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schnitte, wenn ihre Ebenen nicht parallel sind. Wir haben also den Satz: Durch je zwei Wechselschnitte eines Kegels Kreisschnitte mit nicht parallelen Ebenen läßt sich eine Kugelfläche legen.

250. Eine Umkehrung des soeben bewiesenen Satzes lautet: Kann man durch zwei Kreise eine Kugel legen, so befinden sie sich auch in perspektiver Lage und zwar auf zweifache Weise. Sind k und k, die beiden Kreise und ist e die Schnittlinie ihrer Ebenen, so ziehe man durch den Kugelmittelpunkt eine zu e normale Ebene A. Diese schneidet die Kugel in einem größten Kreise m und steht auf den Ebenen der beiden Kreise k und k1 senkrecht; sie enthält also deren Mittelpunkte und je einen Durchmesser, den wir mit AB resp. ÂÂ1 bezeichnen (Fig. 166 stellt diese Verhältnisse wieder in orthogonaler Projektion dar). Nun betrachte man den Punkt S = AA1 × BB1 als Spitze einer Kegelfläche, die man durch den Kreis k, legt; es ist dann zu zeigen, daß diese Kegelfläche auch durch den Kreis k geht. Das ist aber der Fall, sobald man beweisen kann, daß jeder beliebige Punkt P von k auf derselben liegt. Zu diesem Zwecke ziehe man durch P eine Ebene parallel zu der des Kreises k1, dieselbe wird den Kegel in einem Kreise k mit dem Durchmesser A, B, schneiden. Nach der Voraussetzung liegen die Punkte ABA,B1 auf dem Kreise m, und da АВ1⁄2 || ÆВ ist, liegen auch die Punkte ABAВ auf einem Kreise. Hieraus schließt man weiter, daß die Kreise k und k, auf einer Kugelfläche liegen, für die der Kreis ein größter Kreis ist. Somit müssen sich k und k, in zwei in Bezug auf A symmetrischen Punkten schneiden, von denen der eine der Punkt P sein muß; P liegt also auch auf dem Kreis k2, d. h. auf der Kegelfläche.

2

2 2

Es giebt noch eine zweite Kegelfläche durch die beiden Kreise k und k1; ihre Spitze wird von dem Schnittpunkt der Geraden AB1 und ДB gebildet.

251. Eine andere Umkehrung läßt sich in der Form aussprechen: Schneidet eine Kugel einen Kegel in einem Kreise k, so schneidet sie ihn außerdem in einem zweiten Kreise k1 (Wechselschnitt). Zum Beweis gehe man wieder von der Symmetrieebene A des Kegels aus und wähle sie zur Projektionsebene (Fig. 166). Sie schneide k in dem Durchmesser AB, den Kegel in den Mantellinien SA und SB und die Kugel in dem größten Kreise m. SA und SB mögen m noch in 1 und B1 treffen, dann ist ДВ1 der Durchmesser eines Kugelkreises k1, dessen Ebene auf A senkrecht steht. Nach dem Vorigen gehören aber k und k1 als

1

Kreise auf der nämlichen Kugel einem Kegel mit dem Scheitel S A1 × BB1 an, w. z. b. w.

=

Wir drücken unser Ergebnis noch in einer zweiten Form aus: Durch Centralprojektion eines Kreises auf eine ihn enthaltende Kugel aus einem beliebigen Punkte des Raumes entsteht wieder ein Kreis; bei Parallelprojektion sind beide Kreise kongruent.

252. Es wurde bereits gezeigt, daß jeder schiefe Kreiskegel eine Symmetrieebene A besitzt, die zu den Ebenen aller Kreisschnitte normal ist. Wählt man nun als Wechselschnitte zwei Kreise k und k, von gleicher Größe, so werden sie von A in den gleich großen Durchmessern AB und B1 geschnitten (Fig. 167 in schiefer Ansicht).

=

Da wir es mit Wechselschnitten zu thun haben, ist SAB = ▲ SB1 41, also ▲ SAB≈^SB11; folglich muß auch SA SB,, SA1 = SB und ▲ SAE≈ ^ SB1E sein (E = AB × A1B1). Demnach halbiert SE die Winkel ASB1 und AEB. Nennen wir B die Ebene, die in SE auf A senkrecht steht, so ist der eine Wechselschnitt zu dem andern symmetrisch in Bezug auf B, und somit ist B auch eine Symmetrieebene für den Kegel.

a

b

a

B

B,

In der Figur sind die gleich großen Wechselschnitte k und k1 auf dem nämlichen Kegelmantel genommen. Wählt man jedoch k auf dem einen und k1 auf dem andern Mantel, so kann man die ganzen Betrachtungen wiederholen und gelangt zu einer Symmetrieebene г, die zu A normal ist und den Nebenwinkel von LASB, halbiert. Je zwei gleich große Wechselschnitte auf verschiedenen Mänteln liegen zu der Ebene symmetrisch.

Fig. 167.

=

Ein schiefer Kreis kegel besitzt drei zu einander senkrechte Symmetrie ebenen A, B, г; ihre drei in der Spitze S aufeinander senkrecht stehenden Schnittlinien a B x г, b=XA, c = AX B heißen die Achsen des Kegels. Es giebt zwei Systeme von Kreisen auf dem Kegel; ihre Ebenen stehen auf A senkrecht und schließen mit.B (ebenso mit ) gleiche Winkel ein.

ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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253. Wir untersuchen weiterhin noch einige spezielle Fälle, in denen ein Kreis in einen andern Kreis projiziert wird unter gleichzeitiger Erfüllung besonderer Bedingungen.

Es giebt unendlich viele Centralprojektionen, bei denen einem gegebenen Kreis k ein Kreis und einer außerhalb des Kreises k in seiner Ebene E gegebenen Geraden e, die unendlich ferne Gerade der Bildebene entspricht. Die durch den Mittelpunkt von k senkrecht zu e, gelegte Ebene A diene wieder als Aufrißebene, während wir die Ebene von k als Grundrißebene benutzen. Man zeichne nun in A irgend einen Kreis, der

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Fig. 168.

ev

v

den Durchmesser AB von k zur Sehne hat und ziehe an ihn aus M = Axe eine Tangente, die in O berühren mag (Fig. 168). Schneidet dann eine beliebige Parallele zu MO die Strahlen OA und OB resp. in 41 und B1, so xist BAO = L BOM = LA1B11 und folglich liegen die Punkte ABÂÂ1 auf einem Kreise. Hieraus erkennt man (wie in 251), daß die durch 4A,В1 nor

1

=

mal zu A gelegte Ebene E, auf dem Kegel mit der Spitze O und dem Grundkreis k einen Wechselschnitt zu k, also einen Kreis k1 bestimmt. Da überdies E1|| Oe ist, so hat die durch O als Centrum und E1 als Bildebene bestimmte Centralprojektion die oben geforderte Eigenschaft. Alle durch unsere Konstruktion erhältlichen Centren O liegen auf einem in A um M beschriebenen Kreise m (vergl. 243).

v

254. Es giebt unendlich viele Centralprojektionen, bei denen einem gegebenen Kreise k ein Kreis und einem von k eingeschlossenen Punkt C der Mittelpunkt des Bildkreises entspricht.

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Es sei AB der durch C gelegte Durchmesserdes Kreises 4 (Fig. 169); ferner teile D mit C die Strecke AB harmonisch und e, ziehe man in D normal zu AB. Dann benutze man die Ebene des Kreises k als Grundriß und die in AB =x auf ihr senkrechte Ebene A als Aufriß und bestimme wie vorher das Centrum O einer Projektion, bei

welcher e, die Verschwindungslinie bildet und k in einen Kreis k, übergeht. Werden die Punkte A, B, C in 41, B1, C1 abgebildet, so entspricht dem vierten

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durch C die auf AB senkrechte Sehne des Kreises k und in einem ihrer Endpunkte F die Tangente zieht, welche AB in D schneidet. CF ist nämlich die Polare von D in Bezug auf k, Pol und Polare teilen aber den Durchmesser AB harmonisch (2387). O kann auf dem in A um D mit dem Radius DF beschriebenen Kreise m willkürlich angenommen werden; E ist || Oe, zu wählen.

255. Zwei gegebene Kreise k und k1 lassen sich so in perspektive Lage bringen, daß drei gegebenen Punkten A, B, C des einen drei gegebene Punkte 4, B, C, des andern entsprechen.

B

M

''

B

B

k'

M

M

Br

-Ꮕ

k

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Wir nehmen beide Kreise in einer Ebene gelegen an und geben für diesen Fall die Konstruktion. Man zeichne den mit k kongruenten und mit k, konzentrischen Kreis k' und bestimme auf ihm die Punkte A', B', C' durch die Radien M11, M1B1 und MC1 (Fig. 170). Dann kann man k' so mit k zur Deckung bringen, daß die Punkte. A, B, C mit A', B', C' resp. perspektiv liegen. Wäre O das Centrum

Fig. 170.

der fraglichen Perspektive, so müßte AOB = L AB'B — L A'AB' sein. Die letzteren beiden Winkel sind aber als Peripheriewinkel über den Bogen AB und A'B' bekannt. O liegt demnach auf einem Kreise, der über der Sehne AB beschrieben ist und den bekannten Winkel AOB als Peripheriewinkel über dieser Sehne faßt. Ganz ebenso liegt 0 auf einem zweiten Kreise über der Sehne BC, der einen bekannten Winkel BOC als zugehörigen Peripheriewinkel faßt. Somit ist O konstruierbar und man erhält A', B', C' in der gesuchten Lage auf k durch die Strahlen OA, OB, OC. Bringt man schließlich k samt den Punkten A, B, C1 in ähnliche Lage zu k und den Punkten A', B', C', indem man O als Ähnlichkeitscentrum ansieht (M,A,|| MA' und von bekannter Größe), so ist auch die perspektive Lage der Kreise k und k1 und der auf ihnen gegebenen Punkte A, B, C resp. A, B, C1 hergestellt.

256. Wir haben uns in diesem Kapitel die Aufgabe gestellt, die Centralprojektionen des Kreises zu studieren. Bisher haben wir indessen nur solche besondere Centralprojektionen oder perspektive Abbildungen des Kreises untersucht, die denselben entweder in einen neuen Kreis oder in sich selbst verwandeln. Die Abbildung eines Kreises in sich selbst hat uns insbesondere zu den Eigenschaften von Pol und Polare geleitet, deren Bedeutung später noch mehr hervortreten wird, und die wir dort noch in anderer Weise ableiten werden. Die räumliche Auffassung des Problems führte uns zum schiefen Kreiskegel und zu dem Resultat, daß auf einem solchen neben den Parallelschnitten zum Basiskreis noch ein zweites System von Kreisschnitten existierte, die wir als Wechselschnitte bezeichneten. Entstehung der Kegelschnitte aus der Centralprojektion des Kreises. Um- und eingeschriebene Polygone.

257. Entgegen den seitherigen Untersuchungen wollen wir uns jetzt mit den Eigenschaften derjenigen Kurven befassen, die aus einem Kreise bei einer ganz beliebigen perspektiven Abbildung hervorgehen. Dabei ist es gleichgültig, ob man die Centralprojektion in der Ebene oder im Raume zu Grunde legen will, da ja die eine in die andere übergeführt werden kann (164). Die Centralprojektion eines Kreises aus einem Raumpunkt auf eine beliebige Ebene ist aber nichts anderes als der Schnitt dieser Ebene mit einem schiefen Kreiskegel. Aus dieser Anschauung heraus bezeichnet man jedes beliebige perspektive Bild eines Kreises als Kegelschnitt. Daß man jede derartige Kurve sogar immer als Schnitt eines geraden Kreiskegels erhalten kann, werden wir später nachzuweisen haben. 8)

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