Strahlbüschel, ihre Schnittpunkte U und V liegen also auf dem Kegelschnitt und sind die gesuchten Schnittpunkte von g und k (Fig. 205). Zur Lösung unserer Aufgabe ist demnach ein Verzeichnen des Kegelschnittes selbst nicht erforderlich. 320. Analog wird die Aufgabe behandelt: Aus einem Punkte S die Tangenten an einen Kegelschnitt k zu ziehen, von dem man fünf Tangenten a, b, c, d, e kennt. Die Schnittpunkte zweier der gegebenen Tangenten, z. B. a und b, mit den drei übrigen, c, d und e, bilden die erzeugenden Punktreihen von k und bestimmen mit S als Scheitel zwei projektive Strahlbüschel, deren Doppelstrahlen u und v die gesuchten Tangenten sind. Hier wie dort können sich je nach der Lage von g und S gegen den Kegelschnitt zwei getrennte, zwei vereinte oder keine Doppelelemente als Lösung ergeben. 321. Die Polare eines Punktes P in Bezug auf einen durch fünf Punkte ABCDE gegebenen Kegelschnitt k wird konstruiert, indem man P mit zweien der Punkte, etwa A und E, verbindet und auf den erhaltenen Strahlen die zweiten Schnittpunkte Fund G mit k aufsucht. Letzteres geschieht mit Hilfe des Pascal'schen Satzes (vergl. 268). Dann verbindet die Polare p von P nach 275a die beiden Punkte AEX FG Q und AG X EF = R (Fig. 206). = 322. Analog konstruiert man den Pol einer Geraden p in Bezug auf einen durch fünf Tangenten bestimmten Kegelschnitt k. Man schneide nämlich p mit zweien der Tangenten, etwa a und e, und ziehe aus diesen beiden Schnittpunkten die noch p Fig. 207. 91 tung unendlich fern liegenden Punkte P die Polare p in Bezug auf den Kegelschnitt durch die fünf Punkte ABCDE konstruiert, so bildet p einen Durchmesser desselben. Ist ferner P, der unendlich ferne Punkt des Durchmessers p und P1 seine Polare, so bestimmen p und P. den Mittelpunkt M des Kegelschnittes und sind konjugierte Durchmesser (288). Zwei Paare konjugierter Durchmesser p und P1, q und q, bilden im Mittelpunkt M zwei Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen u, v die Asymptoten und deren rechtwinkliges Strahlenpaar x, y die Achsen des Kegelschnittes ergeben (291). Hiernach können die genannten Elemente aus fünf gegebenen Punkten eines Kegelschnittes konstruiert werden, ohne daß dieser vorher selbst verzeichnet werden müßte. Die Endpunkte der Achsen ergeben sich nach 328. Endpunkt G der Sehne BG || AE. (Diese Konstruktion, bei der man sich des Pascal'schen Satzes bedienen kann, ist in Fig. 208 als be reits vollzogen angenommen). Bei dem vollständigen Viereck ABCF schneiden sich die zwei Paar nicht parallelen Gegenseiten in zwei Punkten eines Durchmessers p. Ebenso liefert das vollständige Viereck ABGE einen Durchmesser q, der durch die Schnittpunkte der nicht parallelen Gegenseiten geht. Die zu p und q konjugierten Durchmesser p, und 91 sind zu BC und AE resp. parallel (288). 324. Man kann die soeben behandelte Aufgabe auch in der Weise lösen, daß man nach 307 zu dem Kegelschnitt durch die fünf Punkte ABCDE einen perspektiven Kreis zeichnet, Achse und Verschwindungslinie der Perspektive bestimmt und zu letzterer den Pol in Bezug auf den Kreis sucht. Diesem Pol entspricht der Mittelpunkt des zum Kreise perspektiven Kegelschnittes. Zugleich liefern je zwei Geraden durch den Pol, welche harmonische Polaren in Bezug auf den Kreis sind, als perspektive Bilder zwei konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes samt ihren Endpunkten. Man hat nach 288 nur ein Polardreieck des Kreises zu suchen, dessen eine Seite die Verschwindungslinie ist und dasselbe perspektiv abzu. bilden. d -b P1 325. Ist der Kegelschnitt durch fünf Tangenten abcde gegeben, so findet man ein Paar konjugierter Durchmesser p und P1 und damit den Mittelpunkt M, wie folgt. Man konstruiere mittels des Brianchon'schen Satzes zu zweien der gegebenen Tangenten die Paralleltangenten des Kegelschnittes, etwa fa, ge (Fig. 209). (Beim Sechsseit afedcb schneiden sich die Verbindungslinien von ex d und a × b, b Fig. 209. a sowie von fx a und cx d, d. h. die Parallele zu a durch ex d, in einem Punkte, durch den auch die Verbindungslinie von ex f und cb geht). Die Diagonalen des dem Kegelschnitt umgeschriebenen Parallelogramms afge bilden ein Paar konjugierter Durchmesser Р und P1 (292). Aus zwei solchen Paaren können wiederum die Achsen des Kegelschnittes und falls eine Hyperbel vorliegt die Asymptoten abgeleitet werden. Auch kann man vermöge der Involution der konjugierten Durchmesser zu jedem Durchmesser den konjugierten finden, und ist der erstere zu einer Tangente parallel, so geht der letztere durch ihren Berührungspunkt. 326. Um auf einer gegebenen Geraden g die Involution harmonischer Pole des Kegelschnittes ABCDE zu konstruieren, hat man zu zwei be- = 1 bestimmt ist, sind die Tan genten des Kegelschnittes in seinen Schnittpunkten U und V mit der Geraden g. Zur Vereinfachung der Konstruktion wählt man etwa P auf dem Strahle CD und Q auf CB. Analog kann man verfahren, um die Involution harmonischer Polaren des Kegelschnittes abcde an einem gegebenen Scheitel S zu konstruieren. Man erhält zugleich auf der Polare g von S die Involution der konjugierten Pole. Die Doppelelemente bilden die Tangenten des Kegelschnittes aus dem Punkte S resp. die Schnittpunkte mit der Geraden g. 327. Eng verwandt mit diesen letzten Aufgaben sind auch die beiden folgenden. Von einem Punkte S sollen die beiden Tangenten an den Kegelschnitt ABCDE gelegt werden. Man bestimme auf SA und SB die weiteren Kegelschnittpunkte F und H; dann liegen die Punkte P = AH × BF und P1 = AB × FH auf der Polare g von S und bilden ein Paar harmonischer Pole. Ebenso schneiden CB und CH nach 283 ein Paar harmonischer Pole Q und Q1 auf g aus (zugleich ist BQ1 × HQ = J ein neuer Kurvenpunkt). Die Punktepaare PP, und QQ, bestimmen eine Involution und ihre Doppelpunkte sind die Berührungspunkte der gesuchten Tangenten. Eine Gerade g sei mit dem Kegelschnitt abcde zu schneiden. Man lege aus den Punkten gx a und gx b die weiteren Tangenten f und h an den Kegelschnitt; dann schneiden sich die Geraden p und p,, welche a xh und b x f resp. a x b und × × × fx h verbinden, in dem Pol S von g und bilden ein Paar harmonischer Polaren. Ebenso erhält man ein Paar harmonischer Polaren dieser Involution, da ihm die unendlich ferne Gerade als Polare zugehört. Sind A und B zwei Punkte des Kegelschnittes, so gehören ihm auch die in Bezug auf die Achse symmetrischen Punkte 4, und B1 an und es bilden AB1 × BA1 = P und AB × A1B1 = P1 ein Punktepaar der Involution, deren Doppelpunkte die Achsenendpunkte X und X sind. Nach 226 gilt die Relation (MX)2 = MP. MP1, und hiernach sind die Punkte X und X1 in Fig. 211 konstruiert. MP.MP1, Sind vom Kegelschnitt zwei Tangenten a und b gegeben und sind a, und b, die in Bezug auf die Achse symmetrischen Tangenten, so schneiden die Verbindungslinien von a × b mit a1 × b1 und von ab, mit a, b zwei harmonische Pole P und P1 auf der X a P M X Achse aus. Denn die Achse bildet mit den genannten Verbindungslinien ein Polardreieck des Kegelschnittes nach 276. Die weitere Konstruktion der Achsenendpunkte ist dann wieder wie vorher (Fig. 212). ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. 16 |