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aus einem der beiden Punkte X oder T projiziert, hat die Eigenschaft, daß jedes Paar entsprechender Strahlen einen rechten Winkel einschließt und heißt deshalb eine Involution rechter Winkel.

Es mag noch erwähnt werden, daß ein Kreisbüschel von jeder beliebigen Geraden in einer Involution von Punktepaaren und seine gemeinsame Chordale im Mittelpunkt der Involution geschnitten wird, wie ja unmittelbar aus der Eigenschaft der Chordalen folgt.

247. Seither haben wir die Perspektive in der Ebene behandelt, die einen Kreis in einen andern oder in sich selbst überführt. Man kann von jener zur Perspektive oder Centralprojektion im Kaume übergehen, die einen gegebenen Kreis in einen andern oder in einen kongruenten Kreis verwandelt. Denn denkt man sich für die perspektive Lage zweier Kreise in einer Ebene, oder für die eines Kreises mit sich selbst Centrum und Achse bestimmt, so bleibt nur übrig, die eine der beiden perspektiven Figuren um die Achse aus der Ebene herauszudrehen, um räumliche perspektive Lagen der Kreise zu erhalten. Während zwei beliebige Kreise einer Ebene perspektiv liegen, erkennt man schon hieraus, daß zwei perspektive Kreise im Raume sich in einer besonderen Lage zu einander befinden.

Um diese Sache weiter verfolgen zu können, betrachten wir eine zu unserer Untersuchung in nächster Beziehung stehende Figur: den schiefen Kreiskegel.

248. Alle Strahlen, die durch einen festen Punkt S des Raumes nach den Punkten eines festen Kreises k gezogen werden können, liegen auf einer Fläche, die man als schiefen Kreiskegel be

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zeichnet. Der Punkt S heißt die Spitze oder der Scheitel, k der Grundkreis, jene Strahlen die Erzeugenden oder Mantellinien (Kanten) des Kegels. Die vollständige Fläche besteht aus zwei Mänteln (Kegel und Gegenkegel), die in der Spitze zusammenstoßen; die Mantellinien des Gegenkegels sind die Verlängerungen von denen des Kegels und umgekehrt. Jede Ebene durch die Spitze des Kegels schneidet ihn entweder gar nicht (abgesehen von der Spitze), oder sie schneidet ihn in zwei getrennten Mantellinien, oder in zwei zusammenfallenden; im letzten Falle berührt sie ihn längs dieser Mantellinie und heißt Tangentialebene.

Man ziehe nun von der Spitze S einen Strahl nach dem Mittelpunkt M des Kreises k und fälle ferner auf die Ebene des Grundkreises das Lot SN (vergl. die schiefe Ansicht in Fig. 165), so bestimmen diese Linien eine Symmetrieebene A = SMN des Kegels, d. h. zu jeder Mantellinie des Kegels giebt es eine in Bezug auf A symmetrische. Trifft erstere den Grundkreis in P, so trifft die letztere ihn in P', wo P und P' symmetrisch zum Durchmesser MN liegen. — Fallen die Linien SM und SN zusammen, so geht der schiefe Kreiskegel in einen geraden oder Rotationskegel über und alle durch SM gezogenen Ebenen sind Symmetrieebenen. — Rückt die Spitze ins Unendliche, so verwandelt sich der Kegel in einen schiefen Kreiscylinder, dessen Mantellinien sämtlich parallel liegen.

249. Alle Parallelebenen zur Grundkreisebene schneiden den schiefen Kreiskegel in Kurven, die mit k ähnlich sind, also wiederum in Kreisen. Ebenso schneidet jedes System paralleler Ebenen aus dem Kegel ähnliche Kurven aus. Es gilt nun der Satz: Durch zwei Kreise, die sich in perspektiver Lage, aber nicht in parallelen Ebenen befinden, läßt sich stets eine Kugelfläche legen. Ist e die Schnittlinie der Ebenen der beiden Kreise k und Aj, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden. Schneidet e den Kreis k in P und Q, so geht auch ^ durch diese Punkte, da sie sich als Punkte der Perspektivitätsachse selbst entsprechen. Zwei derartige Kreise liegen aber stets auf einer Kugel. Denn die Ebene A welche auf PQ im Mittelpunkt senkrecht steht, enthält nicht nur die Mittelpunkte der Kreise k und kx, sondern auch die in diesen Punkten auf den Kreisebenen errichteten Normalen. Die letzteren schneiden sich somit in einem Punkte O, und eine um O mit dem Radius OP beschriebene Kugel geht durch beide Kreise. Zugleich erkennt man, daß die Ebene A das Centrum S der Perspektive enthält. Die Ebene A schneidet nämlich die Kreise h und \ in zwei Durchmessern AB und AxBx, deren Endpunkte sich in der Perspektive entsprechen müssen, weil die zugehörigen Tangenten als Parallelen zur Achse e sich entsprechen. S erscheint also als Schnittpunkt der Strahlen AAx und BBv S ist der Scheitel eines Kegels, auf dessen Mantel die beiden Kreise h und Aj liegen und der die Ebene A zur Symmetrieebene hat.

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Schneidet dagegen die Achse e die Kreise k und kx nicht, so führt folgende Überlegung zum Ziele. Die Kegelfläche mit der Spitze S, auf der die Kreise k und liegen, schneide man mit einer zur Ebene von Ax parallelen Ebene in einem Kreise h2 so zwar,

h2 und k zwei Punkte P und Q gemein haben. Dann geht nach dem Voranstehenden durch die beiden Kreise k und k2 eine Kugel, und die Ebene A, welche auf PQ im Mittelpunkt senkrecht steht, enthält den Scheitel S des Kegels und ist eine Symmetrieebene desselben. Macht man. die Ebene A zur Projektionsebene, so stellen die in ihr liegenden Durchmesser AB, AxBx und A2B2 der Kreise k, Aj und k2 die orthogonalen Projektionen dieser Kreise dar (Fig. 166). Nun liegen k und h2 auf einer Kugel; sie wird von A in einem größten Kreise / geschnitten, der durch die vier Punkte ABA2B2 geht. Demnach sind die Winkel bei A und B2 einander gleich, da sie auf demselben Bogen A2B stehen, und ebenso die Winkel bei A und Bx, da AxBx|| A2B2 ist. Mithin kann man auch durch die vier Punkte ABAxBx einen

Kreis m legen, und eine Kugel, für welche m ein größter Kreis, also A eine Symmetrieebene ist, enthält wie ersichtlich die beiden Kreise k und hv

Zu jedem der beiden Kreise k und kx giebt es auf dem Kegel ein System von Parallelkreisen, d. h. Kreise in parallelen Ebenen. Da jeder Kreis des einen Systems zu jedem Kreis des andern perspektiv liegt, geht nach unserm Satz durch je zwei solche Kreise eine Kugel. Zwei Kreisschnitte eines Kegels heißen Wechselschnitte, wenn ihre Ebenen nicht parallel sind. Wir haben also den Satz: Durch je zwei Wechselschnitte eines Kegels — Kreisschnitte mit nicht parallelen Ebenen — läßt sich eine Kugelfläche legen.

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250. Eine Umkehrung des soeben bewiesenen Satzes lautet: Kann man durch zwei Kreise eine Kugel legen, so befinden sie sich auch in perspektiver Lage und zwar auf zweifache Weise. Sind k und kx die beiden Kreise und ist e die Schnittlinie ihrer Ebenen, so ziehe man durch den Kugelmittelpunkt eine zu e normale Ebene A. Diese schneidet die Kugel in einem größten Kreise m und steht auf den Ebenen der beiden Kreise k und kx senkrecht; sie enthält also deren Mittelpunkte und je einen Durchmesser, den wir mit AB resp. AxBx bezeichnen (Fig. 166 stellt diese Verhältnisse wieder in orthogonaler Projektion dar). Nun betrachte man den Punkt S = AAx x BBx als Spitze einer Kegelfiäche, die man durch den Kreis kx legt; es ist dann zu zeigen, daß diese Kegelfläche auch durch den Kreis k geht. Das ist aber der Fall, sobald man beweisen kann, daß jeder beliebige Punkt P von k auf derselben liegt. Zu diesem Zwecke ziehe man durch P eine Ebene parallel zu der des Kreises kx, dieselbe wird den Kegel in einem Kreise k2 mit dem Durchmesser A2B2 schneiden. Nach der Voraussetzung liegen die Punkte ABAxBx auf dem Kreise m, und da A2B2|| AxBx ist, liegen auch die Punkte ABA2B2 auf einem Kreise /. Hieraus schließt man weiter, daß die Kreise k und k2 auf einer Kugelfiäche liegen, für die der Kreis / ein größter Kreis ist. Somit müssen sich k und k2 in zwei in Bezug auf A symmetrischen Punkten schneiden, von denen der eine der Punkt P sein muß; P liegt also auch auf dem Kreis k2, d. h. auf der Kegelfläche.

Es giebt noch eine zweite Kegelfläche durch die beiden Kreise k und kx; ihre Spitze wird von dem Schnittpunkt der Geraden ABx und AxB gebildet.

251. Eine andere Umkehrung läßt sich in der Form aussprechen: Schneidet eine Kugel einen Kegel in einem Kreise k, so schneidet sie ihn außerdem in einem zweiten Kreise kx (Wechselschnitt). Zum Beweis gehe man wieder von der Symmetrieebene A des Kegels aus und wähle sie zur Projektionsebene (Fig. 166). Sie schneide h in dem Durchmesser AB, den Kegel in den Mantellinien SA und SB und die Kugel in dem größten Kreise m. SA und SB mögen m noch in Ax und Bx treffen, dann ist AxBx der Durchmesser eines Kugelkreises kx, dessen Ebene auf A senkrecht steht. Nach dem Vorigen gehören aber k und kx als Kreise auf der nämlichen Kugel einem Kegel mit dem Scheitel S = AAx x BBx an, w. z. b. w.

Wir drücken unser Ergebnis noch in einer zweiten Form aus: Durch Centralprojektion eines Kreises auf eine ihn enthaltende Kugel aus einem beliebigen Punkte des Raumes entsteht wieder ein Kreis; bei Parallelprojektion sind beide Kreise kongruent.

252. Es wurde bereits gezeigt, daß jeder schiefe Kreiskegel eine Symmetrieebene A besitzt, die zu den Ebenen aller Kreisschnitte normal ist. Wählt man nun als Wechselschnitte zwei Kreise k und Aj von gleicher Größe, so werden sie von A in den gleich großen Durchmessern AB und AxBx geschnitten (Fig. 167 in schiefer Ansicht). Da wir es mit Wechselschnitten zu thun haben, ist i_ SAB = L SBx AvalsoASAB^A SBxAx; folglich muß auch SA = SBv SAx = SB und A SAE^ A SBxE sein (E= AB x AxB^). Demnach halbiert SE die Winkel ASBx und AxEB. Nennen wir B die Ebene, die in SE auf A senkrecht steht, so ist der eine Wechselschnitt zu dem andern symmetrisch in Bezug auf B, und somit ist B auch eine Symmetrieebene für den Kegel.

In der Figur sind die gleich großen Wechselschnitte k und Aj auf dem nämlichen Kegelmantel genommen. Wählt man jedoch k auf dem einen und Aj auf dem andern Mantel, so kann man die ganzen Betrachtungen wiederholen und gelangt zu einer Symmetrieebene T, die zu A normal ist und den Nebenwinkel von L ASBx halbiert. Je zwei gleich große Wechselschnitte auf verschiedenen Mänteln liegen zu der Ebene T symmetrisch.

Ein schiefer Kreiskegel besitzt drei zu einander senkrechte Symmetrieebenen A, B, T; ihre drei in der Spitze S aufeinander senkrecht stehenden Schnittlinien a = B X V, Ä = TxA, c = AxB heißen die Achsen des Kegels. Es giebt zwei Systeme von Kreisen auf dem Kegel; ihre Ebenen stehen auf A senkrecht und schließen mit. B (ebenso mit T) gleiche Winkel ein.

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