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Dreht man also MC in gleichem Sinne und um den gleichen Winkel, wie bei der Drehung von MA nach MA1, so fällt die gedrehte Gerade mit der verlängerten Geraden MC, zusammen, w. z. b. w.

Nach 263 erkennen wir unmittelbar die Richtigkeit des Satzes: Zieht man an einen Kegelschnitt irgend welche Tangenten a, b, c, d,..., so schneiden sie auf zwei beliebig gewählten Tangenten t und t, desselben projektive Punktreihen aus. Auch hier ist zu bemerken, daß die Umkehrung noch später zu beweisen ist.

266. Die weiteren Sätze beziehen sich auf Polygone, die einem Kreise oder Kegelschnitt ein- oder umgeschrieben sind. An erster Stelle wollen wir hier den Satz ableiten, auf den sich weiterhin einerseits die Theorie von Pol und Polare und andererseits die doppelte Erzeugungsweise der Kegelschnitte stützen soll. Die erstere findet sich im folgenden Abschnitt eingehender entwickelt und ist schon in 238 auf anderer Basis kurz besprochen worden; der letzteren ist der übernächste Abschnitt gewidmet.

Schreibt man einem Kreise oder Kegelschnitt ein beliebiges Viereck um, so schneiden sich seine beiden Diagonalen und die beiden Sehnen, welche die Berührungspunkte seiner Gegenseiten verbinden in einem Punkte.

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Es seien PQ, QR, RS, SP die Seiten des Vierecks und B, C, D, A die zugehörigen Berührungspunkte (Fig. 174). Bezeichnen wir nun mit C (QBAD) einen Strahlbüschel, dessen Scheitel C ist und .dessen Strahlen durch Q, B, A, D gezogen sind, so erkennen wir, daß die beiden Strahlbüschel C(QBAD) und B(CQAD) in der Figur

kongruent sind. Falls jedoch an Stelle des Kreises k ein Kegelschnitt tritt, werden die bezüglichen Strahlbüschel nur noch projektiv sein (264) und nur diese Eigenschaft benutzen wir für den Beweis unseres Satzes. Nach 190 sind auch die Strahlbüschel C (QBAD) und B (QCDA) projektiv, und da der beiden gemeinsame Strahl CB sich selbst entspricht, sind sie auch perspektiv. Somit liegen die

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Punkte Q, M CA × BD und L = CD x BA in gerader Linie. Ganz ebenso sind die Strahlbüschel D (SABC) und A (SDCB) projektiv und die Punkte S, M und L liegen auf einer Geraden. Es gehören also die vier Punkte Q, S, M, L der nämlichen Geraden an; ferner befinden sich die vier Punkte P, R, M und N = CB x DA auf einer zweiten Geraden, and die Punkte L, N, U=SP× QR und T=PQ× RS auf einer dritten, wie man ganz analog beweist. Hiermit ist aber nicht nur der obige Satz erwiesen, sondern zugleich der folgende allgemeinere Satz: Schreibt man einem Kegelschnitt in den nämlichen vier willkürlich gewählten Punkten ein vollständiges Viereck ein und ein Vierseit um, so verbinden die Diagonalen des letzteren die Diagonalpunkte des ersteren. (Die Seiten des Vierseits berühren den Kegelschnitt in den Ecken des Vierecks.) 267. Da der vorstehende Satz, wie wir noch sehen werden, von fundamentaler Bedeutung für die ganze Theorie der Kegelschnitte ist, so mag hier für den Fall des Kreises noch ein Beweis. stehen, der auf der Anwendung ganz einfacher planimetrischer Sätze beruht. Gilt der Satz aber für den Kreis, dann gilt er selbstverständlich auch für sein perspektives Bild, den Kegelschnitt.

Es seien wieder PQ, QR, RS, SP die Seiten des umgeschriebenen Vierecks und B, C, D, A die zugehörigen Berührungspunkte (Fig. 175). Schneiden sich dann CA und QS in M, so hat man: MQ: MS = QC: SA. Liegt nämlich G auf AC und ist QG || AS,

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=

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so ist: MQ: MS QG: SA; zugleich ist QG = QC, denn die Winkel bei G und C sind beide gleich dem Winkel bei A. Schneiden sich weiter BD und QS in G M', so erhält man analog: M'Q: M'S QB: SD. Nun ist QB QC und SD = SA, also auch: M'Q: M'S MQ: MS; dies hat aber das Zusammenfallen von M' und M zur Folge, da zwei verschiedene R Punkte auf einer Strecke nicht das gleiche Abstandsverhältnis besitzen können. Somit geht QS durch den Schnittpunkt von AC und BD. Die gleiche Beweisführung zeigt, daß auch PR durch diesen Schnittpunkt hindurchgeht, so daß sich die vier Geraden AC, BD, PR und QS in dem Punkte M schneiden.

Fig. 175.

M

A

Indem wir von dem umgeschriebenen Viereck PQRS ausgingen, zeigten wir soeben, daß die vier Geraden AC, BD, PR und QS sich

in einem Punkte M schneiden (Fig. 174). Legen wir das Viereck STQU zu Grunde, so sind QS und UT seine Diagonalen, während seine zwei Paar Gegenseiten in D und C, resp. B und A berühren. Ganz in der gleichen Weise wie vorher findet man, daß sich jetzt die vier Geraden QS, UT, CD und BA in einem Punkte L schneiden. Endlich folgern wir aus dem umgeschriebenen Viereck RTPU, daß die vier Geraden PR, UT, DA und CB einen Punkt N gemein haben, womit unser Satz abermals bewiesen ist.

268. Die Gegenseiten eines einem Kreise oder Kegelschnitte eingeschriebenen Sechsecks schneiden sich in den Punkten einer Geraden. Dieser Satz heißt der Pascal'sche Satz und die Gerade die zu dem Sechseck gehörige Pascal'sche Gerade."). Es seien P 23 × 56 und R 34 x 61 die Schnittpunkte der Gegenseiten und überdies S = 34 x 56, T= 45 × 61

=

12 × 45,

Q

=

=

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eck 123456 einem Kreise oder einem Kegelschnitte einbeschrieben ist. Die Schnittpunkte des ersten Büschels mit der Geraden 45 sind der Reihe nach: P, 4, 5, 7, die des zweiten mit der Geraden 56 aber: Q, S, 5, 6. Diese Punktreihen sind projektiv als Schnitte pro

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P9

3

2

Fig. 177.

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III

jektiver Büschel und, da sie den Punkt 5 entsprechend gemein haben in perspektiver Lage, d. h. die Verbindungslinien p = PQ, 4 S (oder 3 4), 76 (oder 61) schneiden sich in einem Punkte R, w. z. b. w.

269. Die Verbindungslinien der Gegenecken eines einem Kreise oder Kegelschnitte umgeschriebenen Sechsseits schneiden sich in einem Punkte. Dieser Satz rührt von Brianchon her und der zu dem Sechs

seit gehörige Punkt wird sein Brianchon'scher Punkt genannt. 10)

25, q

=

=

36, r = 14

51 (Fig. 177).

Es seien I, II, III, IV, V, VI die Seiten, p = die Verbindungslinien der Gegenecken und s = 46, t Die auf den Tangenten I und III von den Tangenten II, IV, V, VI ausgeschnittenen Punkte bilden nach 265 zwei projektive Punktreihen. Die Punkte der ersten Reihe werden aus dem Centrum 5 durch die Strahlen p, IV, V, t, die Punkte der zweiten Reihe aus dem Centrum 6 durch die Strahlen q, s, V, VI projiziert. Diese Strahlbüschel sind folglich projektiv und, da sie den Strahl V entsprechend gemein haben, in perspektiver Lage, d. h. die Schnittpunkte P = p × q, IV × s (oder 4), t × VI (oder 1)

liegen auf einer Geraden r, w. z. b. w.

3

270. Die Sätze von Pascal und Brianchon lassen eine Reihe von Spezialisierungen zu, die wir hier erwähnen müssen. Läßt man bei dem eingeschriebenen Sechseck 1 2 3 4 5 6 die beiden Ecken 5 und 6 sich mehr und mehr nähern, bis sie zusammenfallen, dann wird die Seite 56 zur Tangente tim Punkt 5 6. Aus dem Pascal'schen Satze folgt alsdann, daß die Punkte: 12 × 45 und 34 x 51 = R liegen (Fig. 178).

=

=

P, 23 × t S in gerader Linie Teilt man die

fünf Seiten eines einem Kegel

R

t

Fig. 178.

schnitt einbeschriebenen Fünfecks beliebig in zwei Paare und eine einzelne Seite, doch so daß jedes Paar vier Ecken enthält, dann liegen die Schnittpunkte der beiden Paare in gerader Linie mit dem Schnittpunkt der letzten Seite und der Tangente in der gegenüberliegenden Ecke.

271. Auch der in 266 aufgestellte Satz ist als spezieller Fall des Pascal'schen Satzes anzusehen (Fig. 174). Lassen wir nämlich in dem einem Kegelschnitt einbeschriebenen Sechseck AДBCC1D die Ecke 4, mit 4 und die Ecke C1 mit C zusammenrücken, so entsteht das eingeschriebene Viereck ABCD mit den beiden Tangenten in A und C; folglich liegen die Punkte AB X CDL, BC X DA = N und U als Schnittpunkt der beiden Tangenten in 4 und C auf einer Geraden. Das Sechseck ABB,CDD,, bei welchem einerseits B1 und B und andererseits D1 und D unendlich nahe liegen, liefert bei Anwendung des Pascal'schen Satzes das Resultat, daß AB × CD L, BC X DAN und T als Schnittpunkt der Tangenten in B und D auf einer Geraden liegen.

=

R

K

Geht man dagegen von dem Viereck ACBD aus, so lehren die gleichen Schlüsse, daß die Punkte AC x BD = M, CB × AD = N × sowohl mit dem Schnittpunkt P der beiden Tangenten in A und B, als auch mit dem Schnittpunkt der beiden Tangenten in C und D auf einer Geraden sich befinden. Das Viereck ACDB endlich führt zu den vier in gerader Linie liegenden Punkten M, L, Q, S. 272. Wenn endlich in dem einem Kegelschnitt eingeschriebenen Sechseck AABB1CC1 die Ecken 41, B1, C, bezüglich mit den Ecken A, B, C zusammenfallen, so entsteht ein eingeschriebenes Dreieck ABC mit den Tangenten in seinen Ecken (Fig. 179). Die Anwendung des Pascal'schen Satzes liefert sofort das Resultat: Schreibt man einem Kegelschnitt ein Dreieck ein und in den nämlichen Punkten ein zweites Dreieck um, so werden die Seiten des ersteren von den in den gegenüberliegenden Ecken tangierenden Seiten des letzteren in drei Punkten einer Geraden geschnitten. In der Figur sind J, K und L Punkte einer Geraden.

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Fig. 179.

273. Läßt man die Berührungspunkte zweier Kreis- oder Kegelschnittstangenten sich einander immer mehr nähern, so wird

I

P

B

der Winkel der Tangenten immer spitzer und der Abstand ihres Schnittpunktes von ihren Berührungspunkten immer kleiner. Fallen schließlich die Berührungspunkte zusammen, so fallen auch die zugehörigen Tangenten zusammen und ihr Schnittpunkt geht dabei in den Berührungspunkt über. Fallen also bei dem einem Kegelschnitt umgeschriebenen Sechsseit I II III IV V VI die Seiten V und VI zusammen und ist B der Berührungspunkt der Seite V = VI, so schneiden sich die Verbindungslinien von IxII mit IV x V, von II XIII mit B und von III x IV mit V x I in einem Punkte P (Fig. 180). Auch aus dem Brianchon'schen Satze kann man den Satz in

III

Fig. 180.

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