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sammenfällt, muß es nach 218 auch der andere thun. Wir fassen

diese Resultate in die folgenden Sätze zusammen.

a) Je zwei beliebige Sehnen durch den Pol besitzen vier Endpunkte, deren vier Verbindungslinien sich zweimal zu zwei auf der Polaren schneiden. Dieser Satz liefert die Konstruktion der Polaren zu einem gegebenen Pole.

ß) Jede Sehne durch den Pol bestimmt in ihren Endpunkten zwei Tangenten, die sich auf der Polaren schneiden und umgekehrt.

y) Jede Sehne durch den Pol wird von diesem und der Polaren harmonisch geteilt.

8) Kann man vom Pol aus Tangenten an den Kreis legen, so geht die Polare durch ihre Berührungspunkte.

Je nachdem der Pol außer- oder innerhalb des Kreises liegt, schneidet ihn die Polare, oder sie schneidet ihn nicht. Im besonderen erhält man als Polare des Kreismittelpunktes die unendlich ferne Gerade der Ebene. Tangiert die Polare den Kreis, so ist ihr Berührungspunkt der zugehörige Pol und umgekehrt. Denn legt man aus irgend einem Punkt der Polaren die beiden Tangenten an den Kreis (deren eine in diesem Falle die Polare selbst ist), so muß die Verbindungslinie ihrer Berührungspunkte durch den Pol gehen.

239. Wir haben zu Anfang dieses Kapitels untersucht, in welcher Weise ein Kreis durch Perspektive in einen zweiten Kreis abgebildet werden kann. Die hierbei gewonnenen Resultate haben wir alsdann benutzt, um die perspektive Abbildung eines Kreises in sich selbst abzuleiten. Diese letztere lieferte uns die Eigenschaften von Pol und Polare, welche dabei als Centrum und Achse der Perspektive auftreten. Wir werden späterhin die Beziehungen zwischen Pol und Polare direkt ableiten, gestützt auf einen einfachen Satz über den Kreis (vergl. 267). Daraus können wir dann wieder den Schluß ziehen, daß ein Kreis auf unendlich viele Weisen zu sich selbst perspektiv liegt.

240. Die Perspektive in der Ebene, bei welcher ein Kreis k in sich selbst verwandelt wird, ist von einer besonderen Art, die wir jetzt noch etwas studieren wollen. In 237 fanden wir, daß sich hierbei die Punkte des Kreises paarweise vertauschbar entsprechen, so daß jeder Punkt eines Paares als Bild des andern erscheint. Im Anschluß an dieses Verhalten stellen wir die Definition an die Spitze: Eine Centralprojektion oder Perspektive in der Ebene heißt involutorisch, wjenn je zwei als Original und Bild einander zugeordnete Punkte sich vertauschbar entsprechen. Aus dieser Definition folgt unmittelbar: Jede Punktreihe, welche das Centrum O enthält, liegt mit ihrem Bilde (entgegenlaufend) involutorisch; das Centrum und der Achsenschnittpunkt bilden die Doppelpunkte der Involution. Denn bei einer jeden Perspektive entspricht einer Punktreihe, deren Träger durch das Centrum 0 geht, eine dazu projektive Punktreihe auf dem gleichen Träger. Die Punkte beider Reihen entsprechen sich aber im vorliegenden Falle vertauschbar, die Reihen sind also nach 219 involutorisch. Ferner folgt aus der Definition: Jeder Strahlbüschel, der seinen Scheitel auf der Achse ex hat, liegt mit einem Bilde (entgegenlaufend) involutorisch; die Achse und der Strahl durch das Centrum bilden die 'Doppelstrahlen der Involution. Jede von zwei entsprechenden Punkten begrenzte Strecke wird durch das Centrum und den Schnittpunkt mit der Achse harmonisch geteilt (vergl. 223). Ebenso wird jeder von zwei entsprechenden Geraden eingeschlossene Winkel durch die Achse und den Strahl nach dem Centrum harmonisch geteilt (232). Sind Centrum und Achse einer involutorischen Centralprojektion gegeben, so ist sie völlig bestimmt, denn man kann nach dem Gesagten zu jedem Punkt und jeder Geraden den entsprechenden Punkt und die entsprechende Gerade zeichnen.

Da bei jedem Paare involutorischer Punktreihen die Gegenpunkte (Gv und Gx) im Mittelpunkte der Involution vereinigt liegen, ergiebt sich ferner: Die Verschwindungs- und die Fluchtlinie (ev und ea) einer involutorischen Perspektive fallen in diejenige Parallele zur Achse zusammen, welche deren Abstand vom Centrum halbiert (164).

241. Auf Grund der voranstehenden Erklärungen kann der in 237 ausgesprochene Satz dahin vervollständigt werden: Ein gegebener Kreis wird durch jede involutorische Centralprojektion oder Perspektive in sich übergeführt, deren Centrum O und Achse ex in der Beziehung von Pol und Polare hinsichtlich des Kreises stehen. Denn jeder Strahl durch O schneidet den Kreis in zwei Punkten, die zu O und dem Schnittpunkt mit harmonisch liegen, also sich wechselseitig entsprechen. — Aus den gleichen Gründen erkennt man die Richtigkeit des Satzes: Eine gegebene involutorische Centralprojektion führt alle Kreise der Ebene in sich über, für welche das Centrum und die Achse respektive Pol und Polare bilden. Diese Kreise werden erhalten, wenn man von dem Centrum 0 das Lot OE auf die Achse ex fällt, auf demselben irgend zwei harmonisch

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Fig. 162.

zu O und E liegende Punkte A und Ax aufsucht und über AAx als Durchmesser den Kreis beschreibt (Fig. 162).

242. Von welcher Art ist nun das System der Kreise, die bei einer involutorischen Perspektive in sich selbst abgebildet werden? Die Mittelpunkte aller dieser Kreise liegen wie gesagt auf der Geraden / = OE, und ihre auf l liegenden Durchmesser werden durch O und E harmonisch geteilt. In dem System befinden sich deshalb auch zwei Kreise von verschwindendem Radius (Nullkreise), nämlich die Punkte O und E, ferner ein Kreis von unendlich großem Radius, nämlich die Gerade m, die im Mittelpunkt M von OE auf dieser Geraden senkrecht steht. In der Geraden m fallen zugleich Flucht- und Verschwindungslinie der Perspektive zusammen, und es bildet m für alle Kreise des Systems die gemeinsame Chordale. Ist nämlich N irgend ein Punkt derselben, so schneidet der Strahl ON das Kreissystem in einer Involution von Punktepaaren, deren Doppelpunkte O und der Achsenschnittpunkt R sind und deren Mittelpunkt N ist. Sind P, Pi und Q, die Schnittpunkte des Strahls mit irgend zwei Kreisen des Systems, so ist nach 226:

iVT.iVi^ NQ.NQx,

folglich ist N ein Punkt der gemeinsamen Potenzlinie, oder Chordale beider Kreise, w. z. b. w.

243. Aus der letzten Relation folgt ferner: Zieht man von einem Punkte N der Chordalen an alle Kreise des Systems die Tangenten, so sind die Längen derselben (von N bis zum Berührungspunkte gemessen) sämtlich gleich (= ^NP. NPx), d.h. die Berührungspunkte liegen auf einem neuen Kreise mit dem Centrum N. Dieser geht durch die Punkte O und E (die Nullkreise) und schneidet alle Kreise des Systems unter rechtem Winkel (d. h. in jedem Schnittpunkte stehen die beiderlei Kreistangenten aufeinander senkrecht). Da der Punkt N auf der Geraden m beliebig angenommen werden darf, erhält man ein zweites System von unendlich vielen Kreisen, die alle durch die beiden festen Punkte O und E gehen und die Kreise des ersten Systems rechtwinklig kreuzen. Für die Kreise dieses zweiten Systems bildet die Gerade l die gemeinsame Chordale; sie ist als der zum System gehörige Kreis mit unendlich großem Radius aufzufassen. Nullkreise treten hier nicht auf.

Bei der involutorischen Perspektive mit dem Centrum O und der Achse ex wird jeder Kreis des ersten Systems in sich selbst übergeführt, dagegen jeder Kreis des zweiten in einen andern Kreis des nämlichen Systems.

244. Das System aller Kreise, die eine gemeinsame Chordale oder Potenzlinie besitzen, bezeichnet man als Kreisbüschel. Demnach bilden die soeben betrachteten Systeme, deren Kreise sich gegenseitig rechtwinklig durchschneiden, zwei Kreisbüschel. Sie liefern uns die Hilfsmittel, um die in 233 gestellten Aufgaben zu lösen, welche die Involution von Punkten betreffen. Sind nämlich von einer Involution zwei Paare entsprechender Punkte P und Pj, Q und Qx, so schlage man über den Strecken PPx und QQx als Durchmesser Kreise p und q. Dann schneidet ihre gemeinsame Chordale den Mittelpunkt M der Involution und jeder Kreis des Büschels, dem p und q angehören, ein Punktepaar derselben aus (Fig. 163). Denn für M gilt dann die Relation MP.MP^MQ. MQx = MR.MRx, wie es nach 226 für den Mittelpunkt der Involution sein muß. Für die Nullkreise U und F des Büschels ist ferner (MlTf = (MF)2 = MP. MPx, sie bilden also die Doppelpunkte der Involution.

245. Schneiden sich die beiden Kreise p und q nicht, so gehören die Paare PPx und QQx einer entgegenlaufenden Involution an (Fig. 163). In diesem Falle konstruiere man mittels eines Hilfskreises h einen Punkt E der gemeinsamen Potenzlinie von p und q nach 234; hierauf ziehe man die Chordale senkrecht zu g und findet damit den Mittelpunkt M der Involution. Legt man aus M eine Tangente MT an einen der Kreise, so schneidet der um M mit dem Radius MT beschriebene Kreis auf g die Doppelpunkte U und 7 aus. Derselbe Kreis schneide die Chordale in X und Y, dann treffen

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je zwei zu einander rechtwinklige Strahlen durch X und Y die Gerade g in einem Punktepaar der Involution, z. B. XR J_ YRV Denn der Schnittpunkt Z dieser Strahlen muß sowohl auf einem über dem Durchmesser XY, als auf einem über dem Durchmesser RRx beschriebenen Kreise liegen, und es folgt: MR. MRx = MX.MY= {MF)2.

246. Schneiden sich die Kreise p und q, so gehören die Paare PPj und QQx einer gleichlaufenden Involution an (Fig. 164), und die Verbindungslinie der Schnittpunkte X und Y unserer Kreise geht durch den Mittelpunkt M. Für die Schnittpunkte U und V des über dem Durchmesser XY beschriebenen Kreises mit g besteht die Relation (MU)2 = (MV)2 = -MP.MPx; sie stellen aber keine Doppelpunkte dar, sondern entsprechen sich vertauschbar. Je zwei zu einander rechtwinklige Strahlen durch X treffen die Gerade g in einem Punktepaar der Involution.

Die Strahleninvolution, welche die betrachtete Punktinvolution

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