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in seinen verschiedenen Lagen, die wir mit L, L1, L2,... be. zeichnen, führen wir folgendermaßen aus (Fig. 184). Durch M legen wir irgend eine Sehne AC, die wir für alle Konstruktionen festhalten. Die Geraden LA und LC schneiden den Kegelschnitt noch in je einem Punkte D resp. B. Nach 275a liegen dann die Punkte AC X BD und AB X CD auf der Polare 7 von L. Da aber durch den Punkt M von AC geht, so schneiden sich AC und BD in M,

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N2o

1

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i

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B1D1 erscheint. Wir können uns noch weitere Polaren konstruiert denken, dabei wird allgemein die Polare von L als Verbindungslinie der Punkte M und N. AB, × CD, erhalten. Auf der Geraden m befinden sich nun zwei projektive Punktreihen (L, L1, L2, . . .) und (Ñ, Ñ1, ). Denn zieht man von C aus Strahlen nach den Punkten der ersten Reihe und von A aus Strahlen nach denen der zweiten, so erhält man zwei Strahlbüschel, deren Scheitel auf dem Kegelschnitt liegen und deren entsprechende Strahlen sich in Punkten B, B1, B, ... desselben schneiden. Solche Büschel sind aber nach 264 projektiv. Aus der Projektivität der Reihen können wir sofort schließen, daß auch die Punktreihe (L, L1, L,...) und der Strahlbüschel M (N, N1, N2, . . .) projektiv sind, w. z. b. w.

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282. Die beiden Punktreihen (L, L1, L1⁄2, ) und (N, N1, N2,. ) sind indessen nicht nur projektiv, sondern sogar involutorisch. Um dies zu beweisen, haben wir nach 220 nur zu zeigen, daß dem Punkte N als einem Punkt der ersten Reihe in der zweiten Reihe wiederum der Punkt L entspricht. Von einem Punkte L der ersten Reihe gelangt man aber zu dem entsprechenden N in der zweiten, indem man L, mit C verbindet, diese Gerade mit dem Kegelschnitt in B schneidet; dann liegt N, auf der Verbindungslinie von B, mit A. Fällt L, mit N zusammen, so rückt

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B nach D und DA schneidet auf m den entsprechenden Punkt N; aus, der sich also mit Z deckt. Die Punktepaare LN, L ̧Ñ1, L1⁄2Ñ1⁄2, sind harmonische Pole in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt. Das giebt den Satz: Auf einer jeden Geraden bilden die Paare harmonischer Pole eine Involution. Schneidet die Gerade den Kegelschnitt, so sind ihre Schnittpunkte die Doppelpunkte der Involution. Das letztere ist ohne weiteres klar, da diese Schnittpunkte zu jedem Paar harmonischer Pole harmonisch liegen (223).

...

Betrachtet man in Fig. 184 die harmonischen Polaren durch den Punkt M, so erkennt man sofort, daß sie involutorische Strahlbüschel bilden, da sie die Gerade m in den Punktepaaren LN, L1N, L2N2 einer Involution schneiden. Alle durch einen Punkt gehenden Geraden ordnen sich in Bezug auf einen Kegelschnitt in Paare harmonischer Polaren zusammen und diese bilden eine Involution. Kann man von dem Punkt aus Tangenten an denselben legen, so sind sie die Doppelstrahlen der Involution.

283. Aus der Fig. 184 können wir noch weitere Schlüsse ziehen. Indem wir von den einzelnen Punkten des Kegelschnittes aus Strahlenpaare nach den festen Punkten A und C ziehen, schneiden diese auf der Geraden m die Punktepaare einer Involution aus, welche harmonische Pole bilden. Dabei ist nur die Voraussetzung gemacht, daß AC durch den Pol M von m geht, daß also m und AC harmonische Polaren sind. Die Verbindungslinien beliebiger Punkte B, B1,,.. eines Kegelschnittes mit zwei festen Punkten und C desselben schneiden jede Gerade m, die harmonische Polare zu AC ist, in harmonischen Polen L und N, L1 und N1,

284. Die Resultate der letzten Nummern haben wir aus der Fig. 184 mit Hilfe des eingeschriebenen Vierecks abgeleitet. Wir können sie aber auch aus den Eigenschaften des umgeschriebenen Vierseits gewinnen (Fig. 185). Lassen wir hier den Punkt M und somit auch seine Polare m ungeändert und halten ferner den Punkt U und die durch ihn gehenden Seiten a und c des Vierseits fest, während wir dem Punkte T verschiedene Lagen T, T1, T2, ... auf m erteilen. Dann nehmen auch die Seiten b und d des Vierseits verschiedene Lagen an und ebenso seine Diagonalen = PR und QS. Doch gehen diese letzteren in allen ihren Lagen 7 und n, und n1, la und durch den Punkt M und bilden harmonische n2 Polaren. Man erhält je zwei harmonische Polaren durch M dadurch,

n =

daß man die festen Tangenten a und c mit einer beliebigen weiteren Tangente, etwa b, schneidet und die Schnittpunkte P und Q mit M verbindet. Da verschiedene Tangenten b, b1, bq,

projektive Reihen P, P1, P2, und Q, Q1, Q2,

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auf a und c ausschneiden,

so sind auch die Strahlbüschel M(P, P1, P2, ...) und M(Q, Q1, Q12...)

2'

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=

projektiv und sogar involutorisch. Denn dem Punkt & der ersten Reihe entspricht der Punkt R der zweiten; die Strahlen MP – MR und MQ MS entsprechen sich also vertauschbar. Hiermit sind aber die Sätze in 281 und 282 aufs neue bewiesen. Auch erkennen wir aus diesen Darlegungen den Satz: Die Schnittpunkte be

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IC
Fig. 186.

B

liebiger Tangenten eines Kegelschnittes mit zwei festen Tangenten a und c desselben liefern mit irgend einem Punkt M, der harmonischer Pol zu Uax c ist, verbunden harmonische Polaren und n, 4 und n1,

...

285. Der Mittelpunkt und der unendlich ferne Punkt auf jeder Sehne eines Kegelschnittes sind harmonische Pole. Hieraus folgt:

Die Mittelpunkte paralleler Sehnen eines Kegelschnittes liegen auf einer Geraden, der Polare ihres unendlich fernen Punktes (ihrer Richtung); dieselbe heißt ein Durchmesser des Kegelschnittes.

Der Durchmesser enthält die Pole aller der gedachten Sehnen, insbesondere also die Berührungspunkte der zu ihnen parallelen Tangenten des Kegelschnittes (Figg. 186, 187, 188).

Liegt die Kurve gezeichnet vor, so wird ein Durchmesser AB mit Hilfe zweier paralleler Sehnen PQ und RS konstruiert, indem man ihre Endpunkte wechselseitig verbindet und den Durchmesser durch die Punkte U= PR X QS und PSX QR legt.

=

286. Alle Durchmes

ser eines Kegelschnittes

Fig. 187.

gehen als Polaren unendlich ferner Punkte durch den Pol der unendlich fernen Geraden; dieser heißt Mittelpunkt des Kegelschnittes. Man übersieht diese Verhältnisse am besten, wenn man sich vom Kegel

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Ellipse liegt in ihrem Innern, weil sie von der unendlich fernen

Geraden nicht getroffen wird.

Für die Hyperbel ist der Mittelpunkt ein äußerer Punkt, denn es giebt von ihm aus zwei Tangenten. Ihre Berührungspunkte sind die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Polare des Mittelpunktes, d. h. mit der unendlich fernen Geraden. Die Hyperbel besitzt ja zwei unendlich ferne Punkte und die Tangenten in diesen Punkten, die Asymptoten, schneiden sich im Mittelpunkte (vergl. 261).

Der Mittelpunkt der Parabel fällt mit ihrem unendlich fernen Punkte zusammen, weil dieser als Berührungspunkt der unendlich fernen Geraden zugleich deren Pol ist. Man erkennt dies auch sofort daraus, daß die Parabel als perspektives Bild eines Kreises erhalten wird, wenn die Verschwindungslinie den Kreis berührt; der Pol der Verschwindungslinie bezüglich des Kreises ist dann eben ihr Berührungspunkt. Die Parabeldurchmesser sind sämtlich nach dem unendlich fernen Punkt der Parabel gerichtet, also unter sich parallel. Bei der Parabel sagt man auch, sie habe keinen Mittelpunkt, da er ja nicht mehr im Endlichen liegt und also die Durchmesser nicht mehr halbiert (vergl. 287).

287. Ein Durchmesser schneidet entweder den Kegelschnitt und wird dann durch die Schnittpunkte begrenzt (reeller Durchmesser), oder er trifft den Kegelschnitt nicht und ist unbegrenzt (imaginärer Durchmesser). Im ersten Falle ist sein unendlich ferner Pol ein äußerer, im zweiten ein innerer Punkt des Kegelschnittes (vergl. 280).

Die Durchmesser der Ellipse sind sämtlich begrenzt, weil die unendlich fernen Punkte ihrer Ebene alle außerhalb der Kurve liegen.

Unter den Durchmessern der Hyperbel giebt es begrenzte und unbegrenzte, weil die Punkte der unendlich fernen Geraden durch die unendlich fernen Punkte der Hyperbel in äußere und innere Punkte geschieden werden. Zwischen beiden Arten von Durchmessern bilden die Asymptoten den Übergang.

Bei der Ellipse und Hyperbel werden die begrenzten Durchmesser vom Mittelpunkt der Kurve halbiert; denn die Endpunkte eines jeden Durchmessers werden vom Mittelpunkt und seiner Polare, der unendlich fernen Geraden, harmonisch geteilt.

Die Durchmesser der Parabel sind einerseits durch einen Punkt im Endlichen begrenzt und erstrecken sich andererseits bis zu ihrem unendlich fernen Punkte.

Alle hier erwähnten Eigenschaften ergeben sich auch aus den Polareigenschaften des Kreises durch perspektive Abbildung.

288. Zwei Durchmesser eines Kegelschnittes heißen konjugiert, wenn jeder den unendlich fernen Pol des andern

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