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266 durch Spezialisierung ableiten. Läßt man von dem umgeschriebenen Sechsseit die erste Seite mit der zweiten und ebenso die vierte mit der fünften zusammenfallen, so erhält man ein umgeschriebenes Vierseit, und der Brianchon'sche Satz sagt aus, daß sich bei diesem die beiden Diagonalen und die Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier Gegenseiten in einem Punkte schneiden. Durch mehrmalige Anwendung ergeben sich wieder die Eigenschaften der Fig. 174.

Sind endlich bei dem umgeschriebenen Sechsseit die erste und zweite, die dritte und vierte, die fünfte und sechste Seite zusammengerückt, so wird aus demselben ein umgeschriebenes Dreiseit und aus seinen sechs Ecken gehen die Ecken und Berührungspunkte des Dreiseits hervor. In Fig. 179 sind dies der Reihe nach die Punkte ARBPCQ, so daß sich AP, BQ und CR in einem Punkte M schneiden. Schreibt man einem Kegelschnitt ein Dreiseit um, so schneiden sich die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten seiner Gegenseiten in einem Punkte.

274. Es mag noch darauf hingewiesen werden, daß die Sätze von Pascal und Brianchon und die daraus abgeleiteten Sätze beim Kreise für besondere Lagen der Punkte oder Tangenten unmittelbar einleuchtend sind, und daß daraus auch die Richtigkeit der Sätze bei allgemeiner Lage geschlossen werden kann. Schreibt man z. B. dem Kreise ein gleichseitiges Dreieck um, so gehen die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten (Mittelpunkten) der gegenüberliegenden Seiten durch den Kreismittelpunkt. Nach 255 kann aber der Kreis so in einen andern Kreis perspektiv abgebildet werden, daß die Berührungspunkte des gleichseitigen Dreiecks in drei beliebige Punkte des zweiten Kreises übergehen. Damit gilt dann der Satz für jedes einem Kreise umgeschriebene Dreiseit.

Ferner kann nach 253 ein Kreis so in einen andern Kreis abgebildet werden, daß dabei das Bild einer vorgegebenen Geraden — die allerdings den Kreis nicht schneiden darf-ins Unendliche rückt. Dadurch geht z. B. die Fig. 174 in die Fig. 181 über, wenn dabei das Bild von m = NL un

N

P

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endlich fern wird. Das eingeschriebene Viereck wird hier zum Rechteck und die Wahrheit des Satzes in 266 ist in die Augen springend. Auch das einem Kreise um- oder einbeschriebene Sechseck kann man durch Perspektive in besondere Formen bringen, für welche die angeführten Sätze sich leicht erweisen lassen, doch soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

Pol und Polare eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser und Achsen.

275. In 238 wurden die Haupteigenschaften von Pol und Polare abgeleitet, indem wir sie als Centrum und Achse einer ebenen Perspektive ansahen, die den Kreis in sich selbst abbildet. Hier sollen diese Eigenschaften nochmals nachgewiesen werden und zwar gestützt auf den Satz vom Viereck und Vierseit, die einem Kegelschnitt in den nämlichen vier Punkten ein- und umgeschrieben

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sind. In Fig. 182 sind ABCD die vier Punkte auf dem Kegelschnitt. PR, QS und TU sind die drei Diagonalen des umgeschriebenen Vierseits ; sie bilden ein Dreieck, dessen Ecken L, Mund N zugleich die Diagonalpunkte des eingeschriebenen Vierecks sind. Nach 203 werden auf jeder Seite eines vollständigen Vierecks die beiden Ecken durch einen Diagonalpunkt und den Schnittpunkt mit der Verbindungslinie der beiden andern harmonisch getrennt. So teilen I und J = AB × MN die Sehne AB, ferner L und H= CD x MN die Sehne CD harmonisch. Auf der Geraden MN liegen noch die vier weiteren Punkte P,

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R, H, J. Durch zwei von ihnen, etwa P und J, ist diese Gerade bestimmt. Die Wahl des Punktes L und der Sehne AB durch L genügt aber, um P als Schnitt der Tangenten in A und B, sowie J als vierten harmonischen Punkt zu AB und L zu konstruieren. Hält man also den Punkt Z und die eine Sehne durch ihn, nämlich AB, fest, während man die andere Sehne CD sich um L drehen läßt, so bewegen sich zwar auch die Punkte H, R, M und N auf der Geraden PJ, die Lage der Geraden selbst aber bleibt ungeändert. Hält man dagegen die Sehne CD fest und läßt die Sehne AB sich um I drehen, so bleiben R und H fest und damit wiederum die Lage der Geraden.

Demnach kann man beide Sehnen nacheinander Drehungen um L ausführen lassen, was auch eine Bewegung der sechs Punkte M, N, P, R, H, J nach sich zieht, ohne daß der Träger dieser Punkte seine Lage verändert. Das will aber doch sagen, daß die Gerade MN nur von der Wahl des Punktes L, nicht aber von der Wahl der durch L gezogenen Sehnen abhängt. Aus der Figur können wir nun unmittelbar die schon früher aufgezählten Eigenschaften von Pol und Polare hinsichtlich des Punktes L und der Geraden 7 ablesen.

a) Je zwei beliebige Sehnen durch den Pol besitzen vier Endpunkte, deren vier Verbindungslinien sich zweimal zu zwei auf der Polare schneiden (woraus ihre Konstruktion folgt).

6) Jede Sehne durch den Pol bestimmt in ihren Endpunkten zwei Tangenten, die sich auf der Polare schneiden. 7) Jede Sehne durch den Pol wird von diesem und seiner Polare harmonisch geteilt.

d) Die Tangenten aus dem Pol falls es solche giebt haben ihre Berührungspunkte auf der Polare. Eine aus an den Kegelschnitt gezogene Tangente ist nämlich als unendlich kleine Sehne aufzufassen, und da L außerhalb der Sehne liegt, muß der vierte harmonische Punkt auf ihr liegen, d. h. er fällt mit dem Berührungspunkt der Tangente zusammen.

276. Die Fig. 182 läßt uns erkennen, daß nicht nur MN die Polare von L ist, sondern daß auch LM die Polare von N und LN die Polare von M ist. Denn BC und AD sind zwei Sehnen durch N; deshalb schneiden sich die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte paarweise auf der Polare von N, nämlich BD und AC in M und AB und CD in L. Das Dreieck LMN hat die besondere Eigenschaft, daß jede Seite die Polare der gegenüberliegenden Ecke ist. Ein solches Dreieck nennt man ein Polardreieck des Kegelschnittes.

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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Der. Anblick unserer Figur lehrt uns sofort die beiden Sätze: - Die. Diagonal punkte eines einem Kegelschnitte eingeschriebenen vollständigen Vierecks ABCD bilden die Ecken eines Polardreiecks. Die Diagonalen eines dem Kegelschnitte umschriebenen Vierseits PQRS bilden die Seiten. eines Polardreiecks.

277. Der wichtigste Satz der Polarentheorie lautet nun: Geht die Polare eines Punktes L durch einen Punkt N, so geht auch umgekehrt die Polare von N durch den Punkt L. Zieht man nämlich durch N eine beliebige Sehne BC (Fig. 182) und verbindet ihre Endpunkte B und C mit L, so schneiden diese den Kegelschnitt noch je in einem Punkte A resp. D. AB und CD sind aber zwei Sehnen durch Z; die vier Verbindungslinien ihrer Endpunkte schneiden sich somit paarweise in zwei Punkten der Polare von L. So wird BC von AD in einem Punkte der genannten Polare getroffen; dies kann jedoch nur der Punkt N sein, da nach der Voraussetzung N ein Punkt dieser Polare ist. Nun gehen BC und AD durch N, folglich liegt L = AB x CD auf der Polare n von N. Zwei Punkte, von denen jeder auf der Polare des andern liegt, heißen harmonische oder konjugierte Pole in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt. Die Beziehung zwischen beiden ist wechselseitig, und falls ihre Verbindungslinie den Kegelschnitt schneidet, liegen sie zu diesen Schnittpunkten harmonisch. Das folgt unmittelbar aus den Eigenschaften von Pol und Polare.

278. Die soeben gewonnenen Resultate kann man noch in anderer Form aussprechen. Bewegt sich ein Punkt L auf einer Geraden n, so dreht sich seine Polare 7 um den Pol N dieser Geraden und umgekehrt. Da nämlich hierbei L stets auf n liegt, oder mit anderen Worten die Polare n von N stets durch L geht, so muß auch die Polare I von I stets durch N gehen, w. z. b. w. Hieraus ergiebt sich auch die Konstruktion des Poles L einer Geraden 7. Man nehme dazu auf 7 zwei beliebige Punkte J und K an und bestimme ihre Polaren i und k nach 275a. Der Punkt ix k ist dann der Pol von 7, denn die Polare eines jeden Punktes von geht ja durch den zu gehörigen Pol L.

279. Liegt der Pol einer Geraden 7 auf einer Geraden n, so liegt auch umgekehrt der Pol von n auf der Geraden 7. Denn ist der Pol von 7 und N der Pol von n, so liegt L nach der Voraussetzung auf n. Da somit die Polare von N durch L geht, muß nach dem Satze in 277 auch die Polare von L, also l

durch N gehen. Zwei Gerade, von denen jede durch den Pol der andern geht, heißen harmonische oder konjugierte Polaren in Bezug auf den gegebenen Kegelschnitt.

die zu

tz

N

Kann man vom Schnittpunkt zweier konjugierter Polaren Tangenten an den gegebenen Kegelschnitt legen, so teilen sie den Winkel dieser Tangenten harmonisch. Sind 7 und m die konjugierten Polaren, L auf m und M auf gehörigen Pole, so ist LM die Polare von N = 1x m nach der vorigen Nummer (Fig. 183). Die Berührungspunkte T1 und T2 der von N an den Kegelschnitt gelegten Tangenten t, und t, liegen

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T

m

L

Fig. 183.

auf der Polare von N, d. h. auf LM. L und M sind aber konjugierte Pole und teilen deshalb die Sehne TT2 harmonisch, und somit teilen auch und m den Winkel der Tangenten t, und t

harmonisch.

280. Nach dem Vorausgehenden gelten offenbar auch die Sätze: Die harmonischen Pole zu einem gegebenen Pole P in Bezug auf einen Kegelschnitt liegen auf einer Geraden p, der Polare von P. Die harmonischen Polaren zu einer gegebenen Polare p in Bezug auf einen Kegelschnitt gehen durch einen Punkt P, den Pol von p. Ferner ist klar: Berührt die Polare den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührungspunkt, und umgekehrt. In Fig. 183 teilen M und L die Sehne TT, harmonisch. Nähert sich nun Z dem Punkt T1, so nähert sich auch M diesem Punkt, und rückt Z in T1 hinein, SO thut dies auch M. Es ist aber M der Pol von LN; rückt also der Pol auf den Kegelschnitt, so wird seine Polare zur Tangente in ihm.

Ein Punkt in der Ebene eines Kegelschnittes heißt äußerer oder innerer Punkt, je nachdem seine Polare denselben schneidet oder nicht (vergl. 259).

281. Der in 278 aufgestellte Satz kann noch in folgender Weise erweitert werden: Beschreibt ein Punkt eine Punktreihe, so beschreibt die ihm in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt zugehörige Polare einen Strahlbüschel, der projektiv zur Punktreihe ist und umgekehrt. Bewegt sich der Punkt L auf einer Geraden m, so dreht sich seine Polare 7 um den Pol M von m. Die Konstruktion der Polare des Punktes L

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