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Entsprechende Strahlen der Büschel A und 4, schneiden den Kreis k in Punkten, die mit S entsprechende Strahlen der gegebenen Büschel bestimmen. Schneidet daher die Achse p den Hilfskreis k in den Punkten U und V, so sind u= SU und v = SV die gesuchten Doppelstrahlen. Dieselben fallen in einen zusammen, wenn p den Hilfskreis k berührt; es existieren keine Doppelstrahlen, wenn p außerhalb k liegt.

Ko

v

y

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winkelpaare x, y und x1, y1 zu finden, bestimme man in den perspektiven. Strahlbüscheln A und A, die sich entsprechenden rechten Winkel (nach 183) mittels eines zweiten Hilfskreises k, der durch A und 4, geht und dessen Centrum K, auf der Achse p liegt. Die fraglichen rechten Winkel sind ▲ Ã ̧ ̧1‰ und X, wenn X und Y die Schnittpunkte von ko mit p bedeuten. Schneiden ihre Schenkel den Kreis k resp. in X, Y und X, Y, so sind x = SX, y = SY und x1 = SX1, y1 = SY, die entsprechenden Rechtwinkelpaare der gegebenen Strahlbüschel.

y

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a

Fig. 200.

0

...

X1

...

91

0

313. Sind zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden g durch die sich entsprechenden Punkte A, B, C und A1, B1, C1 festgelegt (Fig. 201), so wähle man einen Hilfskreis k, der den gemeinsamen Träger berührt und lege aus den gegebenen Punkten an ihn die Tangenten a, b, c und a, b, c. Die Punktreihen A', B', C', ... auf a1 und A', B1', C', auf a sind zu den gegebenen Reihen A, B, C, ... resp. A1, B1, C1, projektiv, wenn je zwei Punkte sich entsprechen, die auf einer Kreistangente liegen. Die Reihen auf a, und a sind somit zu einander projektiv und, da A' beiden entsprechend gemein ist, auch perspektiv; das zugehörige Centrum ist 0 = B'B' × C'C'. Die aus entsprechenden Punkten dieser perspektiven Reihen auf a und a1 an k gelegten Tangenten schneiden auf g entsprechende Punkte der gegebenen Reihen aus. Die Koinzidenz tritt ein für die beiden aus O an den

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Kreis k gelegten Tangenten u und v; diese schneiden also auf die gesuchten Doppelpunkte aus. Dieselben fallen in einen einzigen zusammen, wenn O auf dem Hilfskreis k liegt; sie kommen in Wegfall, wenn im Innern desselben liegt.

Man hätte die Aufgabe auch auf die vorhergehende zurückführen können, indem man die beiden Punktreihen auf g durch zwei Strahlbüschel aus einem

Punkte S projiziert hätte. Die Doppelstrahlen dieser Büschel würden dann die Doppelpunkte der gegebenen Reihen ausgeschnitten haben.

Um die Gegenpunkte G1 und G der gegebenen Punktreihen zu finden, lege man an den Kreis k die zu g parallele Tangente w, bestimme zu ihren Schnittpunkten mit a und a1 die perspektiven Punkte auf a, und a und ziehe aus den letzteren die Tangenten an k, welche

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314. Der Punkt

reihe auf einer Geraden

Fig. 201.

und dem Strahlbüschel durch einen Punkt stellt man die Punktreihe auf einem Kegelschnitt und den Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt gegenüber. In den beiden letztgenannten Fällen bildet der Kegelschnitt den Träger.

Zwei Punktreihen auf einem Kegelschnitt heißen projektiv, wenn sie aus einem und folglich aus allen Punkten desselben durch projektive Strahlbüschel projiziert werden. Ebenso heißen zwei Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt projektiv, wenn sie auf einer und mithin auf allen Tangenten desselben projektive Punktreihen ausschneiden. Ferner nennt man zwei Punktreihen oder zwei Tangentenbüschel eines Kegelschnittes involutorisch, wenn sie mit einem beliebigen Punkte resp. auf einer beliebigen Tangente desselben involutorische Strahlbüschel oder Punktreihen bestimmen.

Nach 297 gilt der Satz: Jede Punktreihe auf einem Kegelschnitt ist projektiv zu dem Tangentenbüschel, dessen Tangenten ihn in den entsprechenden Punkten der Reihe. berühren. Beachtet man, daß hiernach zu zwei projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitt zwei projektive Tangentenbüschel gehören, und daß zwei projektive Reihen involutorisch liegen, wenn ein vertauschbares Entsprechen zwischen ihren Punkten stattfindet, so ergiebt sich ein neuer Satz: Bilden auf einem Kegelschnitt die Punktepaare AA1, BB1, CС1, ... eine Involution, so gilt das Gleiche von den Tangentenpaaren aa1, bb1, cc1, ..., deren Berührungspunkte jene sind.

C

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a

315. Die Verbindungslinien der Punktepaare AA1, BB1, CC1, ... einer auf einem Kegelschnitte liegenden Involution gehen durch einen Punkt M, den Mittelpunkt der Involution (Fig. 202). Zunächst ist aus 224 bekannt, daß zwei Paare entsprechender Punkte genügen, um die Involution festzulegen. Die vier Punkte 4, C B1, C, C1 des Kegelschnittes sind projektiv zu den ihnen involutorisch entsprechenden Punkten A, B, C1, C. Folglich a, ist auch der Strahlbüschel

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B

Fig. 202.

B

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haben den Strahl BA entsprechend gemein, sie sind somit perspektiv; folglich liegen die Punkte A, × BB1 = M, C und C1 auf einer Geraden, oder die Geraden ДA1, BB1, CС1 gehen durch einen Punkt M.

316. Sind nun a, a, b, b, c, c, ... die Tangenten des Kegelschnittes k in den Punkten A, A1, B, B1, C, C1,... der vorhin betrachteten Involution, so bilden sie die Paare einer Involution von Tangenten an demselben. Zugleich sind die Punkte a × a1, b× b1, cxc,... die Pole der Verbindungslinien 44, BB1, CC1,... in Bezug auf den Kegelschnitt. Da letztere durch einen Punkt M gehen, liegen erstere auf seiner Polare m, daher gilt der Satz:

Sind aa, bb1, cc,... die Paare einer Involution von Tangenten an einem Kegelschnitt, so liegen ihre Schnittpunkte auf einer Geraden m, der Achse der Involution.

317. Eine Strahleninvolution mit dem Scheitel S sei durch zwei Paare a und a,, b und b, sich vertauschbar entsprechender Strahlen gegeben. Man konstruiere: erstens zu einem gegebenen Strahle c den entsprechenden c,, zweitens das Paar rechtwinkliger Strahlen, drittens die Doppelstrahlen der Involution.

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B

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C1

Die gegebenen Strahlen schneiden einen beliebig durch S gelegten Kreis k in Punktepaaren A und 1, В und B1 einer Involution (Fig. 203). Man findet den Mittelpunkt M der Involution als AA, X BB1. Schnei× det der Strahl c den Kreis in C, so trifft ihn der entsprechende Strahl c1 in C, wo C1 C, den zweiten Schnittpunkt der Linie MC mit k bedeutet. Schneidet ferner die Verbindungslinie von M mit dem Kreismittelpunkt K aus dem Kreis die Punkte X und X aus, so sind x=SX und x1 = SX, u die sich entsprechenden rechtwinkligen Strahlen. Sind endlich U und

die Berührungs

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M

ax c

Fig. 203.

m

punkte der aus M an den Kreis gelegten Tangenten (oder die Schnittpunkte mit der Polare m von M), so bilden u = SU und v SV die Doppelstrahlen der Involution.

=

318. Eine Involution von Punkten auf einer Geraden g sei durch zwei Paare A und A,, B und B, sich vertauschbar entsprechender Punkte gegeben. Man bestimme: erstens zu einem gegebenen Punkt C den entsprechenden C1, zweitens den Mittelpunkt und drittens die Doppelpunkte der Involution.

.

Man lege an den Träger g der Involution einen berührenden Kreis k; seine durch die gegebenen Punkte verlaufenden Tangenten a und a, b und b, bestimmen eine Involution von Tangenten (Fig. 204). Die Achse p derselben ergiebt sich als Verbindungslinie von A a × a, mit B1 = b × b1. Je zwei Tangenten c und c1 des Hilfskreises, die sich in einem Punkte C von p treffen, schneiden.

0

C1

auf g entsprechende Punkte C und C aus. Der zu g parallelen Tangente m, entspricht auf gleiche Weise die den Mittelpunkt M der Involution enthaltende Tangente m. Endlich entsprechen die

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Tangenten u und

in den Schnittpunkten des Kreises mit der Achse p sich selbst und bestimmen daher auf g die Doppelpunkte

U und der Involution.

Man hätte auch die ganze Aufgabe auf die vorhergehende zurückführen können, indem man die Punktinvolution aus einem beliebigen Punkt durch eine Strahleninvolution projizierte.

319. Wir wenden uns jetzt zu den am Anfang dieses Abschnittes erwähnten Aufgaben über Kegelschnitte.

Es sollen die Schnittpunkte einer Geraden g mit einem Kegelschnitte k gefunden werden, von dem man fünf Punkte

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