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enthält. Jedes Paar konjugierter Durchmesser bildet mit der unendlich fernen Geraden zusammen ein Polardreieck, dessen eine Ecke im Mittelpunkt des Kegelschnittes liegt. Bei der Centralprojektion des Kreises gehen nämlich alle Polardreiecke, deren eine Seite mit der Verschwindungslinie und deren eine Ecke mit ihrem Pol zusammenfällt, in die vorher erwähnten Polardreiecke des Kegelschnittes über. Es folgen hieraus noch weiter die Sätze: Von zwei konjugierten Durchmessern halbiert jeder die zum andern parallelen Sehnen. Die Tangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind zum konjugierten Durchmesser parallel. Konjugierte Durchmesser eines Kreises sind zu einander rechtwinklig.

289. Zu irgend einem Durchmesser der Parabel ist als konjugierter stets die unendlich ferne Gerade zu rechnen, so daß man hier eigentlich nicht von konjugierten Durchmessern reden kann. Beim Kreise, dessen Bild die Parabel ist, entsprehen den Parabeldurchmessern alle Kreissehnen, die durch den nämlichen Punkt des Kreises gehen, in dem er von der Verschwindungslinie berührt wird. Zu allen Sehnen durch den nämlichen Punkt eines Kreises ist aber die Tangente in diesem Punkte eine konjugierte Polare; dagegen können zwei derartige Sehnen nicht konjugierte Polaren sein, da nicht eine den Pol der andern enthalten kann.

Jeder Parabeldurchmesser halbiert ein System paralleler Sehnen, zu dem auch die Tangente in seinem Endpunkte parallel ist. Auch die Parabelsehnen, die zu der Richtung aller Durchmesser senkrecht stehen, werden von einem bestimmten Durchmesser halbiert. Die Parabel besitzt eine Symmetrielinie oder Achse, die alle zu ihr normalen Sehnen halbiert. Der Endpunkt der Achse heißt Scheitel, die zugehörige Tangente ist normal zur Achse.

290. Die Paare konjugierter Durchmesser eines Kegelschnittes bilden an seinem Mittelpunkte eine Involution; denn sie sind harmonische Polaren (282, 288).

Bei der Ellipse hat die Involution der konjugierten Durchmesser keine Doppelstrahlen. Dagegen hat diese Involution bei der Hyperbel Doppelstrahlen; es sind die vom Mittelpunkt an die Hyperbel gelegten Tangenten oder Asymptoten (282). Jedes Paar konjugierter Durchmesser der Hyperbel liegt zu ihren Asymptoten harmonisch.

291. Unter den konjugierten Durchmessern einer Ellipse oder Hyperbel giebt es stets zwei zu einander rechtwinklige; sie heißen Achsen und ihre Endpunkte die

Scheitel. Die Achsen sind Symmetrielinien des Kegelschnittes (vergl. 230).

Die Achsen der Ellipse endigen in vier Scheiteln. Die Achsen der Hyperbel halbieren die Winkel zwischen ihren Asymptoten; die eine trägt die beiden Scheitel der Hyperbel, die andere ist unbegrenzt.

Von der Konstruktion der Achsen wird weiterhin noch die Rede sein.

292. Nach Früherem (276) erhält man ein Polardreieck eines Kegelschnittes entweder als Diagonaldreieck eines eingeschriebenen Vierecks, oder als Diagonaldreieck eines umgeschriebenen Vierseits.

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Geht nun das Viereck oder Vierseit in ein Parallelogramm über, so erhält das von ihm abhängige Polardreieck eine unendlich ferne Seite und die beiden andern werden zu konjugierten Durchmessern des Kegelschnittes. Hieraus folgen die Sätze:

Die Diagonalen eines dem Kegelschnitte einbeschriebenen Parallelogrammes schneiden sich im Mittelpunkte; seine Seiten geben die Richtungen konjugierter Durchmesser an. Die Diagonalen eines dem Kegelschnitte umschriebenen Parallelogrammes sind konjugierte Durch

messer.

In den Figg. 189 und 190 sind diese beiden Sätze veranschaulicht unter der Annahme, daß das umschriebene Parallelogramm ABCD den Kegelschnitt in den Ecken des eingeschriebenen Pa

rallelogrammes PQRS berühre. Es werden dann die Diagonalen AC und BD des ersteren den Seiten des letzteren parallel, wie aus dem Satze in 276 folgt.

Die Erzeugung der Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel und Punktreihen.

293. Schon in 264 und 265 wurde gezeigt, daß die Kegelschnitte durch projektive Strahlbüschel und durch projektive Punktreihen erzeugt werden können. Dort wurden zuerst die gleichen Eigenschaften für den Kreis nachgewiesen und dann auf die Kegelschnitte, als Bilder des Kreises, übertragen. Hier nun sollen die projektiven Strahlbüschel und Punktreihen den Ausgangspunkt bilden, und wir wollen die Kurven studieren, die durch solche Strahlbüschel und Punktreihen erzeugt werden können. Dabei werden wir von den seither gewonnenen Resultaten keinen Gebrauch machen, sondern lediglich die Eigenschaften der Kurven aus ihrer Erzeugungsweise ableiten. An die Spitze stellen wir die Definition:

Zwei projektive Strahlbüschel erzeugen einen Kegelschnitt als Ort der Schnittpunkte entsprechender Strahlen. Diese Definition deckt sich zunächst nicht mit der in 258 aufgestellten Definition; doch haben wir nachgewiesen, daß die perspektiven Bilder des Kreises als Erzeugnisse von projektiven Strahlbüscheln erhalten werden können. Es erübrigt noch zu zeigen, daß sich die hier definierten Kegelschnitte auch stets als perspektive Bilder eines Kreises gewinnen lassen; daraus folgt dann die Identität beider Definitionen, der jetzigen und der früheren. Der hier geforderte Beweis findet sich gegen Ende dieses Abschnittes in 307 u. 308, da die zunächst folgenden Untersuchungen von der früheren Definition keinen Gebrauch machen und nur die neue Definition zur Grundlage haben.

294. Sind a und a, b und b, c und c,, ... entsprechende Strahlen zweier projektiver Strahlbüschel mit den Scheiteln S und T1, so wird der Verbindungslinie ST, der beiden Scheitel, betrachtet als Strahlt des ersten Büschels, ein Strahl t, im zweiten und, betrachtet als Strahl $1 des zweiten Büschels, ein Strahl s im ersten entsprechen (Fig. 191). Dann gehören dem Kegelschnitt die Punkte A = a × α1, B = bx b1, C = c × c1, D = d x d1, S = s × s1, T1 = t × t1 an. Auf jedem Strahle durch S liegen zwei Punkte des Kegelschnittes, nämlich der Punkt 8 und der Schnittpunkt dieses Strahles mit dem entsprechenden des zweiten Büschels. Für den Strahl s fallen beide Punkte zusammen, so daß s zwei zusammenfallende Punkte mit dem

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Kegelschnitt gemein hat, also ihn in S berührt. Der Kegelschnitt geht durch die Scheitel der beiden projektiven Strahlbüschel. Der Verbindungslinie der beiden Scheitel (t oder s1) in dem einen Büschel entspricht die Tangente (t oder s) des Kegelschnittes im andern.

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295. Je zwei beliebige Punkte eines Kegelschnittes können als Scheitel projektiver Strahlbüschel dienen, welche ihn erzeugen. Wir nehmen an, der Kegelschnitt sei durch zwei projektive Büschel mit den Scheiteln S und T erzeugt worden, und Q, P, P1, P2, ... seien irgend welche Punkte desselben (Fig. 192). Dann sind also die Strahlbüschel S(STQPP ̧P2 ...) und T(STPP P2...) projektiv. Dabei bedeuten die vor der Klammer stehenden Buchstaben S und T die Scheitel der Büschel und die in der Klammer stehenden Buchstaben die einzelnen Punkte, durch welche ihre Strahlen gehen. Insbesondere bedeutet SS den in S tangierenden Strahl des ersten und TT den in 7 tangierenden Strahl des zweiten Büschels. Sind aber die vier Strahlen S(STQP) projektiv zu den vier Strahlen T(STQP), so sind sie nach 190 auch projektiv zu den Strahlen T(TSPQ). Die erst- und letztgenannten Strahlen liegen sogar perspektiv, da sie den Strahl ST entsprechend gemein haben; folglich liegen. SS × TT = U, SQ × TP = L und SP × TQ = M in gerader Linie. Läßt man S, T, Q ungeändert, verändert aber die Lage von P in P1, so liegen U, SQ × TP1 = L1 und SP1 × TQ = M1 in gerader Linie u. s. f. Die vier Geraden SP, SQ, TP, TQ bilden die Seiten eines Vier

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seits, dessen Diagonalen LM, PQ und ST sind; deshalb werden S und T durch N und J STX LM harmonisch geteilt. In gleicher Weise teilen N1 und J STX LM, die Strecke ST harmonisch u. s. f. Nun ist der Büschel S (P, P1, P2,...) perspektiv zur Reihe (M, M1, M„, . . .); diese Reihe ist von U aus perspektiv zur Reihe (J, J, J, . . .) und diese letztere endlich ist nach 223 involutorisch zur Reihe (N, N,N, ·), d. h. die beiden letztgenannten Reihen sind projektiv, nur ist das Entsprechen ihrer Punkte ein vertauschbares. Somit sind auch die. Büschel S(P, P1, P2, ...) und Q (N, N1, N2, ...) oder Q(P, P1, P2, . . .) projektiv; unser Kegelschnitt kann also auch durch diese beiden projektiven Strahlbüschel erzeugt werden.

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296. Schreibt man einem Kegelschnitt ein Viereck ABCD ein und in den nämlichen Punkten ein Vierseit PQRS um (Fig. 182), so sind nach dem letzten Satz die vier Strahlbüschel mit den Scheiteln A, B, C, D, deren entsprechende Strahlen sich in Punkten des Kegelschnittes schneiden, projektiv. So sind die vier Strahlen A (4, B, C, D) projektiv zu B (A, B, C, D), zu C (A, B, C, D) und zu D (A, B, C, D); wenn AA, BB, .. wieder als Verbindungslinien zweier zusammenfallender Kurvenpunkte die Tangenten in den bezüglichen Punkten bedeuten. Nach 190 sind auch die Büschel A (A, B, C, D) und B (B, A, D, C) projektiv und, da AB ein entsprechend gemeinsamer Strahl ist, sind sie perspektiv, also liegen P, M und N in gerader Linie. Aus der Perspektivität von C (A, B, C, D) und D (B, A, D, C) folgt, daß R, M und N in gerader Linie liegen. In gleicher Weise folgt aus der Perspektivität von A (A, B, C, D) und C (C, D, A, B) die geradlinige Lage der Punkte U, L und N, u. s. f. Wir gelangen so wiederum zu dem Satze (266): Schreibt man einem Kegelschnitt in den nämlichen vier beliebig gewählten Punkten ein vollständiges Viereck ein und ein Vierseit um, so verbinden die Diagonalen des letzteren die Diagonalpunkte des ersteren.

297. Hieran kann nun wieder, ganz wie im vorigen Abschnitt, die Theorie von Pol und Polare angeknüpft und entwickelt werden, so daß wir hier davon absehen können. Dagegen wollen wir die Figur des dem Kegelschnitte umgeschriebenen Vierseits benutzen, um seine Erzeugung durch projektive Punktreihen darzuthun. Seien A, B, C irgend welche feste Punkte eines Kegelschnittes und AP PQ, QC die zugehörigen Tangenten, während wir einem weiteren Punkte D verschiedene Lagen D, D1, D2, ... auf dem Kegelschnitt erteilen (Fig. 193). Die Tangenten in diesen Punkten schneiden auf PA eine Punktreihe S, S1, S2, ... und auf QC eine Punktreihe

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