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punkt der Ellipse beliebig wählen kann. Umgekehrt kann jede Ellipse auf unendlich viele Weisen als affines Bild eines Kreises erhalten werden, indem auch hier die Wahl der Affinitätsachse noch völlig frei steht. Hierüber belehrt uns der Satz: Eine Ellipse k ist durch zwei konjugierte Durchmesser und BB ' völlig bestimmt. Es sei P ein beliebiger Punkt der Ellipse k, Q ein Punkt auf und PQ || BB'; ferner setzen wir zur Abkürzung MA = a, MB = b, MQ = x und QP = y (Fig. 13). Ein zur Ellipse affiner und affin gelegener Kreis sei kx; die zu A, Ä, B, B, M, P, Q affinen Punkte seien Av A^, Bv Bx', Mv Pv Qv während wir MxAx = MxBx = rv MxQx = xx und QxPx = yx . setzen. Mag nun die affine Beziehung zwischen Ellipse und Kreis beschaffen sein; wie sie wolle, immer gelten die Relationen:

Jü. = 5l y_ =

a r-i' b rj'

Nun besteht für jeden Punkt des Kreises die Gleichung: a:j2+y12 = rx3, also besteht für jeden Punkt der Ellipse die Gleichung:

Dabei bedeuten x und y die Längen der beiden zu den konjugierten Durchmessern parallelen Strecken, die einerseits von dem beliebigen Ellipsenpunkt und andererseits von diesen Durchmessern begrenzt werden. Durch Länge und Lage der konjugierten Durchmesser und BB ' ist hiernach die Gesamtheit der Ellipsenpunkte bestimmt.

17. Wir wollen jetzt zu der Ellipse k mit den konjugierten Durchmessern und BB ' den affin gelegenen Kreis kx konstruieren, wenn die Affinitätsachse a beliebig gegeben ist. Die Tangenten in A und B mögen sich in / schneiden (IA\\BB', IB\\AÄ), dann muß dem Parallelogramm MAIB in der affinen Figur ein Quadrat MxAxIxBx entsprechen (Fig. 13).) Schneiden also die Geraden MA, MB und MI die Affinitätsachse a in R, S und 1\ so ist Mx derart zu bestimmen, daß l_ RMxS = 90° und i_RMxT i_TMxS= 45° wird. Zu dem Ende zeichne man über RS als Durchmesser einen Hilfskreis und wähle auf ihm den Punkt U in der Mitte des Halbkreisbogens RS; dann schneidet UT den Hilfskreis in dem gesuchten Punkt Mx {i_RMxT= ^2^5=45° als Peripheriewinkel über den Viertelkreisbogen RV und VS). In der That entspricht jetzt dem Parallelogramm MAIB in der affinen Figur ein Quadrat MxAxIxBv wobei Mx der zu M affine Punkt ist, und zu dem Kreise Aj mit dem Mittelpunkt und dem Radius MxAx = MxBx ist die Ellipse A mit den konjugierten Halbmessern MA und MB affin (IA x \A\ und IB x IxBx auf a). sind affine Punkte, und den beiden zu a parallelen und senkrechten Kreisdurchmessern AxAx' und BBx entsprechen die konjugierten Durchmesser AA' und BB' der gesuchten Ellipse. Die Konstruktion einzelner Ellipsenpunkte ist analog dem Vorigen. Die Achsen findet man hier direkt aus der Bestimmung der entsprechenden rechten Winkel z_ XOY und (_ XOxY an den Mittelpunkten, hierau f aus den Endpunkten Cj und 2?j der rechtwinkligen Kreisdurchmesser die Ellipsenscheitel C und 1), u. s. f.

18. Will man eine Ellipse k aus zwei konjugierten Durchmessern konstruieren, so kann man einen zu ihr affinen und affin gelegenen Kreis Aj zeichnen und dann rückwärts zu einzelnen Punkten des Kreises die affinen Punkte der Ellipse suchen. Wie wir soeben sahen, ist dabei die Wahl der Affinitätsachse a noch freigestellt. Um die Konstruktion möglichst einfach zu gestalten, empfehlen sich besonders die folgenden beiden Verfahren.

Erstes Verfahren. Es seien (Fig. 14) O der Mittelpunkt, und BB' die gegebenen konjugierten Durchmesser einer Ellipse k. Der über als Durchmesser beschriebene Kreis Aj ist dann zu

tätsachse in 1, so ist P2"die Ellipsentangente in P. — Sollen aus einem Punkte R die Tangenten an die Ellipse gezogen werden, so suche man den affinen Punkt Rx und die Berührungspunkte Xx und Yx der von ihm an den Kreis Aj gelegten Tangenten; dann sind die zu ihnen affinen Punkte X und Y die Berührungspunkte der gesuchten Ellipsentangenten. — Die Richtungen der Achsen der Ellipse und der zugehörigen rechtwinkligen Durchmesser des Kreises ergeben sich aus der Konstruktion entsprechender rechter Winkel an den affinen Punkten B und Bx, die Scheitel der Ellipse aus den Endpunkten der genannten Kreisdurchmesser.

19. Zweites Verfahren. Man ziehe durch den Endpunkt B des einen Durchmessers eine Parallele a zum konjugierten AÄ, die zugleich Ellipsentangente sein wird (Fig. 15). Ein Kreis Aj vom Radius OxAx = OA, welcher a ebenfalls in B berührt, ist dann zur Ellipse k affin gelegen. Dabei ist a die Affinitätsachse, O und Ox

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20. Konstruktion der Ellipse aus den Achsen. Es seien OA = a und OB b (Fig. 16 a) die gegebenen Halbachsen einer Ellipse k. Man schlage um O zwei Kreise kx und k2 resp. vom Radius u und b. Jeder von ihnen kann als zur gesuchten Ellipse affin gelegen gelten. Bei der Affinität zwischen kx und h ist OA die Achse und 2?j und B sind entspre

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Fig. 15.

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chendePunkteB J_ OA); bei der Affinität zwischen h2 und h ist OB die Achse und A2 und A sind entsprechende Punkte. — Zu einem Punkte Px auf kx ergiebt sich der affine Ellipsenpunkt P auf k, indem man PxS J_ OA zieht, mittels der Beziehung

P.O-.P.O;

P ist

zugleich der affine Punkt zu P2 auf k2. Zwei rechtwinklige Kreisradien OPx und OQx liefern zwei konjugierte Halbmesser OP und

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OQ. der Ellipse. Die Tangenten in P und Q sind zu OQ und OP resp. parallel.

Zieht man um O einen Kreis k3 mit dem Radius (a + Z>) und schneidet dieser die Strahlen OPx und OQx in P3 und Q3 resp., so sind PP3 und QQ3 Ellipsennormalen, d. h. sie stehen in P und Q auf den bezüglichen Tangenten senkrecht. Denn es ist

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ist). Jeder Strahl durch O liefert einen Punkt P der Ellipse als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die erste durch P2 parallel zu OA und die zweite durch Px parallel zu OB gezogen ist. Die Gerade PP3 ist eine Normale der Ellipse und gleich dem zu OP konjugierten Halbmesser OQ. Die Punkte P2, Px und P3 auf dem durch O gezogenen Strahl haben die bezüglichen Abstände b, a und (a + b) von O.

21. Das eingeschlagene Verfahren ergiebt auch die Lösung der Aufgabe: Zu einem nur der Richtung nach gegebenen Halbmesser der Ellipse den Endpunkt und den konjugierten Halbmesser zu finden. Ein in der gegebenen Richtung aus O

raden UX die Gerade WV, dem Punkte X der Punkt V und folglich dem Strahl OX der Strahl OK Insbesondere entspricht dem Punkte Px von kx der Punkt P von k (PjPy OB, P2P\\ OA), und der zu OX rechtwinklige Strahl OQ2Q^ liefert den Endpunkt Q des zu OP konjugierten Halbmessers OQ.

22. Konstruktion der Achsen einer Ellipse aus konjugierten Durchmessern. Irgend zwei konjugierte Halbmesser OC und OB einer Ellipse (Fig. 17) werden aus rechtwinkligen Halb

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messern OCx, OBx resp. OC2, OB2 des um- und eingeschriebenen
Kreises (vom Radius a und b) erhalten, indem man CCx und BBx
parallel zur Halbachse OB
und CC2 und BD2 parallel
zur Halbachse OA zieht.
Wird das rechtwinklige
Dreieck BBxB2 um das
Centrum O durch den
l_ BxOC\ = R gedreht, so
erhält es die Lage ECxC2,
in der seine Katheten
wiederum den Achsen pa-
rallel liegen. Nun ist
M = ECxCxC2 der Mit-
telpunkt des Rechteckes
CCxEC2, also MC = MCx'
= MC2 = ME. Deshalb
schneidet EC die Achsen
OA und OB resp. in A'
und B', so daß: MO = MA'
= MB' wird, d. h. ein um M mit dem Radius MO beschriebener
Kreis schneidet die Gerade CE in Punkten A' und B' der Achsen.
Überdies folgt:

OCx = EA' = CB' - a,
OC2 = CA' = EB' = b.

Sind umgekehrt OC und 02? als konjugierte Halbmesser gegeben, so ergiebt sich folgende einfache Konstruktion der Achsen. Man ziehe OE J_ und =OJ), halbiere EC in M und schneide CE mit einem Kreise vom Radius MO in A' und Dann sind OA' und 0iT die Achsen der Lage nach und ÄE=B'C resp. A'C = 2?'i? die bezüglichen Längen der Halbachsen.

23. Läßt man C die Ellipse durchlaufen, so geschieht dies auch mit dem Endpunkt B des zu OC konjugierten Halbmessers OB. Man erhält dann durch die vorige Konstruktion andere und andere Punkte A' und B' auf den Achsen; immer aber ist B'C=a A'C = b, also die Strecke A'B' von der konstanten Länge (a + b). Hieraus folgt der Satz: Gleitet eine Strecke A'B' mit ihren Endpunkten auf zwei rechtwinkligen Geraden, so beschreibt ein Punkt C, der sie in die Teile a und b zerlegt, eine Ellipse mit den Halbachsen a und b. Dieser Satz kann bequem zur Konstruktion von Ellipsenpunkten verwendet werden.

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