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in einem Punkte M schneiden (Fig. 174). Legen wir das Viereck STQV zu Grunde, so sind QS und UT seine Diagonalen, während seine zwei Paar Gegenseiten in B und C, resp. B und A berühren. Ganz in der gleichen Weise wie vorher findet man, daß sich jetzt die vier Geraden QS, VT, CB und BA in einem Punkte L schneiden. Endlich folgern wir aus dem umgeschriebenen Vfereck RTPV, daß die vier Geraden PR, UT, BA und CB einen Punkt N gemein haben, womit unser Satz abermals bewiesen ist.

268. Die Gegenseiten eines einem Kreise oder Kegelschnitte eingeschriebenen Sechsecks schneiden sich in den Punkten einer Geraden. Dieser Satz heißt der Pascal'sche Satz und die Gerade die zu dem Sechseck gehörige Pascal'sche Gerade.9)Es seien P = 12 x 45, Q = 23 x 56 und R = 34 x 61 die Schnittpunkte der Gegenseiten und überdies S= 34 x 56, T= 45 x 61

(Fig. 176). Die aus den Punkten 1 und 3 als Scheitel nach 2, 4, 5, 6 gezogenen Strahlen bilden entweder kongruente oder projektive Büschel, je nachdem das Sechseck 123456 einem Kreise oder einem Kegelschnitte einbeschrieben ist . Die Schnittpunkte des ersten Büschels mit der Geraden 4 5 sind der Reihe nach: P, 4, 5, T, die des zweiten mit der Geraden 5 6 aber: Q, S, 5, 6. Diese Punktreihen sind projektiv als Schnitte projektiver Büschel und, da sie den Punkt 5 entsprechend gemein haben in perspektiver Lage, d. h. die Verbindungslinien p=PQ, 4S (oder 3 4), T6 (oder 6 1) schneiden sich in einem Punkte B, w. z b. w.

269. Die Verbindungslinien der Gegenecken eines einemKreise oder Kegelschnitte umgeschriebenen Sechsseits schneiden sich in einem Punkte. Dieser Satz rührt von Brianchon her und der zu dem Sechsseit gehörige Punkt wird sein Brianchon'scher Punkt genannt.j0)

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Es seien I, II, III, IV, V, VI die Seiten, p = 25, q = 36, r = 14 die Verbindungslinien der Gegenecken und s = 46, t = 51 (Fig. 177). Die auf den Tangenten I und III von den Tangenten II, IV, V, VI ausgeschnittenen Punkte bilden nach 265 zwei projektive Punktreihen. Die Punkte der ersten Reihe werden aus dem Centrum 5 durch die Strahlen p, IV, V, t, die Punkte der zweiten Reihe aus dem Centrum 6 durch die Strahlen q, s, V, VI projiziert. Diese Strahlbüschel sind folglich projektiv und, da sie den Strahl V entsprechend gemein haben, in perspektiver Lage, d. h. die Schnittpunkte

P = p x q, IV x « (oder 4), t x VI (oder 1) liegen auf einer Geraden r, w. z. b. w.

270. Die Sätze von Pascal und Brianchon lassen eine Reihe von Spezialisierungen zu, die wir hier erwähnen müssen. Läßt man bei dem eingeschriebenen Sechseck 1 2 3 4 5 6 die beiden Ecken 5 und 6 sich mehr und mehr nähern, bis sie zusammenfallen, dann wird die Seite 5 6 zur Tangente t im Punkt 5 = 6. Aus dem PascaPschen Satze folgt alsdann, daß die Punkte: 12 x 45 = P, 23 x t = S und 34 x 51 = R in gerader Linie liegen (Fig. 178). Teilt man die fünf Seiten eines einem Kegelschnitt einbeschriebenen Fünfecks beliebig in zwei Paare und eine einzelne Seite, doch so daß jedes Paar vier Ecken enthält, dann liegen die Schnittpunkte der beiden Paare in gerader Linie mit dem Schnittpunkt der letzten Seite und der Tangente in der gegenüberliegenden Ecke.

271. Auch der in 266 aufgestellte Satz ist als spezieller Fall des Pascal'schen Satzes anzusehen (Fig. 174). Lassen wir nämlich in dem einem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechseck AAxBCCxB die Ecke Ax mit A und die Ecke Cx mit C zusammenrücken, so entsteht das eingeschriebene Viereck ABCB mit den beiden Tangenten in A und C; folglich liegen die Punkte ABxCB = L, BC x BA =N und V als Schnittpunkt der beiden Tangenten in A und C auf einer Geraden. Das Sechseck ABBxCBBx, bei welchem einerseits Bx und B und andererseits Bx und B unendlich nahe liegen, liefert bei Anwendung des Pascal'schen Satzes das Resultat, daß AB x CB = L, BC x BA = N und T als Schnittpunkt der Tangenten in B und B auf einer Geraden liegen.

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Geht man dagegen von dem Viereck ACBB aus, so lehren die gleichen Schlüsse, daß die Punkte AC x BD = M, CB x AB = jV sowohl mit dem Schnittpunkt P der beiden Tangenten in A und B, als auch mit dem Schnittpunkt der beiden Tangenten in C und D auf einer Geraden sich befinden. Das Viereck ACDB endlich führt zu den vier in gerader Linie liegenden Punkten M, L, Q, S.

272. Wenn endlich in dem einem Kegelschnitt eingeschriebenen

K > SechseckAAxBBfiC^ dieEcken Ax, Bx, Cj bezüglich mit den / Ecken A, B, C zusammenfallen, so entsteht ein eingeschriebenes Dreieck ABC mit den Tangenten in seinen Ecken (Fig. 179). Die Anwendung des Pascal'schen Satzes liefert sofort das Resultat: Schreibt man einem Kegelschnitt einDreieck einund in den nämlichen Punkten ein zweites Dreieck um, so werden die Seiten des ersteren von den in den gegenüberliegenden Ecken tangierenden Seiten des letzteren in drei Punkten einer Geraden geschnitten. In der Figur sind /, K und L Punkte einer Geraden.

273. Läßt man die Berührungspunkte zweier Kreis- oder Kegelschnittstangenten sich einander immer mehr nähern, so wird

der Winkel der Tangenten immer spitzer und der Abstand ihres Schnittpunktes von ihren Berührungspunkten immer kleiner. Fallen schließlich die Berührungspunkte zusammen, so fallen auch die zugehörigen Tangenten zusammen und ihr Schnittpunkt geht dabei in den Berührungspunkt über. Fallen also bei dem einem Kegelschnitt umgeschriebenen Sechsseit I II III IV V VI die Seiten V und VI zusammen und ist B der Berührungspunkt der Seite V = VI, so schneiden sich die Verbindungslinien von I x II mit IV x V, von II x III mit B und von III x IV mit V x I in einem Punkte P (Fig. 180). Auch aus dem Brianchon'schen Satze kann man den Satz in

Fig. 179.

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Fig. 180.

266 durch Spezialisierung ableiten. Läßt man von dem umgeschriebenen Sechsseit die erste Seite mit der zweiten und ebenso die vierte mit der fünften zusammenfallen, so erhält man ein umgeschriebenes Vierseit, und der Brianchon'sche Satz sagt aus, daß sich bei diesem die beiden Diagonalen und die Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier Gegenseiten in einem Punkte schneiden. Durch mehrmalige Anwendung ergeben sich wieder die Eigenschaften der Fig. 174.

Sind endlich bei dem umgeschriebenen Sechsseit die erste und zweite, die dritte und vierte, die fünfte und sechste Seite zusammengerückt, so wird aus demselben ein umgeschriebenes Dreiseit und aus seinen sechs Ecken gehen die Ecken und Berührungspunkte des Dreiseits hervor. In Fig. 179 sind dies der Reihe nach die Punkte ARBPCQ, so daß sich AP, BQ und CR in einem Punkte M schneiden. Schreibt man einem Kegelschnitt ein Dreiseit um, so schneiden sich die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten seiner Gegenseiten in einem Punkte.

274. Es mag noch darauf hingewiesen werden, daß die Sätze von Pascal und Brianchon und die daraus abgeleiteten Sätze beim Kreise für besondere Lagen der Punkte oder Tangenten unmittelbar einleuchtend sind, und daß daraus auch die Richtigkeit der Sätze bei allgemeiner Lage geschlossen werden kann. Schreibt man z. B. dem Kreise ein gleichseitiges Dreieck um, so gehen die Verbindungslinien seiner Ecken mit den Berührungspunkten (Mittelpunkten) der gegenüberliegenden Seiten durch den Kreismittelpunkt. Nach 255 kann aber der Kreis so in einen andern Kreis perspektiv abgebildet werden, daß die Berührungspunkte des gleichseitigen Dreiecks in drei beliebige Punkte des zweiten Kreises übergehen. Damit gilt dann der Satz für jedes einem Kreise umgeschriebene Dreiseit.

Ferner kann nach 253 ein Kreis so in einen andern Kreis abgebildet werden, daß dabei das Bild einer vorgegebenen Geraden *' — die allerdings den Kreis nicht schneiden darf— ins Unendliche rückt. Dadurch geht z. B. die Fig.174indieFig.181 über, wenn

dabei das Bild von m = NL un- Fig. 181.

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endlich fern wird. Das eingeschriebene Viereck wird hier zum Rechteck und die Wahrheit des Satzes in 266 ist in die Augen springend.

Auch das einem Kreise um- oder einbeschriebene Sechseck kann man durch Perspektive in besondere Formen bringen, für welche die angeführten Sätze sich leicht erweisen lassen, doch soll hier nicht weiter darauf eingegangen werden.

Pol und Polare eines Kegelschnittes; Mittelpunkt, Durchmesser

und Achsen.

275. In 238 wurden die Haupteigenschaften von Pol und Polare abgeleitet, indem wir sie als Centrum und Achse einer ebenen Perspektive ansahen, die den Kreis in sich selbst abbildet. Hier sollen diese Eigenschaften nochmals nachgewiesen werden und zwar gestützt auf den Satz vom Viereck und Vierseit, die einem Kegelschnitt in den nämlichen vier Punkten ein- und umgeschrieben

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sind. In Fig. 182 sind ABCB die vier Punkte auf dem Kegelschnitt . PR, QS und TU sind die drei Diagonalen des umgeschriebenen Vierseits; sie bilden ein Dreieck, dessen Ecken L, Mund N zugleich die Diagonalpunkte des eingeschriebenen Vierecks sind. Nach 203 werden auf jeder Seite eines vollständigen Vierecks die beiden Ecken durch einen Diagonalpunkt und den Schnittpunkt mit der Verbindungslinie der beiden andern harmonisch getrennt. So teilen L und / = AB x MN die Sehne AB, ferner L und H=CB x MN die Sehne CB harmonisch. Auf der Geraden MN liegen noch die vier weiteren Punkte P,

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