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rallelogrammes PQRS berühre. Es werden dann die Diagonalen AC und BB des ersteren den Seiten des letzteren parallel, wie aus dem Satze in 276 folgt.

Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel

und Punktreihen.

293. Schon in 264 und 265 wurde gezeigt, daß die Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel und durch projektive Punktreihen erzeugt werden können. Dort wurden zuerst die gleichen Eigenschaften für den Kreis nachgewiesen und dann auf die Kegelschnitte, als Bilder des Kreises, übertragen. Hier nun sollen die projektiven Strahlbüschel und Punktreihen den Ausgangspunkt bilden, und wir wollen die Kurven studieren, die durch solche Strahlbüschel und Punktreihen erzeugt werden können. Dabei werden wir von den seither gewonnenen Resultaten keinen Gebrauch machen, sondern lediglich die Eigenschaften der Kurven aus ihrer Erzeugungsweise ableiten. An die Spitze stellen wir die Definition:

Zwei projektive Strahlbüschel erzeugen einen Kegelschnitt als Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen. Diese Definition deckt sich zunächst nicht mit der in 258 aufgestellten Definition; doch haben wir nachgewiesen, daß die perspektiven Bilder des Kreises als Erzeugnisse von projektiven Strahlbüscheln erhalten werden können. Es erübrigt noch zu zeigen, daß sich die hier definierten Kegelschnitte auch stets als perspektive Bilder eines Kreises gewinnen lassen; daraus folgt dann die Identität beider Definitionen, der jetzigen und der früheren. Der hier geforderte Beweis findet sich gegen Ende dieses Abschnittes in 307 u. 308, da die zunächst folgenden Untersuchungen von der früheren Definition keinen Gebrauch machen und nur die neue Definition zur Grundlage haben.

294. Sind a und ax, b und bx, c und cx, . .. entsprechende Strahlen zweier projektiver Strahlbüschel mit den Scheiteln S und Tv so wird der Verbindungslinie STx der beiden Scheitel, betrachtet als Strahl t des ersten Büschels, ein Strahl tx im zweiten und, betrachtet als Strahl sx des zweiten Büschels, ein Strahl s im ersten entsprechen (Fig. 191). Dann gehören dem Kegelschnitt die Punkte A = a x av B = b x bv C = c x cv B = d x a\, S = s x sv Tx = t x tx an. Auf jedem Strahle durch S liegen zwei Punkte des Kegelschnittes, nämlich der Punkt S und der Schnittpunkt dieses Strahles mit dem entsprechenden des zweiten Büschels. Für den Strahl s fallen beide Punkte zusammen, so daß s zwei zusammenfallende Punkte mit dem Kegelschnitt gemein hat, also ihn in S berührt. Der Kegelschnitt geht durch die Scheitel der beiden projektiven Strahlbüschel. Der Verbindungslinie der beiden Scheitel (t oder Sj) in dem einen Büschel entspricht die Tangente (fj oder s) des Kegelschnittes im andern.

295. Je zwei beliebige Punkte eines Kegelschnittes können als Scheitel projektiver Strahlbüschel dienen, welche ihn erzeugen. Wir nehmen an, der Kegelschnitt sei durch zwei projektive Büschel mit den Scheiteln S und T erzeugt worden, und Q, P, Pv P2,. . . seien irgend welche Punkte desselben (Fig. 192). Dann sind also die Strahlbüschel S{STQPPxP2 . . .) und T{STPPxP2 . . .) projektiv. Dabei bedeuten die vor der Klammer stehenden Buchstaben S und T die Scheitel der Büschel und die in der Klammer stehenden Buchstaben die einzelnen Punkte, durch welche ihre Strahlen gehen. Insbesondere bedeutet SS den in S tangierenden Strahl des ersten und TT den in T tangierenden Strahl des zweiten Büschels. Sind aber die vier Strahlen S(STQP) projektiv zu den vier Strahlen T(STQP), so sind sie nach 190 auch projektiv zu den Strahlen T(TSPQ). Die erst- und letztgenannten Strahlen liegen sogar perspektiv. da sie den Strahl ST entsprechend gemein haben; folglich liegen SS x TT= U,SQxTP=Z und SPxTQ = M in gerader Linie. Läßt man S, T, Q ungeändert, verändert aber die Lage von P in Pv so liegen U, SQ x TPx = Zx und SPx x TQ = Mx in gerader Linie u. s. f.

Die vier Geraden SP, SQ, TP, TQ bilden die Seiten eines Vier

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seits, dessen Diagonalen LM, PQ und ST sind; deshalb werden S und T durch N und J'= ST x -£-3f harmonisch geteilt. In gleicher Weise teilen Nx und Jx = ST x LxMx die Strecke /W harmonisch u. s. f. Nun ist der Büschel S{P,PvP2,...) perspektiv zur Reihe [M,Mv M2,...); diese Reihe ist von U aus perspektiv zur Reihe (/, Jv J2, . . .) und diese letztere endlich ist nach 223 involutorisch zur Reihe (JV, NvN2,...), d. h. die beiden letztgenannten Reihen sind projektiv, nur ist das Entsprechen ihrer Punkte ein vertauschbares. Somit sind auch die Büschel S(P, Pv P2, . . .) und Q[N, Nv Nv . . .) oder Q(P, Pv P2, . . .) projektiv; unser Kegelschnitt kann also auch durch diese beiden projektiven Strahlbüschel erzeugt werden.

296. Schreibt man einem Kegelschnitt ein Viereck ABCB ein und in den nämlichen Punkten ein Vierseit PQRS um (Fig. 182), so sind nach dem letzten Satz die vier Strahlbüschel mit den Scheiteln

A, B, C, B, deren entsprechende Strahlen sich in Punkten des Kegelschnittes schneiden, projektiv. So sind die vier Strahlen A (A,

B, C, B) projektiv zu B (A, B, C, D), zu C {A, B, C, B) und zu B (A, B, C, B); wenn AA, BB, . . wieder als Verbindungslinien zweier zusammenfallender Kurvenpunkte die Tangenten in den bezüglichen Punkten bedeuten. Nach 190 sind auch die Büschel A (A, B, C, B) und B (B, A, B, C) projektiv und, da AB ein entsprechend gemeinsamer Strahl ist, sind sie perspektiv, also liegen P, M und N in gerader Linie. Aus der Perspektivität von C (A, B, C, B) und B (B, A, B, C) folgt, daß R, M und N in gerader Linie liegen. In gleicher Weise folgt aus der Perspektivität von A (A, B, C, B) und C (C, B, A, B) die geradlinige Lage der Punkte U, L und N, u. s. f. Wir gelangen so wiederum zu dem Satze (266): Schreibt man einem Kegelschnitt in den nämlichen vier beliebig gewählten Punkten ein vollständiges Viereck ein und ein Vierseit um, so verbinden die Diagonalen des letzteren die Diagonalpunkte des ersteren.

297. Hieran kann nun wieder, ganz wie im vorigen Abschnitt, die Theorie von Pol und Polare angeknüpft und entwickelt werden, so daß wir hier davon absehen können. Dagegen wollen wir die Figur des dem Kegelschnitte umgeschriebenen Vierseits benutzen, um seine Erzeugung durch projektive Punktreihen darzuthun. Seien A, B, C irgend welche feste Punkte eines Kegelschnittes und AP PQ, QC die zugehörigen Tangenten, während wir einem weiteren Punkte B verschiedene Lagen B, Bv B2, . . . auf dem Kegelschnitt erteilen (Fig. 193). Die Tangenten in diesen Punkten schneiden auf PA eine Punktreihe S, Sv S2, ... und auf QC eine Punktreihe R, Rv R2, . . . aus; beide Reihen sind unter sich und mit dem Strahlbüschel B (B, Bx, B2, ... ) projektiv. Denn nach dem vorausgehenden Satze schneiden sich PR, QS, BB und AC in einem Punkte M, ebenso PRv QSv BBx und AC in einem Punkte Mv u. s. f. Die Punkte M, Mx, M2, . . . bilden eine auf AC liegende Punktreihe, die somit von P aus gesehen mit der Reihe R, Rx, Rv .. . auf QC und von Q aus gesehen mit der Reihe S, Sv S2, . . . auf PA perspektiv liegt; zugleich gehen die Strahlen des Büschels B [B, BJ, B.2, ... ) durch die bezüglichen Punkte jener Reihe. Alle diese Reihen und Büschel sind projektiv. Daher der Satz: Legt man an einen Kegelschnitt eine Anzahl Tangenten, so schneiden sie auf irgend zwei festen Tangenten projektive d. h. von den Verbindungslinien entsprechender Punkte umhüllt wird, läßt sich auch durch projektiveStrahlbüschelerzeugen, ist also ein Kegelschnitt.

Punktreihen erzeugt werden, d. h. die Verbindungslinien entsprechender Punkte umhüllen ihn. Insbesondere ist aus Fig. 193 und den voranstehenden Betrachtungen klar, daß der Kegelschnitt die Träger beider Punktreihen berührt und zwar in den Punkten, die ihrem Schnittpunkt (aufgefaßt als Punkt der einen Reihe, in der andern Reihe) entsprechen. Bewegt sich z. B. die Tangente R^ so, daß Rx auf QC nach U rückt, so rückt Äj auf PA in den Berührungspunkt A, der somit dem Punkt U entspricht.

299. Von dem letzten Satze gilt auch die Umkehrung: Jede Kurve, die von zwei projektiven Punktreihen erzeugt wird,

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Zum Beweise dieses Satzes werden wir zunächst noch einige andere Eigenschaften unserer Kurve ableiten. In Fig. 193 seien PU und QU die Träger der projektiven Punktreihen R, Rv R2, . . . und S, Sv S2, . . .; insbesondere mag dem Punkt U der ersten Reihe der Punkt A der zweiten und dem Punkt U der zweiten der Punkt C der ersten Reihe entsprechen. Die Träger berühren die Kurve als Verbindungslinien UA und CU von entsprechenden Punkten. Während aber durch R zwei Tangenten RQ und RS gehen, fallen sie für C — und ebenso für A — zusammen, d. h. A und C sind die Berührungspunkte der Träger. Ist dann QP irgend eine Tangente, welche beide Träger in den entsprechenden Punkten Q und P schneidet, so ist (UCQR) projektiv zu (AUPS) und nach 190 auch projektiv zu (UASP). Die erste und letzte Reihe sind aber perspektiv, es schneiden sich also AC, QS und PR in einem Punkte M. Ganz ebenso schneiden sich AC, QSx und PRx in einem Punkte Mx u. s. f. Die Strahlbüschel P {R, Rx, R2, . . . ) und Q [S, Sv S2 ... ) sind perspektiv, sie liefern auf AC die nämliche Punktreihe [M, Mv M2, ...).

In dem Viereck PQRS sind U, M und 7'= PQ x RS die Diagonalpunkte, so daß nach 203 die Träger UP und UQ durch die Strahlen UM und UT harmonisch geteilt werden. In gleicher Weise trennen auch die Strahlen UMx und UT^ die beiden Träger harmonisch, wie sich aus dem Viereck PQRASx ergiebt, u. s. f. Nach 223 bilden somit UM und UT, UMX und UTv UM2 und UT2, ... die Strahlenpaare einer Involution, deren Doppelstrahlen die beiden Träger sind. Demnach sind U (M, Mv M2, . . . ) und U {T, Tv T2, . . . ) projektive Strahlbüschel, deren Strahlen sich vertauschbar entsprechen. Die Punktreihe (M, Mv M2, . . . ) auf AC ist folglich projektiv zur Punktreihe {T, Tx, T2, . . . ) auf PQ, und da die erstere zu den Reihen R, Rv R2, . . . ) und (S, Sv S2, . . . ) perspektiv ist, haben wir den Satz: Die Tangenten unserer Kurve schneiden auf jeder einzelnen Tangente und auf den gegebenen Trägern projektive Punktreihen aus. So sind also je zwei Tangenten unserer Kurve Träger projektiver Punktreihen, welche dieselbe erzeugen.

300. Sind B und I) die Berührungspunkte der Tangenten PQ und RS, so ist nach diesem Satze die Reihe [T, B, P, Q) projektiv zur Reihe (J), T, S, R) und nach 190 auch projektiv zur Reihe {T, B, R, S); es schneiden sich also BB, PR und QS in einem Punkte.

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