Abbildungen der Seite
PDF
EPUB

Kennt man also fünf Tangenten bdcea eines Kegelschnittes, so findet man eine weitere, indem man b × d mit e × a verbindet und ferner cd mit demjenigen Punkte von a, durch den die gesuchte Tangente gehen soll. Ihr Schnittpunkt auf b liegt dann mit c xe und dem Schnittpunkt der genannten Verbindungslinien auf einer Geraden.

Aus der Figur erkennt man auch die Umkehrung des Brianchon'schen Satzes. Gehen die drei Verbindungslinien der Gegenecken eines Sechsecks durch einen Punkt, so berühren seine sechs Seiten einen Kegelschnitt.

306. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch vier Tangenten und den Berührungspunkt von einer derselben, oder durch drei Tangenten und die Berührungspunkte von zweien. Sind a, b, c, d und der Berührungspunkt 4, von a gegeben, so sind die Reihen (41, C1, D1, F1) und (A2, C25 D2, F2) auf a und b projektiv (Fig. 196) und die Strahlbüschel P1 (41, C1, D1, F1) und P2 (42, C2, D2, F1⁄2) perspektiv. Ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich auf einer Geraden, die durch P11 × P1⁄2Â und D2 = P1D1 × P2D2 geht; die Konstruktion von f geschieht dann mit Hilfe dieser Geraden wie vorher.

1

2

B

P

α

A

d

L

Fig. 197.

Sind die drei Tangenten a, b, c und die Berührungspunkte und B von a und b gegeben (Fig. 197), so wähle man auf AB einen beliebigen Punkt M; dann schneidet QM auf a einen Punkt S und RM auf b einen Punkt P aus (Q = bxc, R = ax c) und es ist PS d eine neue Tangente unseres Kegelschnittes. Denn die Punktreihe (U, A, R, S) ist perspektiv zur Reihe (U, B, P, Q) und folglich nach 190 projektiv zur Reihe (B, U, Q, P), wie es nach 299 für den gesuchten Kegelschnitt sein muß. Verbindet man Ua x b mit cxd und schneidet diese Gerade mit QS in L, so gehen V LA und LB durch die Berührungspunkte C resp. D der Tangenten c und d. Die Verbindungslinie beider Berührungspunkte läuft durch M (vergl. 296).

=

307. Wir hatten in diesem Abschnitt den Kegelschnitt als das Erzeugnis zweier projektiver Strahlbüschel definiert. Wir müssen

nun noch zeigen, daß diese Definition mit der früheren übereinstimmt, d. h. daß ein durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugter Kegelschnitt sich immer als perspektives Bild eines Kreises ansehen läßt. Zu diesem Zwecke beweisen wir den Satz: Zwei projektive Strahlbüschel kann man durch perspektive Abbildung stets derart in zwei kongruente Strahlbüschel verwandeln, daß der eine von ihnen ungeändert bleibt. Dabei geht dann natürlich der von den ersteren Büscheln erzeugte Kegelschnitt in den von den letzteren erzeugten Kreis über.

Es seien a, b, c und a1, b1, c1 je drei Strahlen der gegebenen projektiven Büschel mit den Scheiteln S und S1 (Fig. 198). Dann geht der Kegelschnitt k durch die Punkte S, S1, A=a×a1, B=b× b1,

[ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

C=cxc, und berührt in S die Gerade t, welche dem Strahl SS = t1 entspricht und nach 301 konstruiert wird (im Fünfeck SSABC schneidet die Verbindungslinie

von SSX BC und SAX CS auf AB einen Punkt der gesuchten Tangente t aus). Zieht man nun einen beliebigen Kreis. ką, der t in S berührt, so ist er perspektiv zum Kegelschnitt k, und zwar ist S das Centrum der Perspektive. Das ergiebt sich, wie

folgt. Der Kreis k2 möge t1, a, b, c in S2, A2, B2, C2 schneiden; ferner sei D = d x d1 ein beliebiger Punkt von k und D2 der auf d liegende Punkt von ką. Nach der Voraussetzung sind die Strahlbüschel (t, a, b, c, d) und (t1, a, b, c, d) projektiv, und der erstere ist zu dem Büschel S2 (S, A2, B, C, D) kongruent. Demnach ist auch der zweite Büschel zu dem dritten projektiv und sogar perspektiv, da beide den Strahl t1 entsprechend gemein haben. Es liegen also die Schnittpunkte von a1 und S12, von b1 und S12, von c1 und SC2, von d und SD auf einer Geraden e. Die perspektive Beziehung, für welche S das Centrum, e die Achse bildet und S1, S ein Paar entsprechender Punkte sind, läßt den Büschel mit dem Scheitel S ungeändert und verwandelt den Büschel 8, in den Büschel S2. Insbesondere bildet sie den Strahl d1 in den

Strahl SD, und den beliebigen Punkt D von k in den Punkt D2 von k2 ab, w. z. b. w.

2

Ein Kegelschnitt läßt sich stets durch Perspektive in einen Kreis verwandeln, wobei man einen beliebigen Punkt auf ihm zum Centrum wählen kann. Diese perspektive Beziehung zwischen Kreis und Kegelschnitt läßt sich auch zur Konstruktion des letzteren verwenden. Sucht man insbesondere die Verschwindungslinie und ihren Pol in Bezug auf den Kreis auf, so erhält man als entsprechenden Punkt zu diesem Pole den Mittelpunkt des Kegelschnittes. Zwei konjugierte Polaren des Kreises, die durch den genannten Pol gehen, bilden sich als konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes ab (vergl. 288).

308. Einen Kegelschnitt k durch fünf Punkte A, B, C, D, E kann man auch in folgender Weise in einen dazu perspektiven Kreis k überführen. Man

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

Achse, O zum Centrum und C2 und C zu entsprechenden Punkten hat, den Kreis k in einen Kegelschnitt ab, der AJ in A, BJ in B berührt und durch C geht. Da es aber nur einen derartigen Kegelschnitt giebt, so muß er mit dem Kegelschnitt k durch die fünf gegebenen Punkte identisch sein.

309. Dem unendlich fernen Punkt von CJ entspricht der

e

Fluchtpunkt auf C2J2 (OF|| CJ) und der unendlich fernen Geraden die Fluchtlinie e durch F(ee). Ist k eine Ellipse, so schneidet den Kreis k nicht. Dann läßt sich eine neue perspektive Beziehung angeben, die den Kreis k, in einen neuen Kreis k, überführt, wobei e wiederum die Achse, aber die Verschwindungslinie ist, während das neue Centrum O' auf der Mittelsenkrechten von AB liegen muß. Schneidet dieselbe e in U und legt man von U aus eine Tangente t2 an k2, so entspricht ihr bei der neuen Perspektive eine zu e normale Tangente t1 von k1 (t2 × t1 auf e). Es läßt sich also k1 als einer der beiden Kreise durch A und B zeichnen, die t1 berühren, das Centrum O' ist ein Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise k2 und k.

Nach 162 liegt nun der Kegelschnitt k auch zu dem Kreise k1 perspektiv; hierbei ist e wieder die Achse und das Centrum liegt mit und O' in gerader Linie. Aber die Perspektive, welche k in k verwandelt, führt die unendlich ferne Gerade in e, über, während die Perspektive, welche k2 in k、 verwandelt, die Gerade e @ wieder in die unendlich ferne Gerade überführt. Bei der perspektiven Beziehung zwischen k und k1 gehen somit unendlich ferne Punkte wieder in unendlich ferne Punkte, also parallele Gerade immer wieder in parallele Gerade über. Das will sagen, daß k und k affin sind; e ist die Achse und 00′ die Richtung der Affinität. Der zu e normale Durchmesser von k, geht dabei in einen Durchmesser der Ellipse über, dessen Verlängerung den Punkt J trägt. Jede Ellipse läßt sich als affines Bild eines Kreises darstellen.

Schon in 24 haben wir die Aufgabe gelöst: eine Ellipse durch fünf gegebene Punkte zu zeichnen, indem wir sie dort als eine zum Kreis affine Kurve definierten. Hier sind wir von der neuen Definition ausgegangen, wonach die Ellipse das perspektive Bild eines Kreises oder das Erzeugnis projektiver Strahlbüschel ist, und haben gezeigt, daß auch die so definierte Ellipse stets als Parallelprojektion eines Kreises gewonnen werden kann.

Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Metrische

Eigenschaften.

310. Die Kegelschnitte mag man sie als Erzeugnisse projektiver Strahlbüschel und Punktreihen, oder als perspektive Bilder eines Kreises auffassen sind nach dem Früheren konstruierbar. Auf jedem Strahl, der durch einen seiner Punkte gezogen wird, kann man einen zweiten zeichnen (302), durch jeden Punkt, der auf einer seiner

Tangenten liegt, kann man eine zweite ziehen (305). Aber die Frage nach den beiden Tangenten an einen Kegelschnitt aus einem beliebigen Punkt, oder nach den beiden Schnittpunkten mit einer beliebigen Geraden ist noch nicht gelöst, ebensowenig wie gewisse Fragen, die an die Polarentheorie anknüpfen. Solche Fragen sollen nun hier behandelt werden. Sie führen uns zu projektiven Strahlbüscheln mit dem nämlichen Scheitel, zu projektiven Punktreihen auf derselben Geraden, sowie zu involutorischen Punktreihen und Strahlbüscheln, und erfordern die Konstruktion von Doppelelementen, von entsprechenden rechten Winkeln, von Gegenpunkten. Diese Konstruktionen werden aber selbst am besten mit Hilfe eines Kegelschnittes und zwar eines Kreises durchgeführt und sollen zunächst ihre Erledigung im folgenden finden.

311. Zwei projektive Punktreihen auf einer Geraden haben entweder keinen, oder einen oder zwei Doppelpunkte, d. h. Punkte, die sich selbst entsprechen. Daß solche Punktreihen einen Doppelpunkt haben können, ist ersichtlich; denn durch Verschiebung der einen Reihe auf dem gemeinsamen Träger können zwei entsprechende Punkte zur Deckung gebracht werden. Daß ferner den beiden Reihen nicht drei oder mehr Doppelpunkte zukommen können, ohne daß sie sich Punkt für Punkt decken, folgt aus 180.

Zwei entgegenlaufende projektive Punktreihen auf derselben Geraden besitzen stets zwei Doppelpunkte; denn die sie durchlaufenden, entsprechenden Punkte müssen sich auf ihrem Wege zweimal begegnen. Aus gleichen Gründen besitzen zwei projektive, koncentrische Strahlbüschel keinen, einen oder zwei Doppelstrahlen. Sind diese Strahlbüschel entgegenlaufend, so sind stets zwei Doppelstrahlen vorhanden. Sind die genannten Punktreihen oder Strahlbüschel gleichlaufend, so können noch alle drei Fälle eintreten.

с

312. Zwei projektive Strahlbüschel mit demselben Scheitel S seien durch die sich entsprechenden Strahlen a, b, und a, b, c, gegeben (Fig. 200). Man lege durch S einen beliebigen Hilfskreis k, der die gegebenen Strahlen in A, B, C resp. A1, B1, C1 schneiden mag. Der Strahlbüschel mit dem Scheitel 41 ist zu dem ersteren Büschel projektiv, wenn sich je zwei Strahlen entsprechen, die sich auf k schneiden. Ebenso ist der Strahlbüschel mit dem Scheitel A zu dem letzteren Büschel projektiv, wenn ihre entsprechenden Strahlen sich auf k schneiden. Demnach sind auch die Büschel 4 (A, B, C, ...) und A (41, B1, C1, ...) projektiv und sogar perspektiv, weil sie 44 entsprechend gemein haben. Ihre Perspektivitätsachse p verbindet die Punkte AB1 × A1B und AC1 × A‚С.

« ZurückWeiter »