Punktepaaren, deren Doppelpunkte O und der Achsenschnittpunkt R sind und deren Mittelpunkt N ist. Sind P, P, und Q, Q1 die Schnittpunkte des Strahls mit irgend zwei Kreisen des Systems, so ist nach 226:

NP. NP1 = NQ. NQ1,

folglich ist N ein Punkt der gemeinsamen Potenzlinie, oder Chordale beider Kreise, w. z. b. w.

243. Aus der letzten Relation folgt ferner: Zieht man von einem Punkte N der Chordalen an alle Kreise des Systems die Tangenten, so sind die Längen derselben (von N bis zum Berührungspunkte gemessen) sämtlich gleich (= √NP.NP1), d. h. die Berührungspunkte liegen auf einem neuen Kreise mit dem Centrum N. Dieser geht durch die Punkte O und E (die Nullkreise) und schneidet alle Kreise des Systems unter rechtem Winkel (d. h. in jedem Schnittpunkte stehen die beiderlei Kreistangenten aufeinander senkrecht). Da der Punkt N auf der Geraden m beliebig angenommen werden darf, erhält man ein zweites System von unendlich vielen Kreisen, die alle durch die beiden festen Punkte O und E gehen und die Kreise des ersten Systems rechtwinklig kreuzen. Für die Kreise dieses zweiten Systems bildet die Gerade die gemeinsame Chordale; sie ist als der zum System gehörige Kreis mit unendlich großem Radius aufzufassen. Nullkreise treten hier nicht auf.

Bei der involutorischen Perspektive mit dem Centrum O und der Achse e, wird jeder Kreis des ersten Systems in sich selbst übergeführt, dagegen jeder Kreis des zweiten in einen andern Kreis des nämlichen Systems.

244. Das System aller Kreise, die eine gemeinsame Chordale oder Potenzlinie besitzen, bezeichnet man als Kreisbüschel. Demnach bilden die soeben betrachteten Systeme, deren Kreise sich gegenseitig rechtwinklig durchschneiden, zwei Kreisbüschel. Sie liefern uns die Hilfsmittel, um die in 233 gestellten Aufgaben zu lösen, welche die Involution von Punkten betreffen. Sind nämlich von einer Involution zwei Paare entsprechender Punkte P und P1, Q und Q, so schlage man über den Strecken PP, und QQ1 als Durchmesser Kreise p und 9. Dann schneidet ihre gemeinsame Chordale den Mittelpunkt M der Involution und jeder Kreis des Büschels, dem Р und q angehören, ein Punktepaar derselben aus (Fig. 163). Denn für M gilt dann die Relation MP.MP1 = MQ. MQ1 MR. MR, wie es nach 226 für den Mittelpunkt der Involution sein.

=

muß. Für die Nullkreise U und des Büschels ist ferner (MU)2= (MV)2= MP.MP1, sie bilden also die Doppelpunkte der Involution. 245. Schneiden sich die beiden Kreise p und q nicht, so gehören die Paare PP, und QQ, einer entgegenlaufenden Involution an (Fig. 163). In diesem Falle konstruiere man mittels eines Hilfskreises keinen Punkt E der gemeinsamen Potenzlinie von p und 9 nach 234; hierauf ziehe man die Chordale senkrecht zu g und findet damit den Mittelpunkt M der Involution. Legt man aus M eine Tangente MT an einen der Kreise, so schneidet der um M mit dem Radius MT beschriebene Kreis auf g die Doppelpunkte U und V aus. Derselbe Kreis schneide die Chordale in X und Y, dann treffen

je zwei zu einander rechtwinklige Strahlen durch X und Y die Gerade g in einem Punktepaar der Involution, z. B. XR YR1. Denn der Schnittpunkt Z dieser Strahlen muß sowohl auf einem über dem Durchmesser XY, als auf einem über dem Durchmesser RR1 beschriebenen Kreise liegen, und es folgt: MR. MR1 MX. MY = (MV)2.

1

=

246. Schneiden sich die Kreise p und q, so gehören die Paare PP, und QQ, einer gleichlaufenden Involution an (Fig. 164), und die Verbindungslinie der Schnittpunkte X und unserer Kreise geht durch den Mittelpunkt M. Für die Schnittpunkte U und V des über dem Durchmesser XY beschriebenen Kreises mit g besteht die Relation (MU)2 — (MV)2 — — MP.MP1; sie stellen aber keine Doppelpunkte dar, sondern entsprechen sich vertauschbar. Je zwei zu einander rechtwinklige Strahlen durch X treffen die Gerade g in einem Punktepaar der Involution.

=

=

Die Strahleninvolution, welche die betrachtete Punktinvolution

aus einem der beiden Punkte X oder Y projiziert, hat die Eigenschaft, daß jedes Paar entsprechender Strahlen einen rechten Winkel einschließt und heißt deshalb eine Involution rechter Winkel.

Es mag noch erwähnt werden, daß ein Kreisbüschel von jeder beliebigen Geraden in einer Involution von Punktepaaren und seine gemeinsame Chordale im Mittelpunkt der Involution geschnitten wird, wie ja unmittelbar aus der Eigenschaft der Chordalen folgt.

247. Seither haben wir die Perspektive in der Ebene behandelt, die einen Kreis in einen andern oder in sich selbst überführt. Man kann von jener zur Perspektive oder Centralprojektion im Raume übergehen, die einen gegebenen Kreis in einen andern oder in einen kongruenten Kreis verwandelt. Denn denkt man sich für die perspektive Lage zweier Kreise in einer Ebene, oder für die eines Kreises mit sich selbst Centrum und Achse bestimmt, so bleibt nur übrig, die eine der beiden perspektiven Figuren um die Achse aus der Ebene herauszudrehen, um räumliche perspektive Lagen der Kreise zu erhalten. Während zwei beliebige Kreise einer Ebene perspektiv liegen, erkennt man schon hieraus, daß zwei perspektive Kreise im Raume sich in einer besonderen Lage zu einander befinden.

Um diese Sache weiter verfolgen zu können, betrachten wir eine zu unserer Untersuchung in nächster Beziehung stehende Figur: den schiefen Kreiskegel.

248. Alle Strahlen, die durch einen festen Punkt S des Raumes nach den Punkten eines festen Kreises k gezogen werden können, liegen auf einer Fläche, die man als schiefen Kreis kegel be

zeichnet. Der Punkt S heißt die Spitze oder der Scheitel, k der Grundkreis, jene Strahlen die Erzeugenden oder Mantellinien (Kanten) des Kegels. Die vollständige Fläche besteht aus zwei Mänteln (Kegel und Gegenkegel), die in der Spitze zusammenstoßen; die Mantellinien des Gegenkegels sind die Verlängerungen von denen des Kegels und umgekehrt. Jede Ebene durch die Spitze des Kegels schneidet ihn entweder gar nicht (abgesehen von der Spitze), oder sie schneidet ihn in zwei getrennten Mantellinien, oder in zwei zusammenfallenden; im letzten Falle berührt

M

k

sie ihn längs dieser Mantellinie und heißt Tangentialebene.

Man ziehe nun von der Spitze S einen Strahl nach dem Mittelpunkt M des Kreises k und fälle ferner auf die Ebene des Grundkreises das Lot SN (vergl. die schiefe Ansicht in Fig. 165), so bestimmen diese Linien eine Symmetrie ebene A = SMN des Kegels, d. h. zu jeder Mantellinie des Kegels giebt es eine in Bezug auf A symmetrische. Trifft erstere den Grundkreis in P, so trifft die letztere ihn in P', wo P und P' symmetrisch zum Durchmesser MN liegen. Fallen die Linien SM und SN zusammen, so geht der schiefe Kreiskegel in einen geraden oder Rotationskegel über und alle durch SM gezogenen Ebenen sind Symmetrieebenen. Rückt die Spitze ins Unendliche, so verwandelt sich der Kegel in einen schiefen Kreiscylinder, dessen Mantellinien sämtlich parallel liegen.

P

Fig. 165.

249. Alle Parallelebenen zur Grundkreisebene schneiden den schiefen Kreiskegel in Kurven, die mit k ähnlich sind, also wiederum in Kreisen. Ebenso schneidet jedes System paralleler Ebenen aus dem Kegel ähnliche Kurven aus. Es gilt nun der Satz: Durch zwei Kreise, die sich in perspektiver Lage, aber nicht in parallelen Ebenen befinden, läßt sich stets eine Kugelfläche legen. Ist e die Schnittlinie der Ebenen der beiden Kreise k und k1, so hat man zwei Fälle zu unterscheiden. Schneidet e den Kreis k in P und Q, so geht auch k1 durch diese Punkte, da sie sich als Punkte der Perspektivitätsachse selbst entsprechen. Zwei derartige Kreise liegen aber stets auf einer Kugel. Denn die Ebene A welche auf PQ im Mittelpunkt senkrecht steht, enthält nicht nur die Mittelpunkte der Kreise k und k1, sondern auch die in diesen Punkten auf den Kreisebenen errichteten Normalen. Die letzteren

schneiden sich somit in einem Punkte 0, und eine um O mit dem Radius OP beschriebene Kugel geht durch beide Kreise. Zugleich erkennt man, daß die Ebene A das Centrum S der Perspektive enthält. Die Ebene A schneidet nämlich die Kreise k und k ̧ in zwei Durchmessern AВ und ДВ1, deren Endpunkte sich in der Perspektive entsprechen müssen, weil die zugehörigen Tangenten als Parallelen zur Achse e sich entsprechen. S erscheint also als Schnittpunkt der Strahlen AA, und BB1. S ist der Scheitel eines Kegels, auf dessen Mantel die beiden Kreise k und k1 liegen und der die Ebene A zur Symmetrieebene hat.

Kreise k und k, nicht, so
Die Kegelfläche mit der

S

Schneidet dagegen die Achse e die führt folgende Überlegung zum Ziele. Spitze S, auf der die Kreise k und k, liegen, schneide man mit einer zur Ebene von k, parallelen Ebene in einem Kreise k, so zwar, daß k2 und k zwei Punkte P und Q gemein haben. Dann geht nach dem Voranstehenden durch die beiden Kreise k und keine Kugel, und die Ebene A, welche auf PQ im Mittelpunkt senkrecht steht, enthält den Scheitel S des Kegels und ist eine Symmetrieebene desselben. Macht man die Ebene A zur Projektionsebene, so stellen die in ihr liegenden Durchmesser AB, AB, und A,B, der Kreise k, k und ka die orthogonalen Projektionen dieser Kreise dar (Fig. 166). Nun liegen k und k2 auf einer Kugel; sie wird von A in einem größten Kreise / geschnitten, der durch die vier Punkte A ABA, B, geht. Demnach sind die Winkel bei A und B einander gleich, da sie auf demselben Bogen A,B stehen, und ebenso die Winkel bei A und B1, da AB1|| AB2 ist. Mithin kann man auch

2 2

durch die vier Punkte ABA, B, einen

k

m

151

B

P' B

B2

Fig. 166.

Kreis m legen, und eine Kugel, für welche m ein größter Kreis, also A eine Symmetrieebene ist, enthält wie ersichtlich die beiden Kreise k und k1.

Zu jedem der beiden Kreise k und k1 giebt es auf dem Kegel ein System von Parallelkreisen, d. h. Kreise in parallelen Ebenen. Da jeder Kreis des einen Systems zu jedem Kreis des andern perspektiv liegt, geht nach unserm Satz durch je zwei solche Kreise eine Kugel. Zwei Kreisschnitte eines Kegels heißen Wechsel