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Strahl S2B2 und den beliebigen Punkt B von k in den Punkt B„ von h2 ab, w. z. b. w.

Ein Kegelschnitt läßt sich 'stets durch Perspektive in einen Kreis verwandeln, wobei man einen beliebigen Punkt auf ihm zum Centrum wählen kann. Diese perspektive Beziehung zwischen Kreis und Kegelschnitt läßt sich auch zur Konstruktion des letzteren verwenden. Sucht man insbesondere die Verschwindungslinie und ihren Pol in Bezug auf den Kreis auf, so erhält man als entsprechenden Punkt zu diesem Pole den Mittelpunkt des Kegelschnittes. Zwei konjugierte Polaren des Kreises, die durch den genannten Pol gehen, bilden sich als konjugierte Durchmesser des Kegelschnittes ab (Vergl. 288).

308. Einen Kegelschnitt k durch fünf Punkte A, B, C, B, E kann man auch in folgender Weise in einen dazu perspektiven Kreis k2 überführen. Man zeichne nach 301 die Tangenten AJ und BJ in A und B; dann lege man durch diese beiden Punkte einen beliebigen Kreis k2 und ziehe seine Tangenten AJ2 und BJ2 [Fig. 199). Sollen k und k2 perspektiv sein, so sind J und J2 entsprechende Punkte und e = AB ist die Achse der Perspektive. Zugleich entspricht dem Punkte C von k ein Punkt C2 von h2, und zwar liegt C2 auf der Verbindungslinie von J2 mit dem Punkte e x JC. Die Geraden JJ2 und CC2 schneiden sich

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Fig. 199.

aber im Centrum O der Perspektive. In der That bildet die Perspektive, welche e zur Achse, O zum Centrum und C2 und C zu entsprechenden Punkten hat, den Kreis k2 in einen Kegelschnitt ab, der AJ in A, BJ in B berührt und durch C geht. Da es aber nur einen derartigen Kegelschnitt giebt, so muß er mit dem Kegelschnitt k durch die fünf gegebenen Punkte identisch sein.

309. Dem unendlich fernen Punkt von CJ entspricht der Fluchtpunkt^7 auf C2J2 (OF\\ CJ) und der unendlich fernen Geraden die Fluchtlinie ex durch F [ex \\ e). Ist k eine Ellipse, so schneidet den Kreis k2 nicht. Dann' läßt sich eine neue perspektive Beziehung angeben, die den Kreis k2 in einen neuen Kreis kx überführt, wobei e wiederum die Achse, aber ex die Verschwindungslinie ist, während das neue Centrum O' auf der Mittelsenkrechten von AB liegen muß. Schneidet dieselbe in U und legt man von U aus eine Tangente t2 an k2, so entspricht ihr bei der neuen Perspektive eine zu e normale Tangente tx von kx (t2 x tx auf e). Es läßt sich also kx als einer der beiden Kreise durch A und B zeichnen, die tx berühren, das Centrum O' ist ein Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise h2 und kv

Nach 162 liegt nun der Kegelschnitt h auch zu dem Kreise \ perspektiv; hierbei ist e wieder die Achse und das Centrum liegt mit O und O' in gerader Linie. Aber die Perspektive, welche k in h2 verwandelt, führt die unendlich ferne Gerade in über, während die Perspektive, welche k2 in kx verwandelt, die Gerade ex wieder in die unendlich ferne Gerade überführt. Bei der perspektiven Beziehung zwischen k und Aj gehen somit unendlich ferne Punkte wieder in unendlich ferne Punkte, also parallele Gerade immer wieder in parallele Gerade über. Das will sagen, daß k und kx affin sind; e ist die Achse und O(7 die Richtung der Affinität. Der zu e normale Durchmesser von kx geht dabei in einen Durchmesser der Ellipse k über, dessen Verlängerung den Punkt J trägt. Jede Ellipse läßt sich als affines Bild eines Kreises darstellen.

Schon in 24 haben wir die Aufgabe gelöst: eine Ellipse durch fünf gegebene Punkte zu zeichnen, indem wir sie dort als eine zum Kreis affine Kurve definierten. Hier sind wir von der neuen Definition ausgegangen, wonach die Ellipse das perspektive Bild eines Kreises oder das Erzeugnis projektiver Strahlbüschel ist, und haben gezeigt, daß auch die so definierte Ellipse stets als Parallelprojektion eines Kreises gewonnen werden kann.

Einige Konstruktionsaufgaben bei Kegelschnitten. Metrische Eigenschaften.

310. Die Kegelschnitte — mag man sie als Erzeugnisse projektiver Strahlbüschel und Punktreihen, oder als perspektive Bilder eines Kreises auffassen — sind nach dem Früheren konstruierbar. Auf jedem Strahl, der durch einen seiner Punkte gezogen wird, kann man einen zweiten zeichnen (302), durch jeden Punkt, der auf einer seiner Tangenten liegt, kann man eine zweite ziehen (305). Aber die Frage nach den beiden Tangenten an einen Kegelschnitt aus einem beliebigen Punkt, oder nach den beiden Schnittpunkten mit einer beliebigen Geraden ist noch nicht gelöst, ebensowenig wie gewisse Fragen, die an die Polarentheorie anknüpfen. Solche Fragen sollen nun hier behandelt werden. Sie führen uns zu projektiven Strahlbüscheln mit dem nämlichen Scheitel, zu projektiven Punktreihen auf derselben Geraden, sowie zu involutorischen Punktreihen und Strahlbüscheln, und erfordern die Konstruktion von Doppelelementen, von entsprechenden rechten Winkeln, von Gegenpunkten. Diese Konstruktionen werden aber selbst am besten mit Hilfe eines Kegelschnittes und zwar eines Kreises durchgeführt und sollen zunächst ihre Erledigung im folgenden finden.

311. Zwei projektive Punktreihen auf einer Geraden haben entweder keinen, oder einen oder zwei Doppelpunkte, d. h. Punkte, die sich selbst entsprechen. Daß solche Punktreihen einen Doppelpunkt haben können, ist ersichtlich; denn durch Verschiebung der einen Reihe auf dem gemeinsamen Träger können zwei entsprechende Punkte zur Deckung gebracht werden. Daß ferner den beiden Reihen nicht drei oder mehr Doppelpunkte zukommen können, ohne daß sie sich Punkt für Punkt decken, folgt aus 180.

Zwei entgegenlaufende projektive Punktreihen auf derselben Geraden besitzen stets zwei Doppelpunkte; denn die sie durchlaufenden, entsprechenden Punkte müssen sich auf ihrem Wege zweimal begegnen. Aus gleichen Gründen besitzen zwei projektive, koncentrische Strahlbüschel keinen, einen oder zwei Doppelstrahlen. Sind diese Strahlbüschel entgegenlaufend, so sind stets zwei Doppelstrahlen vorhanden. Sind die genannten Punktreihen oder Strahlbüschel gleichlaufend, so können noch alle drei Fälle eintreten.

312. Zwei projektive Strahlbüschel mit demselben Scheitel S seien durch die sich entsprechenden Strahlen a, b, c und aj, 6j, cx gegeben (Fig. 200). Man lege durch S einen beliebigen Hilfskreis k, der die gegebenen Strahlen in A, B, C resp. Ax, Bv Cx schneiden mag. Der Strahlbüschel mit dem Scheitel Ax ist zu dem ersteren Büschel projektiv, wenn sich je zwei Strahlen entsprechen, die sich auf k schneiden. Ebenso ist der Strahlbüschel mit dem Scheitel A zu dem letzteren Büschel projektiv, wenn ihre entsprechenden Strahlen sich auf k schneiden. Demnach sind auch die Büschel Ax (A, B, C, . . . ) und A (Av Bv Cv . . . ) projektiv und sogar perspektiv, weil sie AxA entsprechend gemein haben. Ihre Perspektivitätsachse p verbindet die Punkte ABx x AxB und ACx x A^C. Entsprechende Strahlen der Büschel A und Ax schneiden den Kreis h in Punkten, die mit S entsprechende Strahlen der gegebenen Büschel bestimmen. Schneidet daher die Achse p den Hilfskreis h in den Punkten U und V, so sind u = SU und v = SV die gesuchten Doppelstrahlen. Dieselben fallen in einen zusammen, wenn p Kreis k gelegten Tangenten u und v; diese schneiden also auf g die gesuchten Doppelpunkte aus. Dieselben fallen in einen einzigen zusammen, wenn O auf dem Hilfskreis k liegt; sie kommen in Wegfall, wenn O im Innern desselben liegt.

und i_ X0AY0, wenn X0 und Y0 die Schnittpunkte von k0 mit p bedeuten. Schneiden ihre Schenkel den Kreis k resp. in X, Y und Jj , Yx, so sind x = SX, y = SY und xx = 5Xj, yx = SYx die entsprechenden Rechtwinkelpaare der gegebenen Strahlbüschel.

313. Sind zwei projektive Punktreihen auf derselben Geraden g durch die sich entsprechenden Punkte A, B, C und Av B., Cj festgelegt (Fig. 201), so wähle man einen Hilfskreis k, der den gemeinsamen Träger berührt und lege aus den gegebenen Punkten an ihn die Tangenten a, b, c und av bv cr Die Punktreihen A', B', C, ... auf aj und A', Bx, C(, . . . auf a sind zu den gegebenen Reihen A, B, C, . . . resp. Av Bv Cv ... projektiv, wenn je zwei Punkte sich entsprechen, die auf einer Kreistangente liegen. Die Reihen auf ax und a sind somit zu einander projektiv und, da A' beiden entsprechend gemein ist, auch perspektiv; das zugehörige Centrum ist O = B'B^ x CCx'. Die aus entsprechenden Punkten dieser perspektiven Reihen auf a und ax an k gelegten Tangenten schneiden auf g entsprechende Punkte der gegebenen Reihen aus. Die Koinzidenz tritt ein für die beiden aus O an den

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Man hätte die Aufgabe auch auf die vorhergehende zurückführen können, indem man die beiden Punktreihen auf g durch zwei Strahlbüschel aus einem Punkte S projiziert hätte. Die Doppelstrahlen dieser Büschel würden dann die Doppelpunkte der gegebenen Reihen ausgeschnitten haben.

Um die Gegenpunkte Gv und Gx der gegebenen Punktreihen zu finden, lege man an den Kreis h die zu g parallele Tangente w, bestimme zu ihren Schnittpunkten mit a und die perspektiven Punkte auf ax und a und ziehe aus den letzteren die Tangenten an k, welche g in Gv und Gx treffen.

314. Der Punkt- Fig. 201.

reihe auf einer Geraden

und dem Strahlbüschel durch einen Punkt stellt man die Punktreihe auf einem Kegelschnitt und den Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt gegenüber. In den beiden letztgenannten Fällen bildet der Kegelschnitt den Träger.

Zwei Punktreihen auf einem Kegelschnitt heißen projektiv, wenn sie aus einem und folglich aus allen Punkten desselben durch projektive Strahlbüschel projiziert werden. Ebenso heißen zwei Tangentenbüschel an einem Kegelschnitt projektiv, wenn sie auf einer und mithin auf allen Tangenten desselben projektive Punktreihen ausschneiden. Ferner nennt man zwei Punktreihen oder zwei Tangentenbüschel eines Kegelschnittes involutorisch, wenn sie mit einem beliebigen Punkte resp. auf einer beliebigen Tangente desselben involutorische Strahlbüschel oder Punktreihen bestimmen.

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