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die Perspektivitätsachse e, in Punkten U und V, die mit S resp. S verbunden die gesuchten Strahlen u, v resp. u1, v1 liefern. Aus dieser Konstruktion folgt unmittelbar: Die beiden Geraden, welche Winkel und Nebenwinkel der beiden Doppelstrahlen einer Involution halbieren, sind ihre entsprechenden rechtwinkligen Strah

len.

Aus denselben Gründen wie oben für die Punktreihen folgt noch

der Satz: Bei zwei ent

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X

א

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gegenlaufenden involutorischen Strahlbüscheln werden je zwei einander vertauschbar entsprechende Strahlen durch die Doppelstrahlen harmonisch getrennt.

233. Auch für die involutorischen Strahlbüschel soll noch zum Schluß eine metrische Beziehung abgeleitet werden. Sind aa, und bb, zwei beliebige und ist xx, das rechtwinklige Strahlenpaar einer Involution, so haben wir gleiche Doppelverhältnisse (ab xx ̧) = (a ̧11x ̧x) oder:

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=

=

sin x11 sin xα1
sin x1b1 sin x b1

R ist, so ist: sin

ха

Da aber x α + Lax1 = cos xa, und ähnliche Relationen gelten für die andern Strahlen. Dadurch geht unsere Gleichung über in:

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da ja die beiden Strahlenpaare aa, und bb, völlig beliebig aus der Involution gewählt sind. Dieses Resultat führt zu dem Satz: Je zwei entsprechende Strahlen einer Involution schließen mit einem der beiden sich entsprechenden rechtwinkligen Strahlen zwei Winkel ein, für welche das Produkt ihrer trigonometrischen Tangenten konstant ist.

Sind zwei involutorische Punktreihen oder Strahlbüschel geetwa durch Angabe zweier Paare von einander vertausch

geben

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ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl.

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bar entsprechenden Elementen - so entsteht die Frage nach der Konstruktion ihrer Doppelelemente. Die einfachsten Hilfsmittel hierzu werden wir später kennen lernen.

FÜNFTES KAPITEL.

Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Perspektivität zweier Kreise. Pol und Polare beim Kreise. Involutorische Centralprojektion in der Ebene. Perspektivität zweier Kreise im Raume.

234. Es ist bekannt, daß zwei beliebige Kreise einer Ebene in doppelter Weise als ähnliche und ähnlich liegende Figuren angesehen werden können (vergl. 4). Dabei entsprechen sich die Mittelpunkte und die Endpunkte je zweier paralleler Radien. Sind die Radien gleichgerichtet, so geht die Verbindungslinie ihrer Endpunkte stets durch den äußeren, dagegen durch den inneren Ähnlichkeitspunkt, falls die Radien entgegengesetzte Richtung haben. Die Ähnlichkeit kann als spezieller Fall der Perspektive angesehen werden, wobei die Achse der Perspektive ins Unendliche gerückt ist. Es gilt aber auch weiter noch der Satz: Zwei beliebige Kreise k und k, einer Ebene stehen auf doppelte Weise in perspektiver Beziehung; dabei bildet einer der beiden Ähnlichkeitspunkte das Centrum und ihre gemeinsame Potenzlinie die Achse der Perspektive.

Zur Erklärung erinnern wir an folgende elementare Sätze. Das Streckenprodukt SP. SQ hat für alle durch einen Punkt S gezogenen Sehnen PQ eines Kreises k denselben Wert und heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf den Kreis k. Diese Potenz läßt sich auch in der Form (SM)2-2 schreiben, wenn M das Centrum und der Radius von k ist. Der geometrische Ort aller Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kreise k und k, ist eine Gerade, welche die gemeinsame Potenzlinie oder Chordale genannt wird. Sie steht auf der gemeinsamen Centralen (Verbindungslinie der beiden Kreiscentren) senkrecht, liegt außerhalb der beiden

Kreise, wenn diese sich nicht treffen (Fig. 156), oder verbindet ihre
Schnittpunkte, wenn es solche giebt (Fig. 158). Von diesem letzteren
Umstande rührt die Bezeichnung
Chordale her; daß ihre Punkte in
Bezug auf beide Kreise die gleiche
Potenz haben, ist selbstverständ-
lich. Daß es auch eine gemeinsame,
zur Centralen senkrechte Potenz-
linie giebt, wenn die Kreise k und

sich nicht schneiden, folgt so. Ist S ein beliebiger Punkt gleicher Potenz in Bezug auf k und k1, so ist: (SM)2-2 (SM1)2 — r12. Ist = · 2. ferner E der Fußpunkt des aus S auf die Centrale MM1 gefällten

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P

M M

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P

Fig. 156.

Lotes und subtrahiert man (SE) von dieser Gleichung, so kommt: (EM)2 — r2 — (EM1)2 — r12, also ist auch E ein Punkt gleicher Potenz.

=

2

Für drei Kreise gilt der Satz, daß die drei Potenzlinien, welche je zwei von ihnen bestimmen, sich in einem Punkte schneiden. Denn der Schnittpunkt zweier Potenzlinien ist ein Punkt gemeinsamer Potenz für alle drei Kreise, liegt also auch auf der dritten Potenz

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linie.

Diesen Satz kann man benutzen, um die Potenzlinie zweier sich nicht schneidender Kreise k und k, zu zeichnen. Zieht man nämlich einen beliebigen Hilfskreis, der k und k1 schneidet, dann

h2

schneiden sich die so bestimmten Chordalen in einem Punkt der gesuchten Potenzlinie.

2

235. Wir wollen nun die vorher behauptete perspektive Lage der beiden Kreise k und k1 nachweisen. Dabei ist es gleichgültig, ob die Kreise k und k, sich gegenseitig ausschließen (Fig. 157), oder schneiden (Fig. 158), oder einer den andern einschließt (Fig. 156). Ist der äußere oder innere Ähnlichkeitspunkt der beiden Kreise k und k1, so läßt sich auf den Strahlen durch O jedem Punkt P auf k ein bestimmter Punkt P1 auf k, als entsprechender Punkt zuordnen. Freilich schneidet der Strahl OP aus k1 noch zwei Punkte P1 und P2 aus; aber einer von ihnen, etwa P2, ist der zu P ähnlich liegende Punkt des Kreises k, und ist dadurch charakterisiert, daß die Radien MP und MP, parallel sind. Wir lassen nun je zwei Punkte der Kreise k und keinander entsprechen, die sich auf einem Strahle durch O befinden, aber nicht parallelen Radien angehören, also nicht ähnlich liegen, so z. B. die Punkte P und P, Q und Q u. s. f. Auf diese Weise gehört zu jedem Punkt des einen Kreises ein und nur ein Punkt des andern, und wir werden jetzt zeigen, daß hierdurch die beiden Kreise in perspektive Beziehung gebracht sind. Einerseits laufen ja die Verbindungslinien entsprechender Punkte durch den festen Punkt 0, der das Centrum der Perspektive bildet. Andererseits müssen sich entsprechende Gerade auf einer festen Geraden, der Achse der Perspektive, schneiden. Das ist in der That der Fall, denn eine ganz beliebig gewählte Sehne PQ von k und die entsprechende Sehne P11 von k1 treffen sich immer in einem Punkt der gemeinsamen Potenzlinie e1 beider Kreise, die somit die Achse der Perspektive darstellt. Um dies zu erkennen, beachte man (Figg. 156, 157, 158), daß die Sehnen PQ und PQ, ähnlich liegen, also parallel sind, und daß deshalb aus der Gleichheit der Winkel in P1 und Q2 (als Centriwinkel über dem Kreisbogen P2Q1) die Gleichheit der Winkel in P1 und Q folgt. Hiernach kann man durch die vier Punkte PQPQ, einen Hilfskreis legen, und dieser bestimmt mit k die Chordale PQ und mit k, die Chordale P11; beide müssen sich aber nach dem früher erwähnten Satze auf der gemeinsamen Potenzlinie e1 von k und k1 schneiden.

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236. Wir haben in der vorigen Nummer nachgewiesen, daß die beiden Kreise k und k, sich in perspektiver Lage befinden, wobei wir allerdings von der Annahme ausgingen, daß das Centrum der Perspektive stets einer der beiden Ähnlichkeitspunkte sei. Wir haben nun nachträglich noch den Beweis zu führen, daß in der

That nur ein Ähnlichkeitspunkt das Perspektivitätscentrum bilden kann. Zunächst zeigen wir, daß dieses auf der Centrale MM, liegen muß. Entsprechende Tangenten der Kreise k und k1 schneiden sich auf der Achse e1, deren Lage wir freilich noch nicht kennen. Insbesondere entsprechen den zu e, parallelen Tangenten des einen Kreises die zu e, parallelen Tangenten des andern. Somit entsprechen sich auch ihre Berührungspunkte und die sie verbindenden Durchmesser, die zu e, normal sind. Da sich aber beide als entsprechende Gerade auf der Achse e, schneiden müssen, liegen sie auf der nämlichen Normalen zur Achse. So sehen wir denn, daß die Centrale MM, der beiden Kreise zur Achse e, der Perspektive

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senkrecht ist und als Träger entsprechender Punkte durch das Centrum der Perspektive hindurchgeht.

Sind jetzt P, P1 zwei entsprechende Punkte der Kreise k und k1, so schneidet PP1 auf MM1 das Centrum O aus und trifft die Kreise noch in zwei weiteren entsprechenden Punkten und Q1. Auch die Tangenten an k1 in P1 und Q und ihr Schnittpunkt R1 entsprechen den Tangenten an k in P und Q und deren Schnittpunkt R (Fig. 159); deshalb muß auch RR, durch O gehen. Zugleich sind RM und R1M1 senkrecht zu dem Strahle OP und halbieren die Sehnen PQ und P11 in S resp. S1. Nun sind die rechtwinkligen Dreiecke MPR und M,Q, R, ähnlich und, vom Centrum O aus gesehen, in ähnlicher Lage. Denn MR und MR, sind ähnlich gelegen, und das zu ▲ MPR ähnlich liegende Dreieck mit der Seite M1R1 muß seine dritte Ecke auf OP haben und rechtwinklig sein, da MPR 90° ist. Es giebt aber nur zwei solche Dreiecke, nämlich M1Q1R1 und M1P1R1, also muß eines von ihnen und zwar ▲Μ1Q1R1 zu ▲ MPR ähnlich liegen. Demnach ist MP || M1Q1, so daß

1

=

1

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