besteht. Letzterer geben wir die neue Form:

(m2x2 + k2y2)(n2x2 + 12y12) — (n2x2 + l2y2)(n2x2 + k2y1 3) > 0, und diese reduziert sich auf die Ungleichung:

(12 m2 — k2n2)(x2y ̧2 — x ̧2y2) > 0,

welche mit der Voraussetzung zusammenfällt, da (l2m2 — k2n2) positiv ist.

Die Ellipse als affine Kurve zum Kreise und ihre Konstruktion.

15. Jede zu einem Kreise affine und affin gelegene Kurve heißt Ellipse; SO ist jede Parallelprojektion

winkligen Kreisdurchmessern PP, QQ affin sind. Von zwei konjugierten Durchmessern einer Ellipse halbiert jeder die

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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zum andern parallelen Sehnen und geht durch die Berührungspunkte der zum andern parallelen Tangenten. Denn das Gleiche ist bei den rechtwinkligen Durchmessern des affinen Kreises der Fall.

Dabei ist allerdings die zu einer Kreistangente affine Gerade als Ellipsentangente bezeichnet. Die Berechtigung hierzu erhellt aus der folgenden Überlegung. Wie jede Gerade g mit dem Kreise k zwei getrennte, zwei vereinte, oder keinen Schnittpunkt gemein hat, so hat auch jede Gerade g1 mit der Ellipse k1 wegen der Affinität zwei getrennte, zwei vereinte oder keinen Schnittpunkt gemein. Eine Kreistangente QT hat mit seiner Peripherie nur einen Punkt gemein und liegt ganz außerhalb derselben; das Gleiche tritt für die affine Gerade Q,7 in Bezug auf die Ellipse ein, und deshalb legen wir ihr die Bezeichnung einer Ellipsentangente bei (zum Unterschiede von den Sehnen). Man kann auch die Tangenten in Q resp. Q1 aus den Sehnen QS resp. Q11 durch Drehung um Q resp. hervorgehen lassen, wobei S, in demselben Moment mit Q, zusammenfällt, wo dies 8 mit Q thut. Hier geht der Berührungspunkt der Tangente aus der Vereinigung zweier Schnittpunkte hervor.

1

Die zu einander rechtwinkligen Durchmesser A11' und B1В1' der Ellipse, welche gleichfalls rechtwinkligen Durchmessern AA' und BB′ des Kreises entsprechen, heißen Achsen, ihre Endpunkte Scheitel. Die Achsen teilen die Ellipse in symmetrische Quadranten,

Fig. 13.

16. Aus einem Kreise lassen sich durch Affinität (oder Parallelprojektion) unendlich viele Ellipsen ableiten, indem man noch die Affinitätsachse und den Mittel

punkt der Ellipse beliebig wählen kann. Umgekehrt kann jede Ellipse auf unendlich viele Weisen als affines Bild eines Kreises erhalten werden, indem auch hier die Wahl der Affinitätsachse noch völlig frei steht. Hierüber belehrt uns der Satz: Eine Ellipse k ist durch zwei konjugierte Durchmesser AA und BB' völlig bestimmt. Es sei P ein beliebiger Punkt der Ellipse k, Qein Punkt auf AA und PQ || BB'; ferner setzen wir zur Abkürzung MA = a, MB = b, MQ = x und QP=y (Fig. 13). Ein zur Ellipse affiner und affin gelegener Kreis sei k1; die zu 4, A', B, B', M, P, Q affinen Punkte seien A1, 4', B1, B1', M1, P1, Q1, während wir M11 = M1B1 = r1, M11 = x1 und Q1P1 = y1 setzen. Mag nun die affine Beziehung zwischen Ellipse und Kreis beschaffen sein, wie sie wolle, immer gelten die Relationen:

Nun besteht für jeden Punkt des Kreises die Gleichung: x12+y12 = r13, also besteht für jeden Punkt der Ellipse die Gleichung:

Dabei bedeuten und y die Längen der beiden zu den konjugierten Durchmessern parallelen Strecken, die einerseits von dem beliebigen Ellipsenpunkt und andererseits von diesen Durchmessern begrenzt werden. Durch Länge und Lage der konjugierten Durchmesser AA und BB′ ist hiernach die Gesamtheit der Ellipsenpunkte bestimmt.

1 1

1

17. Wir wollen jetzt zu der Ellipse k mit den konjugierten Durchmessern AA und BB' den affin gelegenen Kreis k1 konstruieren, wenn die Affinitätsachse a beliebig gegeben ist. Die Tangenten in A und B mögen sich in I schneiden (IA||BB', IB||AA), dann muß dem Parallelogramm MAIB in der affinen Figur ein Quadrat M11ÃВ1 entsprechen (Fig. 13).; Schneiden also die Geraden MA, MB und MI die Affinitätsachse a in R, S und T, so ist M, derart zu bestimmen, daß RMS = 90° und RM,T = LTM2S 45° wird. Zu dem Ende zeichne man über RS als Durchmesser einen Hilfskreis und wähle auf ihm den Punkt U in der Mitte des Halbkreisbogens RS; dann schneidet UT den Hilfskreis in dem gesuchten Punkt M1 (L RM,T= ▲ TMS = 45° als Peripheriewinkel über den Viertelkreisbogen RU und US). In der That entspricht jetzt dem Parallelogramm MAIB in der affinen Figur ein Quadrat M4,B1, wobei M, der zu M affine Punkt ist,

=

und zu dem Kreise k1 mit dem Mittelpunkt M1 und dem Radius M11 MB, ist die Ellipse k mit den konjugierten Halbmessern MA und MB affin (IA × 14, und IB x IB, auf a).

=

1

18. Will man eine Ellipse k aus zwei konjugierten Durchmessern konstruieren, so kann man einen zu ihr affinen und affin gelegenen Kreis k, zeichnen und dann rückwärts zu einzelnen Punkten des Kreises die affinen Punkte der Ellipse suchen. Wie wir soeben sahen, ist dabei die Wahl der Affinitätsachse a noch freigestellt. Um die Konstruktion möglichst einfach zu gestalten, empfehlen sich besonders die folgenden beiden Verfahren.

B1

Erstes Verfahren. Es seien (Fig. 14) O der Mittelpunkt, AA' und BB' die gegebenen konjugierten Durchmesser einer Ellipse k. Der über AA als Durchmesser beschriebene Kreis k, ist dann zu k affin und AA' ist die Affinitätsachse. Dem Punkt В von k entspricht der affine Punkt B1 von k1, wo OB, OA ist, und BB, ist ein Affinitätsstrahl. Zu einem Punkte P1 von k1 ergiebt sich der affine Ellipsenpunkt P, indem man P1QAA' zieht und die Parallele zu OB aus Q mit der Parallelen zu B1B aus P1 in P schneidet. Trifft die Kreistangente in P1 die Affini

Y,

X

R1

Fig. 14.

1

1

1

tätsachse in 7, so ist PT die Ellipsentangente in P. Sollen aus einem Punkte R die Tangenten an die Ellipse gezogen werden, so suche man den affinen Punkt R, und die Berührungspunkte X, und Y1 der von ihm an den Kreis k1 gelegten Tangenten; dann sind die zu ihnen affinen Punkte X und Y die Berührungspunkte der gesuchten Ellipsentangenten. - Die Richtungen der Achsen der Ellipse und der zugehörigen rechtwinkligen Durchmesser des Kreises ergeben sich aus der Konstruktion entsprechender rechter Winkel an den affinen Punkten B und B1, die Scheitel der Ellipse aus den Endpunkten der genannten Kreisdurchmesser.

19. Zweites Verfahren. Man ziehe durch den Endpunkt B des einen Durchmessers eine Parallele a zum konjugierten AA', die zugleich Ellipsentangente sein wird (Fig. 15). Ein Kreis k1 vom Radius 0,4, OA, welcher a ebenfalls in B berührt, ist dann zur Ellipse k affin gelegen. Dabei ist a die Affinitätsachse, O und 01

=

sind affine Punkte, und den beiden zu a parallelen und senkrechten Kreisdurchmessern 4,4,' und BB, entsprechen die konjugierten Durchmesser AA' und

a

Fig. 15.

B'

20. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Es seien OA = a und OB = b (Fig. 16a) die gegebenen Halbachsen einer Ellipse k. Man schlage um O zwei Kreise k, und k, resp. vom Radius a und b. Jeder von ihnen kann als zur gesuchten Ellipse affin gelegen gelten. Bei der Affinität zwischen k, und k ist OA die Achse und B1 und B sind entsprechende Punkte (B1B¦ OA); bei der Affinität zwischen k, und k ist OB die Achse und und A sind entsprechende Punkte. - Zu einem Punkte P1 auf k1

1

B

B

P2

A S

Fig. 16a.

ergiebt sich der affine Ellipsenpunkt P auf k, indem man PS LOA zieht, mittels der Beziehung

man schneide also P1O mit zugleich der affine Punkt zu

1

1

P2 auf ką. Zwei rechtwinklige Kreis

radien OP1 und OQ, liefern zwei konjugierte Halbmesser OP und