Strahlbüschel erzeugen, beachte man, daß ein unendlich ferner Punkt desselben nur erhalten wird, wenn zwei entsprechende Strahlen der erzeugenden Büschel zu einander parallel laufen. Verschiebt man den einen Strahlbüschel parallel mit sich selbst, bis sich sein Scheitel mit dem des andern deckt, so kommen auch die sich entsprechenden Parallelstrahlen zur Deckung. Daher folgt: Zwei projektive Strahlbüschel in schiefer Lage erzeugen eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem sie, durch Parallelverschiebung an einem Scheitel vereinigt, zwei getrennte, zwei vereinte oder keine Doppelstrahlen bestimmen. Die Anwendung dieses Kriteriums ist nur bei gleichlaufenden Büscheln erforderlich, zwei entgegenlaufende Büschel erzeugen offenbar stets eine Hyperbel.

330. Zwei projektive Punktreihen erzeugen eine Parabel, wenn sich ihre unendlich fernen Punkte entsprechen, oder wenn sie ähn

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H

G

g"

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lich sind, denn alsdann ist die unendlich ferne Gerade als Verbindungslinie entsprechender Punkte eine Tangente des entstehenden Kegelschnittes.

Zur Bestimmung eines Kegelschnittes seien zwei (nicht ähnliche) Punktreihen g und h gegeben; ihre unendlich fernen Punkte seien U1 und V. Man konstruiere die Gegenpunkte U und 1, sowie die dem Schnittpunkte (G1 = H) der Träger entsprechenden Berührungspunkte G und H1 und ziehe die Parallelen h' und h", g' und g′′ resp.

zu h und g (Figg. 213 und 214). Zwei parallele Tangenten des Kegelschnittes begrenzen in der Ebene einen Flächenstreifen, und der Kegelschnitt liegt entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb desselben, je nachdem er eine Ellipse oder Hyperbel vorstellt. Denn beide Kurven sind geschlossen, sie müssen also entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb liegen, sonst würden sie den Rand des Streifens überschneiden. Daß wir es im ersten Fall mit der Ellipse, im zweiten Fall mit der Hyperbel — die aus zwei Ästen besteht zu thun haben, ist evident. Die Tangenten gghh' bilden ein Parallelogramm, das die Ellipse umschließt, ihre Berührungspunkte liegen auf seinen Seiten. Bei der Hyperbel schließt das Parallelogramm der Tangenten gghh' die Kurve aus; ihre Berührungspunkte liegen auf den verlängerten Seiten desselben.

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Zwei projektive Punktreihen in schiefer Lage erzeugen eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem in einer der Reihen der Berührungspunkt zwischen ihrem Gegenpunkt und ihrem Schnittpunkt mit der andern Reihe liegt oder nicht. Eine Parabel entsteht, wenn der Gegenpunkt unendlich fern liegt.

331. Die Abschnitte, welche auf zwei parallelen Tangentent und u eines Kegelschnittes zwischen ihren Berührunngspunkten T und U und ihren Schnittpunkten Pund mit irgend einer dritten Tangente v liegen, v liegen, haben ein konstantes Produkt:

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t

Y

u

V

V

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punkte jeder weiteren Tangente mit den parallelen Tangenten t und u auf der nämlichen Seite von TU, bei der Hyperbel aber nicht, wie aus der vorigen Nummer hervorgeht.

Läßt man bei einer Ellipse die Gerade v parallel zu TU werden, so findet man den konstanten Wert des Produktes:

PT. QU = b2,

=

wo 26 den zu TU 2 a konjugierten Durchmesser bezeichnet. Gehen t, u, v, w in die vier Scheiteltangenten der Ellipse über (Fig. 216a), so bedeuten a und b die Halbachsen.

Läßt man dagegen bei der Hyperbel die Gerade v in eine Asymptote übergehen, so ergiebt sich, da jetzt PT und QU entgegengesetzte Richtung haben:

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wo 2b das zwischen den Asymptoten liegende Stück der Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers TU = 2 a bezeichnet. Gehen speziell t, u, v, w in die Scheiteltangenten und Asymptoten über

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(Fig. 216b), so bedeutet a die reelle Halbachse der Hyperbel, während man b als imaginäre Halbachse bezeichnet.

332. Es seien MX und MY konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes, und zwar sei MY parallel zu den Tangenten t und u, während MX durch ihre Berührungspunkte T und U geht. Wir legen ihnen (wie in Fig. 215 durch Pfeile angedeutet) einen bestimmten Durchlaufungssinn bei. Die parallel zu MX und MY gemessenen Abstände irgend eines Punktes der Ebene von MY resp. MX nennen wir seine Koordinaten x, y und geben ihnen das positive oder negative Vorzeichen, je nachdem sie mit MX und MY von gleichem Sinne sind, oder nicht. X und Y seien die unendlich fernen Punkte der betrachteten konjugierten Durchmesser. Letztere würden in der Sprache der analytischen Geometrie als Achsen des schiefwinkligen Koordinatensystems zu bezeichnen sein und ihr Schnittpunkt M als Koordinatenanfangspunkt.

Das Dreieck PQY ist dem Kegelschnitt umschrieben; die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten der Gegenseiten: PU, QT, YV schneiden sich daher in einem Punkte L (273).

Ist also noch: K = MX × VY, d. h. VK || MY, so ergeben sich die Beziehungen:

ein,

KL: TPKU: TU = VQ: PQ = LV: TP, also KL = LV; KL: UQ=KT: UT, also (KL. TU)2 = KU. TK. TP. UQ. Setzt man x, y als die Koordinaten des Kegelschnittpunktes so hat man MK (in der Figur ist z negativ), KV = y = 2 KL, KU: = a ― x, TK = a + x und überdies TP. UQ = ± b2, je nachdem eine Ellipse oder Hyperbel vorliegt.

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Demnach erhält man:

1

=

1

als Gleichung der Hyperbel, beide bezogen auf zwei konjugierte Durchmesser (oder speziell die Achsen) als Koordinatenachsen.

R

Y

333. Der Satz über das einem Kegelschnitt umschriebene Viereck, wonach seine Diagonalen und die Verbindungslinien der Berührungspunkte seiner Gegenseiten durch den nämlichen Punkt gehen (266), läßt noch eine sehr wertvolle Anwendung auf die Hyperbel zu, wenn man zwei Gegenseiten dieses Vierecks mit den Asymptoten zusammenfallen läßt. In Fig. 217 stellt PQRS ein solches Viereck dar, und es müssen sich seine Diagonalen PR und QS auf der unendlich fernen Geraden schneiden, da die letztere die Berührungspunkte der Asymptoten verbindet. Aus dem Parallelismus von PR und QS folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke MPR und MQS, und diese liefert die Relation:

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T

M

T

Fig. 217.

Denn wenn das Produkt für zwei beliebige Tangenten gleich ist, so muß es konstant für alle Tangenten sein. Die Hyperbeltangenten schneiden auf den Asymptoten Strecken ab, deren Produkt konstant ist. Oder mit anderen Worten: Das von einer beliebigen Tangente der

Hyperbel und ihren Asymptoten begrenzte Dreieck hat konstanten Flächeninhalt.

Faßt man PMS als ein der Hyperbel umschriebenes Dreieck auf, so müssen sich die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten der gegenüberliegenden Seiten in einem Punkte schneiden. Ist also 7 der Berührungspunkt der Tangente PS, so geht MT durch den Schnittpunkt der Geraden, die man durch P und S resp. zu MS und MP parallel ziehen kann. 7 ist demnach T der Mittelpunkt des Parallelogramms mit den Seiten MP und MS und halbiert die Strecke PS. Die von den Asymptoten auf einer beliebigen Hyperbeltangente begrenzte Strecke wird vom Berührungspunkt halbiert.

334. Nimmt man die Asymptoten als Koordinatenachsen und setzt für den Hyperbelpunkt T die Koordinaten:

x = MT' = | MS, MS, y = MT" = {MP an, so folgt als Gleichung der Hyperbel:

xy= konst.

Das Produkt der Abstände eines Hyperbelpunktes von den Asymptoten ist konstant, wenn diese Abstände jedesmal in der Parallelen zur andern Asymptote gemessen werden. Oder auch: Das Produkt der Abstände eines Hyperbelpunktes von den Asymptoten ist konstant, wenn alle Abstände in der gleichen Richtung gemessen werden. Denn sind P und Q zwei Hyperbelpunkte und MP', MP", MQ', MQ" die zugehörigen Koordinaten (Fig. 218), so ist: MP': MQ' = MQ": MP". Schneiden nun zwei Parallelen durch P und Q die Asymptoten in A1, A2, resp. B1, B2, so folgt:

und:

MP': MQ' = PA1:QB1

MP" : MQ" = PA2 : QB2.

Die linken Seiten dieser Gleichungen stimmen überein, also auch die rechten; so ergiebt sich die gewünschte Relation:

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Stehen die Asymptoten einer Hyperbel aufeinander senkrecht, so heißt sie gleichseitig. In diesem Falle folgt nämlich aus 331 b = a.

335. Die konjugierten Durchmesser eines Kegelschnittes bilden eine Involution und bei der Hyperbel sind die Asymptoten die Doppelstrahlen dieser Involution (290). Demnach liegen die Asymptoten der Hyperbel zu jedem Paare konjugierter Durchmesser harmonisch. Zieht man also (Fig. 219) zu irgend einem Durchmesser

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