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Hiernach und nach dem Obigen haben die vier Geraden AC, BB, PR und QS den Punkt M gemein. In gleicher Weise folgt, daß sich die vier Geraden AC, BBv PRx und QSx in einem Punkte Mx schneiden, wenn Bx der Berührungspunkt der Tangente 7^$j ist, u. s. f. Es ist also der Strahlbüschel B (D, Bv B2, . . . ) projektiv zu der Reihe (M, Mv M2, . . . ) und somit projektiv zu den Reihen (R, Rv R2, . . . ) und (S, Sv S2, ... ). Nun ist PQ eine beliebige Tangente und B ihr Berührungspunkt. Für jeden andern Punkt Bx der Kurve gilt das Gleiche, so daß die genannten Reihen auch zu dem Büschel -Sj (B, Bv B%, . . . ) projektiv sind. Damit ist der Satz in 299 bewiesen.

301. Die in diesem Abschnitt behandelte doppelte Erzeugungsweise der Kegelschnitte durch zwei projektive Punktreihen oder Strahlbüschel giebt uns die Mittel an die Hand, beliebig viele Tangenten und Punkte desselben in einfachster Weise zu zeichnen. Zunächst gilt der Satz: Fünf Punkte einer Ebene, von denen keine drei in einer Geraden liegen, bestimmen einen Kegelschnitt, der sie enthält. Die aus zweien der gegebenen Punkte, A und B, nach den übrigen C, B, E gezogenen Strahlen bestimmen nämlich zwei projektive Strahlbüschel und diese erzeugen einen durch die fünf Punkte verlaufenden Kegelschnitt. Den nämlichen

auch die Punktreihen (C, B, Ex,Fx...) und C, B2, E, Fv ...) projektiv (Fig. 194) und sogar perspektiv. Sonach geht F~F2 durch den Schnittpunkt O = BB2 x ExE. Man erhält also jedesmal einen Punkt des Kegelschnittes, indem man eine beliebige Gerade durch O zieht, ihren Schnittpunkt auf CB mit A und ihren Schnittpunkt auf CE mit B verbindet; beide Verbindungslinien schneiden sich auf

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der Kurve. Da insbesondere dem Strahl AB des ersten Büschels im zweiten die Tangente in B entspricht, so verbinde man Bx AB x CB mit O, dann geht die in B berührende Tangente durch Bs = Bx0 x CE.

302. Aus unserer Figur folgt auch wiederum der Pascal'sche Satz. Denn bei dem Sechseck AFBBCE liegen die Punkte AF x JDC.= Fx, FB xCE= F2 und BB x FA = O in gerader Linie. Der Pascal'sche Satz ist hiernach eine unmittelbare Folge der Erzeugungsweise eines Kegelschnittes durch zwei projektive Strahlbüschel. Während aber bei dieser zwei Punkte desselben als Scheitel der Büschel auftreten, sind beim Pascal'sehen Satz alle sechs Punkte gleichberechtigt. Kennt man fünf Punkte BBCFA des Kegelschnittes, so findet man einen weiteren, wenn man durch A irgend einen Strahl zieht, seinen Schnittpunkt auf CB mit O verbindet, diese Linie mit CE schneidet und dann von B aus einen Strahl durch diesen Schnittpunkt zieht. Die Strahlen durch A und B liefern einen neuen Punkt des Kegelschnittes.

Aus unserer Figur erkennt man auch, daß die Umkehrung des Pascal'schen Satzes Geltung hat. Die Ecken eines Sechsecks, dessen drei Paar Gegenseiten sich in drei Punkten einer Geraden schneiden, liegen stets auf einem Kegelschnitt.

303. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zweien. Sind A, B, C, B und die Tangente in A gegeben, und ist F irgend ein Punkt des Kegelschnittes, so ist B(A,C,B,F) projektiv zu A(A,C,B,F), wenn AA die Tangente in A bedeutet (Fig. 194). Daraus folgt die Perspektivität der Keihen {A2, C, B2, F2) und {Ax, C, B, JP), und es ist O = AxA2 x BB2 das Centrum dieser perspektiven Beziehung. Die Konstruktion von F geschieht dann wie vorher.

Sind drei Punkte A, B, C und die Tangenten PA und PB in A und B gegeben, so ziehe man durch P einen beliebigen Strahl, der AC und BC in M und N schneiden mag; dann ist B = AN x BM ein Punkt des Kegelschnittes (Fig. 195). Denn die Büschel A{P, B, C, B) und B(P, A,B,C) sind perspektiv, also sind die Büschel A(P,B,C,B) und B(A,P,C,B) projektiv, wie es für den gesuchten Kegelschnitt sein muß (294). Ist L = AB x CB, so ist A LMN ein Polardreieck und die Tangenten in A, B, C, B schneiden sich paarweise auf seinen Seiten (vergl. 296).

304. Fünf Gerade einer Ebene, von denen keine drei durch einen Punkt gehen, bestimmen einen Kegel

Eohn u. Pappbritz. I. 2. Aufl. . 15

schnitt, der sie berührt. Die auf zwei von den gegebenen Geraden, a und b, durch die übrigen c, d, e ausgeschnittenen Punkte

bestimmen nämlich zwei %S projektive Punktreihen,

A 1 und diese erzeugen einen

die fünf Geraden berührenden Kegelschnitt. Ist f irgend eine von seinen weiteren Tangenten (Fig. 196), so sind die von c, d,e,f,... auf a und b ausgeschnittenenPunktreihen (Cv Bv Ev Fv...) und {C2,p2,E2, F2,...) projektiv und folglich die

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Punkt PxFx x P2F2 = F auf der Geraden jedesmal eine Tangente des Kegelschnittes, indem man von Px und P2

nach einem beliebigen Punkt von B2Ex Strahlen zieht und die Punkte, die sie auf a resp. b ausschneiden, miteinander verbindet. Da insbesondere dem Punkt axb = Bx der ersten Reihe in der zweiten der Berührungspunkt P, entspricht, so geht die Verbindungslinie von P2 mit Pjpj x B2Ex durch B2 hindurch.

305. Unsere Figur liefert auch wiederum den B r i a nchon'schen Satz. In dem von den sechs Seiten afbdce in der angeführten Reihenfolge gebildeten Sechseck sind axf=Fx und dxc = Px, ferner fxb = F2 und c X e = P2i endlich b x d = I>2 und e x a = Ex drei Paar Gegenecken, deren Verbindungslinien durch den nämlichen Punkt F gehen.

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Fig. 196.

Kennt man also fünf Tangenten bdcea eines Kegelschnittes, so findet man eine weitere, indem man b x d mit e x a verbindet und ferner c x d mit demjenigen Punkte von a, durch den die gesuchte Tangente gehen soll. Ihr Schnittpunkt auf b liegt dann mit c x e und dem Schnittpunkt der genannten Verbindungslinien auf einer Geraden.

Aus der Figur erkennt man auch die Umkehrung des Brianchon'schen Satzes. Gehen die drei Verbindungslinien der Gegenecken eines Sechsecks durch einen Punkt, so berühren seine sechs Seiten einen Kegelschnitt.

306. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch vier Tangenten und den Berührungspunkt von einer derselben, oder durch drei Tangenten und die Berührungspunkte vonzweien. Sind a, b, c, d und der Berührungspunkt Ax von a gegeben, so sind die Reihen (Av Cv Fx) und (A2, C2, B2, F2) auf a und b projektiv (Fig. 196) und die Strahlbüschel Px(Ax,CvDvFx) und P2(A2,CvBvF2) perspektiv. Ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich auf einer Geraden, die durch PxAx x P2A2 und B^PxB} x P2B2 geht; die Konstruktion von f geschieht dann mit Hilfe dieser Geraden wie vorher.

Sind die drei Tangenten a, b, c und die Berührungspunkte A und B von a und b gegeben (Fig. 197), so wähle man auf AB einen beliebigen Punkt M; dann schneidet Q31 auf a einen Punkt S und RM auf b einen Punkt P aus (Q = b x c, R = a x c) und es ist PS = d eine neue Tangente unseres Kegelschnittes. Denn die Punktreihe (U, A, R, S) ist perspektiv zur Reihe (U, B, P, Q) und folglich nach 190 projektiv zur Reihe (B, U, Q, P), wie es nach 299 für den gesuchten Kegelschnitt sein muß. Verbindet man U = a x b mit V= c x d und schneidet diese Gerade mit QS in L, so gehen LA und LB durch die Berührungspunkte C resp. B der Tangenten c und d. Die Verbindungslinie beider Berührungspunkte läuft durch M (vergl. 296).

307. Wir hatten in diesem Abschnitt den Kegelschnitt als das Erzeugnis zweier projektiver Strahlbüschel definiert. Wir müssen nun noch zeigen, daß diese Definition mit der früheren übereinstimmt, d. h. daß ein durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugter Kegelschnitt sich immer als perspektives Bild eines Kreises ansehen läßt. Zu diesem Zwecke beweisen wir den Satz: Zwei projektive Strahlbüschel kann man durch perspektive Abbildung stets derart in zwei kongruente Strahlbüschel verwandeln, daß der eine von ihnen ungeändert bleibt. Dabei geht dann natürlich der von den ersteren Büscheln erzeugte Kegelschnitt in den von den letzteren erzeugten Kreis über.

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Es seien a, b, c und av bv cx je drei Strahlen der gegebenen projektiven Büschel mit den Scheiteln S und Sx (Fig. 198). Dann geht der Kegelschnitt k durch die Punkte S, Sv A = axav B = bxbv

folgt. Der Kreis k2 möge tx, a, b, c in S2, A2, B2, C2 schneiden; ferner sei B = d x dx ein beliebiger Punkt von k und B2 der auf d liegende Punkt von k2. Nach der Voraussetzung sind die Strahlbüschel (t, a, b, c, d) und (tx, ax, bx, cx, dx) projektiv, und der erstere ist zu dem Büschel S2 (S, A2, B2, C2, B2) kongruent. Demnach ist auch der zweite Büschel zu dem dritten projektiv und sogar perspektiv, da beide den Strahl tx entsprechend gemein haben. Es liegen also die Schnittpunkte von ax und S2A2, von bx und S2Bp von cx und S2C2, von dx und S2B2 auf einer Geraden e. Die perspektive Beziehung, für welche S das Centrum, e die Achse bildet und Sx, S2 ein Paar entsprechender Punkte sind, läßt den Büschel mit dem Scheitel S ungeändert und verwandelt den Büschel Sx in den Büschel S2. Insbesondere bildet sie den Strahl dx in den

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