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BD und AC in einem einem Punkte M, u. s. f.

...

R, R1, R2, aus; beide Reihen sind unter sich und mit dem Strahlbüschel B (D, D1, D2, ...) projektiv. Denn nach dem vorausgehenden Satze schneiden sich PR, QS, Punkte M, ebenso PR1, QS1, BD, und AC in Die Punkte M, M1, M2, ... bilden eine auf AC liegende Punktreihe, die somit von P aus gesehen mit der Reihe R, R1, R, . auf QC und von Q aus gesehen mit der Reihe S, S1, S2, auf PA perspektiv liegt; zugleich gehen die Strahlen des Büschels B (D, D1, D2, ...) durch die bezüglichen Punkte jener Reihe. Alle diese Reihen und Büschel sind projektiv. Daher der Satz: Legt man an einen Kegelschnitt eine Anzahl Tangenten, so schneiden sie auf irgend zwei festen Tangenten projektive

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...

Punktreihen aus. Zu die-
sen Reihen ist auch der
Strahlbüschel projektiv,
dessen Scheitel irgendwo
auf dem Kegelschnitt liegt
und dessen Strahlen durch
die Berührungspunkte der
Tangenten

bezüglichen
gehen.

298. Wenn man die in 293 aufgestellte Definition des Kegelschnittes beachtet, so kann man den letzten Satz auch wie folgt aussprechen: Jeder Kegelschnitt, der durch zwei projektive Strahlbüschel erzeugt wird, kann auch durch zwei projektive

Punktreihen erzeugt werden, d. h. die Verbindungslinien entsprechender Punkte umhüllen ihn. Insbesondere ist aus Fig. 193 und den voranstehenden Betrachtungen klar, daß der Kegelschnitt die Träger beider Punktreihen berührt und zwar in den Punkten, die ihrem Schnittpunkt (aufgefaßt als Punkt der einen Reihe, in der andern Reihe) entsprechen. Bewegt sich z. B. die Tangente R, S, so, daß R, auf QC nach U rückt, so rückt S auf PA in den Berührungspunkt A, der somit dem Punkt U entspricht.

299. Von dem letzten Satze gilt auch die Umkehrung: Jede Kurve, die von zwei projektiven Punktreihen erzeugt wird,

d. h. von den Verbindungslinien entsprechender Punkte umhüllt wird, läßt sich auch durch projektive Strahlbüschel erzeugen, ist also ein Kegelschnitt.

Zum Beweise dieses Satzes werden wir zunächst noch einige andere Eigenschaften unserer Kurve ableiten. In Fig. 193 seien PU und QU die Träger der projektiven Punktreihen R, R1, R2, und S, S1, S2, ...; insbesondere mag dem Punkt U der ersten Reihe der Punkt A der zweiten und dem Punkt U der zweiten der Punkt C der ersten Reihe entsprechen. Die Träger berühren die Kurve. als Verbindungslinien UA und CU von entsprechenden Punkten. Während aber durch R zwei Tangenten RQ und RS gehen, fallen sie für C und ebenso für A zusammen, d. h. A und C sind die Berührungspunkte der Träger. Ist dann QP irgend eine Tangente, welche beide Träger in den entsprechenden Punkten Q und P schneidet, so ist (UCQR) projektiv zu (AUPS) und nach 190 auch projektiv zu (UASP). Die erste und letzte Reihe sind aber perspektiv, es schneiden sich also AC, QS und PR in einem Punkte M. Ganz ebenso schneiden sich AC, QS, und PR1 in einem Punkte M1 u. s. f. Die Strahlbüschel P (R, R1, R, ...) und Q (S, S1, S2 ...) sind perspektiv, sie liefern auf AC die nämliche Punktreihe (M, M1, M2, ... ).

In dem Viereck PQRS sind U, M und T = PQ × RS die Diagonalpunkte, so daß nach 203 die Träger UP und UQ durch die Strahlen UM und UT harmonisch geteilt werden. In gleicher Weise trennen auch die Strahlen UM, und UT, die beiden Träger harmonisch, wie sich aus dem Viereck PQRS ergiebt, u. s. f. Nach 223 bilden somit UM und UT, UM, und UT, UM, und UT, ... die Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen die beiden Träger sind. Demnach sind U (M, M1, M„, ...) und U (T, T1, T2, ...) projektive Strahlbüschel, deren Strahlen sich vertauschbar entsprechen. Die Punktreihe (M, M1, M2, ...) auf AC ist folglich projektiv zur Punktreihe (T, T1, T2, auf PQ, und da die erstere zu den Reihen R, R1, R2, ...) und (S, S1, S2, . ) perspektiv ist, haben wir den Satz: Die Tangenten unserer Kurve schneiden auf jeder einzelnen Tangente und auf den gegebenen Trägern projektive Punktreihen aus. So sind also je zwei Tangenten unserer Kurve Träger projektiver Punktreihen, welche dieselbe erzeugen.

...

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300. Sind B und D die Berührungspunkte der Tangenten PQ und RS, so ist nach diesem Satze die Reihe (T, B, P, Q) projektiv zur Reihe (D, T, S, R) und nach 190 auch projektiv zur Reihe (7, D, R, S); es schneiden sich also BD, PR und QS in einem Punkte.

Hiernach und nach dem Obigen haben die vier Geraden AC, BD, PR und QS den Punkt M gemein. In gleicher Weise folgt, daß sich die vier Geraden AC, BD1, PR1 und Q§, in einem Punkte M1 schneiden, wenn D1 der Berührungspunkt der Tangente RS ist, u. S. f. Es ist also der Strahlbüschel B (D, D1, D2, ...) projektiv zu der Reihe (M, M1, M,, ...) und somit projektiv zu den Reihen (R, R1, R2, ) und (S, S1, S2, ...). Nun ist PQ eine beliebige Tangente und B ihr Berührungspunkt. Für jeden andern Punkt B1 der Kurve gilt das Gleiche, so daß die genannten Reihen auch zu dem Büschel B1 (D, D1, D2, ・・・ ) projektiv sind. Damit ist der Satz in 299 be

...

wiesen.

301. Die in diesem Abschnitt behandelte doppelte Erzeugungsweise der Kegelschnitte durch zwei projektive Punktreihen oder Strahlbüschel giebt uns die Mittel an die Hand, beliebig viele Tangenten und Punkte desselben in einfachster Weise zu zeichnen. Zunächst gilt der Satz: Fünf Punkte einer Ebene, von denen keine drei in einer Geraden liegen, bestimmen einen Kegelschnitt, der sie enthält. Die aus zweien der gegebenen Punkte, A und B, nach den übrigen C, D, E gezogenen Strahlen bestimmen nämlich zwei projektive Strahlbüschel und diese erzeugen einen durch die fünf Punkte verlaufenden Kegelschnitt. Den nämlichen

B2

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Fig. 194.

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Kegelschnitt erhält man nach 295 auch, wenn man irgend zwei andere unter den gegebenen Punkten als Scheitel zweier projektiver Strahlbüschel wählt, in denen sich wieder je zwei Strahlen durch den nämlichen Kurvenpunkt entsprechen.

Ist Firgend ein Punkt des Kegelschnittes, so sind die Strahlbüschel A (C, D, E, F, . . .) und B (C, D, E, F, . . .) projektiv. Den ersteren schneiden wir mit CD, den letzteren mit CE, dann sind auch die Punktreihen (C, D, E, F, ...) und C, D, E, F1⁄2, .....) projektiv (Fig. 194) und sogar perspektiv. Sonach geht FF2 durch den Schnittpunkt = DD2 X EE. Man erhält also jedesmal einen Punkt des Kegelschnittes, indem man eine beliebige Gerade durch O zieht, ihren Schnittpunkt auf CD mit A und ihren Schnittpunkt auf CE mit B verbindet; beide Verbindungslinien schneiden sich auf

O

1

2

=

der Kurve. Da insbesondere dem Strahl AB des ersten Büschels im zweiten die Tangente in B entspricht, so verbinde man B1 AB × CD mit O, dann geht die in B berührende Tangente durch B2 = B10 × CE.

2

1

2

302. Aus unserer Figur folgt auch wiederum der Pascal'sche Satz. Denn bei dem Sechseck AFBDCE liegen die Punkte AF x DC F1, FB X CE = F2 und BD X EA = 0 in gerader × = × × 1 Linie. Der Pascal'sche Satz ist hiernach eine unmittelbare Folge der Erzeugungsweise eines Kegelschnittes durch zwei projektive Strahlbüschel. Während aber bei dieser zwei Punkte desselben als Scheitel der Büschel auftreten, sind beim Pascal'schen Satz alle sechs Punkte gleichberechtigt. Kennt man fünf Punkte BDCEA des Kegelschnittes, so findet man einen weiteren, wenn man durch A irgend einen Strahl zieht, seinen Schnittpunkt auf CD mit O verbindet, diese Linie mit CE schneidet und dann von B aus einen Strahl durch diesen Schnittpunkt zieht. Die Strahlen durch A und B liefern einen neuen Punkt des Kegelschnittes.

Aus unserer Figur erkennt man auch, daß die Umkehrung des Pascal'schen Satzes Geltung hat. Die Ecken eines Sechsecks, dessen drei Paar Gegenseiten sich in drei Punkten einer Geraden schneiden, liegen stets auf einem Kegelschnitt.

303. Ein Kegelschnitt ist bestimmt durch vier Punkte und die Tangente in einem derselben, oder durch drei Punkte und die Tangenten in zweien. Sind A, B, C, D und die Tangente in A gegeben, und ist F irgend ein Punkt des Kegelschnittes, so ist B (A, C, D, F) projektiv zu A(A, C, D, F), wenn ▲A die Tangente in A bedeutet (Fig. 194). Daraus folgt die Perspektivität der Reihen (4,, C, D2, F2) und (41, C, D, F1), und es ist

0

=

A12 × DD, das Centrum dieser perspektiven Beziehung. Die Konstruktion von F geschieht dann wie vorher.

Sind drei Punkte A, B, C und die Tangenten PA und PB in A und B gegeben, so ziehe man durch P einen beliebigen Strahl, der AC und BC in M und N schneiden mag; dann ist D= AN × BM ein Punkt des Kegelschnittes (Fig. 195). Denn die Büschel A(P, B, C, D) und B(P, A, D, C) sind perspektiv, also sind die Büschel A(P,B,C,D) projektiv, wie es für den gesuchten Kegelschnitt Ist L = AB X CD, so ist ▲ LMN ein Polardreieck und die Tangenten in A, B, C, D schneiden sich paarweise auf seinen Seiten (vergl. 296).

und B (A, P, C, D) sein muß (294).

304. Fünf Gerade einer Ebene, von denen keine drei durch einen Punkt gehen, bestimmen einen Kegel

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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schnitt, der sie berührt. Die auf zwei von den gegebenen Geraden, a und b, durch die übrigen c, d, e ausgeschnittenen Punkte

P

B

A

bestimmen nämlich zwei projektive Punktreihen, und diese erzeugen einen die fünf Geraden berührenden Kegelschnitt. Ist f irgend eine von seinen weiteren Tangenten (Fig. 196), so sind die von c, d, e, f,... auf a und b ausgeschnittenen Punktreihen (C1, D1, E1, F1,...) und (C2, D, E, F2, ...) projektiv und folglich die Strahlbüschel P1 (C1, D1, E1, F1,...) und P2 (C2, D2, E2, F2, . . .) =cX e ist. Demnach liegt der Geraden D2E. Man erhält also jedesmal eine Tangente des Kegelschnittes, indem man von P1 und P2

LY

Fig. 195.

perspektiv, wo P1 = cxd und P2

Punkt PF XPF2 = F auf der

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2

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2

1

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von den sechs Seiten afbdce in der angeführten Reihenfolge gebildeten Sechseck sind axf= F1 und dxc= P1, ferner fx b= F und c xe = endlich b x d = D2 und e x a = E, drei Paar Gegenecken, deren Verbindungslinien durch den nämlichen Punkt F gehen.

P25

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