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reits vollzogen angenommen). Bei dem vollständigen Viereck ABCF schneiden sich die zwei Paar nicht parallelen Gegenseiten in zwei Punkten eines Durchmessers p. Ebenso liefert das vollständige Viereck ABGE einen Durchmesser q, der durch die Schnittpunkte der nicht parallelen Gegenseiten geht . Die zu p und q konjugierten Durchmesser px und qx sind zu BC und AE resp. parallel (288).

324. Man kann die soeben behandelte Aufgabe auch in der Weise lösen, daß man nach 307 zu dem Kegelschnitt durch die fünf Punkte ABCBE einen perspektiven Kreis zeichnet, Achse und Verschwindungslinie der Perspektive bestimmt und zu letzterer den Pol in Bezug auf den Kreis sucht. Diesem Pol entspricht der Mittelpunkt des zum Kreise perspektiven Kegelschnittes. Zugleich liefern je zwei Geraden durch den Pol, welche harmonische Polaren in Bezug auf den Kreis sind, als perspektive Bilder zwei konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes samt ihren Endpunkten. Man hat nach 288 nur ein Polardreieck des Kreises zu suchen, dessen eine Seite die Verschwindungslinie ist und dasselbe perspektiv abzubilden.

325. Ist der Kegelschnitt durch fünf Tangenten abcde gegeben, so findet man ein Paar konjugierter Durchmesser p und px und damit den Mittelpunkt M, wie folgt. Man konstruiere mittels des Brianchon'schen Satzes zu zweien der gegebenen Tangenten die Paralleltangenten des Kegelschnittes, etwa f\\ a, g\\e (Fig. 209). (Beim Sechsseit afedcb schneiden sich die Verbindungslinien von e x d und a y, b, sowie von f x a und c x d, d. h. die Parallele zu a durch c x d. in einem Punkte, durch den auch die Verbindungslinie von e x f und c x b geht). Die Diagonalen des dem Kegelschnitt umgeschriebenen Parallelogramms afge bilden ein Paar konjugierter Durchmesser p und px (292). Aus zwei solchen Paaren können wiederum die Achsen des Kegelschnittes und — falls eine Hyperbel vorliegt — die Asymptoten abgeleitet werden. Auch kann man vermöge der Involution der konjugierten Durchmesser zu jedem Durchmesser den konjugierten linden, und ist der erstere zu einer Tangente parallel, so geht der letztere durch ihren Berührungspunkt.

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326. Um auf einer gegebenen Geraden g die Involution harmonischer Pole des Kegelschnittes ABCBE zu konstruieren,

genten des Kegelschnittes in seinen Schnittpunkten U und ^ mit derGeraden^. Zur Vereinfachung der Konstruktion wählt man etwa P auf dem Strahle CB und Q auf CB.

Analog kann man verfahren, um die Involution harmonischer Polaren des Kegelschnittes abcde an einem gegebenen Scheitel S zu konstruieren. Man erhält zugleich auf der Polare g von S die Involution der konjugierten Pole. Die Doppelelemente bilden die Tangenten des Kegelschnittes aus dem Punkte S resp. die Schnittpunkte mit der Geraden g.

327. Eng verwandt mit diesen letzten Aufgaben sind auch die beiden folgenden. Von einem Punkte S sollen die beiden Tangenten an den Kegelschnitt ABCBE gelegt werden. Man bestimme auf SA und SB die weiteren Kegelschnittpunkte F und //; dann liegen die Punkte P = AH x BF und Px = AB x FH auf der Polare g von S und bilden ein Paar harmonischer Pole. Ebenso schneiden CB und CE nach 283 ein Paar harmonischer Pole Q und Qx auf g aus (zugleich ist BQx x HQ = / ein neuer Kurvenpunkt).

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hat man zu zwei beliebigen Punkten P und Q auf g die Polaren p und q nach 321 zu suchen. Diese schneiden g in den konjugierten Polen Px und Qj zu P und Q, sie schneiden sich außerdem gegenseitig in S, dem Pol von g (Fig. 210). Die Doppelstrahlen u und v der Involution harmonischer Polaren, die durch die Paare SP = px, SPx = p und SQ = qv SQx = q bestimmt ist, sind die TanDie Punktepaare PPj und QQx bestimmen eine Involution und ihre Doppelpunkte sind die Berührungspunkte der gesuchten Tangenten.

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Eine Gerade g sei mit dem Kegelschnitt abcde zu schneiden. Man lege aus den Punkten g x a und g x b die weiteren Tangenten f und h an den Kegelschnitt; dann schneiden sich die Geraden p und pv welche a x h und b x f resp. a x b und f x h verbinden, in dem Pol S von g und bilden ein Paar harmonischer Polaren. Ebenso erhält man ein Paar harmonischer Polaren q und qx, wenn man S mit c x b und c x h verbindet. Die Strahlenpaare ppx und qqx bestimmen eine Involution, deren Doppelstrahlen den Kegelschnitt berühren und zwar in ihren Schnittpunkten mit g.

328. Auch die Endpunkte einer Achse bestimmt man mittels der Involution harmonischer Pole auf ihr. Der Mittelpunkt M des Kegelschnittes ist zugleich Mittelpunkt dieser Involution, da ihm die unendlich ferne Gerade als Polare zugehört. Sind A und B zwei Punkte des Kegelschnittes, so gehören ihm auch die in Bezug auf die Achse symmetrischen Punkte A, und Bx an und es bilden ABx x BAx = P und AB x AxBx = 1\ ein Punktepaar der Involution, deren Doppelpunkte die Achsenendpunkte X und Xx sind. Nach 226 gilt die Relation (MX)2 = MP.MPv und hiernach sind die Punkte X und Xj in Fig. 211 konstruiert.

Sind vom Kegelschnitt zwei Tangenten a und b gegeben und sind ax und bx die in Bezug auf die Achse symmetrischen Tangenten, so schneiden die Verbindungslinien von a x b mit ax x bx und von a x bx mit ox x b zwei harmonische Pole P und Px auf der Achse aus. Denn die Achse bildet mit den genannten Verbindungslinien ein Polardreieck des Kegelschnittes nach 276. Die weitere Konstruktion der Achsenendpunkte ist dann wieder wie vorher (Fig. 212).

Röhn U. Pappbeitz. I. 2. Aufl. 16

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Fig. 212.

329. Um zu entscheiden, welche Art von Kegelschnitt zwei projektive Strahlbüschel erzeugen, beachte man, daß ein unendlich ferner Punkt desselben nur erhalten wird, wenn zwei entsprechende Strahlen der erzeugenden Büschel zu einander parallel laufen. Verschiebt man den einen Strahlbüschel parallel mit sich selbst, bis sich sein Scheitel mit dem des andern deckt, so kommen auch die sich entsprechenden Parallelstrahlen zur Deckung. Daher folgt: Zwei projektive Strahlbüschel in schiefer Lage erzeugen eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem sie, durch Parallelverschiebung an einem Scheitel vereinigt, zwei getrennte, zwei vereinte oder keine Doppelstrahlen bestimmen. Die Anwendung dieses Kriteriums ist nur bei gleichlaufenden Büscheln erforderlich, zwei entgegenlaufende Büschel erzeugen offenbar stets eine Hyperbel.

330. Zwei projektive Punktreihen erzeugen eine Parabel, wenn sich ihre unendlich fernen Punkte entsprechen, oder wenn sie ähn

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Fig. 213. Fig. 214.

lieh sind, denn alsdann ist die unendlich ferne Gerade als Verbindungslinie entsprechender Punkte eine Tangente des entstehenden Kegelschnittes.

Zur Bestimmung eines Kegelschnittes seien zwei (nicht ähnliche) Punktreihen g und h gegeben; ihre unendlich fernen Punkte seien fj und V. Man konstruiere die Gegenpunkte U und J\, sowie die dem Schnittpunkte (Gj = H) der Träger entsprechenden Berührungspunkte G und i/j und ziehe die Parallelen h' und h", g und g" resp. zu h und g (Figg. 213 und 214). Zwei parallele Tangenten des Kegelschnittes begrenzen in der Ebene einen Flächenstreifen, und der Kegelschnitt liegt entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb desselben, je nachdem er eine Ellipse oder Hyperbel vorstellt . Denn beide Kurven sind geschlossen, sie müssen also entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb liegen, sonst würden sie den Rand des Streifens überschneiden. Daß wir es im ersten Fall mit der Ellipse, im zweiten Fall mit der Hyperbel — die aus zwei Asten besteht — zu thun haben, ist evident. Die Tangenten gg'hh' bilden ein Parallelogramm, das die Ellipse umschließt, ihre Berührungspunkte liegen auf seinen Seiten. Bei der Hyperbel schließt das Parallelogramm der Tangenten gg'hh' die Kurve aus; ihre Berührungspunkte liegen auf den verlängerten Seiten desselben.

Zwei projektive Punktreihen in schiefer Lage erzeugen eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem in einer der Reihen der Berührungspunkt zwischen ihrem Gegenpunkt und ihrem Schnittpunkt mit der andern Reihe liegt oder nicht. Eine Parabel entsteht, wenn der Gegenpunkt unendlich fern liegt.

331. Die Abschnitte, welche auf zwei parallelen Tangenten t und u eines Kegelschnittes zwischen ihren Berührunngspunkten T und Uund ihren Schnittpunkten Pund Q mit irgend einer dritten Tangente v liegen, haben ein konstantes Produkt:

PT.QU = konst. Werden nämlich S auf t und R auf u durch irgend eine vierte Tangente w ausgeschnitten, so schneiden sich PR und QS in einem Punkte N von TU nach 266, und man hat (Fig. 215): PT; UR = TS: QU, oder: PT.QU= ST.SU. Bei der Ellipse liegen die Schnittpunkte jeder weiteren Tangente mit den parallelen Tangenten t und u auf der nämlichen Seite von TU, bei der Hyperbel aber nicht, wie aus der vorigen Nummer hervorgeht.

Läßt man bei einer Ellipse die Gerade v parallel zu TU werden, so findet man den konstanten Wert des Produktes:

PT.QU= b2,

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