P und Q, ähnlich liegende Punkte auf k und k, sind und O das zugehörige Ähnlichkeitscentrum ist.

237. Es giebt unendlich viele perspektive Beziehungen oder Centralprojektionen in der Ebene, die einen gegebenen Kreis in sich selbst überführen. Die Achse oder das Centrum der Perspektive kann beliebig angenommen werden. Aus der perspektiven Beziehung eines Kreises zu einem zweiten läßt sich in einfachster Weise auch die perspektive Beziehung eines Kreises zu sich selbst ableiten. Sei k, Gerade in seiner Ebene, so bestimme Bezug auf e, symmetrischen Kreis k.

ein Kreis und e, irgend eine man zunächst den zu k1 in Betrachtet man k, als das

mit k. Nach 163 sind dann auch die Kreise k1 und k。 in perspektiver Lage, d. h. wir haben es mit einer neuen perspektiven Beziehung zu thun, bei welcher der Kreis k, sich selbst entspricht und die beliebige Gerade e, die Perspektivitätsachse ist. Sind ferner P und P, entsprechende Punkte der Kreise k und k1, so gelangt P bei der Umdrehung in die Lage Po, die zu P in Bezug auf e, symmetrisch ist. P1 und P werden entsprechende Punkte der neuen Perspektive, die k1 in sich selbst verwandelt, und die Gerade P1P schneidet auf MM, das Centrum O' derselben aus. Der zu P1 symmetrischePunkt und der Punkt Q1 = Po entsprechen sich ebenfalls als Punkte von k und k1, und nach der Drehung des Kreises k bilden Q1 = Po und Q = P1 entsprechende Punkte von k1 und ko. So sehen wir denn, daß jeder Strahl durch O' den Kreis k1k in zwei = Ο Punkten schneidet, die sich vertauschbar entsprechen, d. h. zu dem ersten als Originalpunkt gehört der zweite als perspektives Bild und zu dem zweiten als Originalpunkt wiederum der erste als perspektives Bild.

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238. Als Achse der Perspektive, die einen Kreis k in sich

selbst verwandelt, kann, wie wir sahen, jede Gerade e in seiner Ebene dienen, das zugehörige Centrum O ist alsdann bestimmt. Wir wollen nun noch etwas näher untersuchen, in welcher Weise Achse und Centrum einer solchen Perspektive miteinander verknüpft sind. Zunächst schicken wir die Definition voraus: Ein Punkt und eine Gerade werden als Pol und Polare in Bezug auf einen Kreis k bezeichnet, wenn sie Centrum und Achse einer Perspektive darstellen, die den Kreis k in sich selbst abbildet. Ziehen wir jetzt durch den Pol O zwei beliebige Strahlen, welche den Kreis k in P und P, resp. Q und Q2 schneiden (Fig. 161), so entsprechen den Originalpunkten P, Q, P1, Q1 die Bildpunkte P1, Q1, P, Q. Demnach schneiden sich die entsprechenden Geraden PQ und P1Q1 in einem

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Fig. 161.

Punkte der Polare e und ebenso die entsprechenden Geraden. PQ1 und PQ in einem Punkte K derselben. Hierin liegt die Konstruktion der Polare zu einem gegebenen Punkt als Pol.

Auch die Tangenten in P und P, entsprechen sich, so daß ihr Schnittpunkt F auf der Polare e liegt, und in gleicher Weise muß sich der Schnittpunkt G der Tangenten in Q und Q, auf der Polare befinden. Ferner schneidet die Polare die Sehnen PP1 und QQ, in Punkten U resp. V, welche mit O zusammen diese Sehnen harmonisch teilen. Denn die Linien PQ, PQ1, P1Q, P1Q1 bilden ein Vierseit, dessen Diagonalschnittpunkte O, U und sind. Liegt O im Innern des Kreises k, so liegen U und als vierte harmonische Punkte auf den verlängerten Sehnen PP1 resp. QQ1; da ein gleiches Verhalten bei allen Sehnen durch O eintritt, schneidet die Polare e den Kreis nicht. Liegt dagegen O außerhalb k, so liegen U und innerhalb, und die Polare schneidet den Kreis in zwei Punkten X und Y. Diese sind die Berührungspunkte der von 0 an den Kreis gelegten Tangenten. Denn OX schneidet k in zwei Punkten, die zu O und X harmonisch liegen, und da einer dieser Schnittpunkte mit X zu

sammenfällt, muß es nach 218 auch der andere thun. Wir fassen
diese Resultate in die folgenden Sätze zusammen.

a) Je zwei beliebige Sehnen durch den Pol besitzen vier
Endpunkte, deren vier Verbindungslinien sich zwei-
mal zu zwei auf der Polaren schneiden. Dieser Satz
liefert die Konstruktion der Polaren zu einem ge-
gebenen Pole.

B) Jede Sehne durch den Pol bestimmt in ihren End-
punkten zwei Tangenten, die sich auf der Polaren
schneiden und umgekehrt.

7) Jede Sehne durch den Pol wird von diesem und der
Polaren harmonisch geteilt.

d) Kann man vom Pol aus Tangenten an den Kreis
legen, so geht die Polare durch ihre Berührungs-
punkte.

Je nachdem der Pol außer- oder innerhalb des Kreises liegt, schneidet ihn die Polare, oder sie schneidet ihn nicht. Im besonderen erhält man als Polare des Kreismittelpunktes die unendlich ferne Gerade der Ebene. Tangiert die Polare den Kreis, so ist ihr Berührungspunkt der zugehörige Pol und umgekehrt. Denn legt man aus irgend einem Punkt der Polaren die beiden Tangenten an den Kreis (deren eine in diesem Falle die Polare selbst ist), so muß die Verbindungslinie ihrer Berührungspunkte durch den Pol gehen.

239. Wir haben zu Anfang dieses Kapitels untersucht, in welcher Weise ein Kreis durch Perspektive in einen zweiten Kreis abgebildet werden kann. Die hierbei gewonnenen Resultate haben wir alsdann benutzt, um die perspektive Abbildung eines Kreises in sich selbst abzuleiten. Diese letztere lieferte uns die Eigenschaften von Pol und Polare, welche dabei als Centrum und Achse der Perspektive auftreten. Wir werden späterhin die Beziehungen zwischen Pol und Polare direkt ableiten, gestützt auf einen einfachen Satz über den Kreis (vergl. 267). Daraus können wir dann wieder den Schluß ziehen, daß ein Kreis auf unendlich viele Weisen zu sich selbst perspektiv liegt.

240. Die Perspektive in der Ebene, bei welcher ein Kreis k in sich selbst verwandelt wird, ist von einer besonderen Art, die wir jetzt noch etwas studieren wollen. In 237 fanden wir, daß sich hierbei die Punkte des Kreises paarweise vertauschbar entsprechen, so daß jeder Punkt eines Paares als Bild des andern erscheint. Im Anschluß an dieses Verhalten stellen wir die Definition an die

Spitze: Eine Centralprojektion oder Perspektive in der Ebene heißt involutorisch, wenn je zwei als Original und Bild einander zugeordnete Punkte sich vertauschbar entsprechen. Aus dieser Definition folgt unmittelbar: Jede Punktreihe, welche das Centrum O enthält, liegt mit ihrem Bilde (entgegenlaufend) involutorisch; das Centrum und der Achsenschnittpunkt bilden die Doppelpunkte der Involution. Denn bei einer jeden Perspektive entspricht einer Punktreihe, deren Träger durch das Centrum O geht, eine dazu projektive Punktreihe auf dem gleichen Träger. Die Punkte beider Reihen entsprechen sich aber im vorliegenden Falle vertauschbar, die Reihen sind also nach 219 involutorisch. Ferner folgt aus der Definition: Jeder Strahlbüschel, der seinen Scheitel auf der Achse e hat, liegt mit einem Bilde (entgegenlaufend) involutorisch; die Achse und der Strahl durch das Centrum bilden die Doppelstrahlen der Involution. Jede von zwei entsprechenden Punkten begrenzte Strecke wird durch das Centrum und den Schnittpunkt mit der Achse harmonisch geteilt (vergl. 223). Ebenso wird jeder von zwei entsprechenden Geraden eingeschlossene Winkel durch die Achse und den Strahl nach dem Centrum harmonisch geteilt (232). Sind Centrum und Achse einer involutorischen Centralprojektion gegeben, so ist sie völlig bestimmt, denn man kann nach dem Gesagten zu jedem Punkt und jeder Geraden den entsprechenden Punkt und die entsprechende Gerade zeichnen.

Da bei jedem Paare involutorischer Punktreihen die Gegenpunkte (G, und G) im Mittelpunkte der Involution vereinigt liegen, ergiebt sich ferner: Die Verschwindungs- und die Fluchtlinie (e, und e) einer involutorischen Perspektive fallen in diejenige Parallele zur Achse zusammen, welche deren Abstand vom Centrum halbiert (164).

241. Auf Grund der voranstehenden Erklärungen kann der in 237 ausgesprochene Satz dahin vervollständigt werden: Ein gegebener Kreis wird durch jede involutorische Centralprojektion oder Perspektive in sich übergeführt, deren Centrum O und Achse e, in der Beziehung von Pol und Polare hinsichtlich des Kreises stehen. Denn jeder Strahl durch schneidet den Kreis in zwei Punkten, die zu O und dem Schnittpunkt mit e, harmonisch liegen, also sich wechselseitig entsprechen. Aus den gleichen Gründen erkennt man die Richtigkeit des Satzes: Eine gegebene involutorische Centralprojektion führt alle Kreise der Ebene in sich über, für welche das Centrum und die Achse respektive Pol und Polare bilden.

Diese Kreise werden erhalten, wenn man von dem Centrum O das Lot OE auf die Achse e, fällt, auf demselben irgend zwei harmonisch

zu O und E liegende Punkte A und 4, aufsucht und über AA, als Durchmesser den Kreis beschreibt (Fig. 162).

242. Von welcher Art ist nun das System der Kreise, die bei einer involutorischen Perspektive in sich selbst abgebildet werden? Die Mittelpunkte aller dieser Kreise liegen wie gesagt auf der Geraden 7 = OE, und ihre auf 7 liegenden Durchmesser werden durch O und E harmonisch geteilt. In dem System befinden sich deshalb auch zwei Kreise von verschwindendem Radius (Nullkreise), nämlich die Punkte O und E, ferner ein Kreis von unendlich großem Radius, nämlich die Gerade m, die im Mittelpunkt M von OE auf dieser Geraden senkrecht steht. In der Geraden m fallen zugleich Flucht- und Verschwindungslinie der Perspektive zusammen, und es bildet m für alle Kreise des Systems die gemeinsame Chordale. Ist nämlich N irgend ein Punkt derselben, so schneidet der Strahl ON das Kreissystem in einer Involution von