Abbildungen der Seite
PDF

einem Paare getrennter Strahlen ein vertauschbares Entsprechen, so ist das Entsprechen auch für die übrigen Strahlen vertauschbar; sie bilden die Strahlenpaare einer Involution. Zwei involutorische Strahlenbüschel sind entweder gleichlaufend, oder entgegenlaufend, je nachdem entsprechende Strahlen sich in gleichem oder entgegengesetztem Sinne drehen. Im letzteren Falle giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen.

229. Zwei Paare entsprechender Strahlen einer Involution bestimmen diese vollständig, und man kann zu jedem weiteren Strahl derselben den entsprechenden konstruieren. Sind etwa aax und bbx zwei Strahlenpaare der Involution und soll zu c der entsprechende Strahl cx gesucht werden,

so ist: [abcex ) = {ABCF) als Schnitt des Büschels, ferner (ABCP) = (Bx AxCQ), da beideReihen aus dem Centrum Cx perspektiv liegen. Weiter ist (B^CQ) = (bxaxccx) und endlich (ajöjccj) = (öj^cjc) nach 190; also wird auch (abcex ) = (a^Cjc), d.h. die Strahlen c und cx entsprechen sich vertauschbar und die Strahlenpaare aax, bbx, ccj gehören einer Involution an. Diese Konstruktion liefert noch den Satz: Verbindet man die drei Paar Gegenecken eines vollständigen Vierseits mit einem beliebigen Punkt seiner Ebene, so erhält man drei Strahlenpaare einer Involution.

230. In jeder Strahleninvolution giebt es ein Paar entsprechender Strahlen, die aufeinander senkrecht stehen. Nach 183 sahen wir, daß es in zwei projektiven Strahlbüscheln zwei entsprechende rechte Winkel giebt, die wie früher mit x ±.y und xi J_ y\ bezeichnet sein mögen. Legen wir nun die beiden projektiven Strahlbüschel so aufeinander, daß die nicht entsprechenden Schenkel der entsprechenden rechten Winkel sich decken, so sind

[graphic][merged small][merged small][ocr errors]

die Büschel in involutorischer Lage und x = yx, y = xx bilden ein Paar rechtwinkliger Strahlen, die sich vertauschbar entsprechen.

Leicht überzeugt man sich, daß bei einer solchen Übereinanderlagerung der beiden Büschel entsprechende gleich große Winkel zur Deckung gelangen, indem die nicht entsprechenden Schenkel dieser Winkel zusammenfallen. Um diese Verhältnisse zu überblicken, bringe man die Strahlbüschel S und Sx in eine solche perspektive Lage, daß die Strahlen x und xx sich decken (Fig. 153). Sind hier a und öj entsprechende Strahlen, so geht die Perspektivitätsachse ex durch A = a x ax und ist zu y\\yx parallel. Wir tragen jetzt am Scheitel S zu beiden Seiten des Strahles x und am Scheitel Sx zu beiden Seiten des Strahles yx den willkürlich gewählten Winkel cp an. Die so erhaltenen neuen Winkelschenkel mögen durch a, d, Cj bezeichnet werden, ihre Schnittpunkte mit derPerspektivitätsachse durch A, B, B, C und die zu ihnen perspektiv liegenden Strahlen durch Qj, ä\, b, c. Dann sind die rechtwinkligen Dreiecke SXA und BXSx ähnlich, da ihre Winkel bei S und B gleich cp

[graphic]

Fig. 153.

[ocr errors][merged small][ocr errors][merged small]

entspricht einer Drehung des Strahles x durch die Lage a hindurch nach y die Drehung des Strahles xx = y durch die Lage ax = b hindurch nach yx = x; wir haben es hier mit entgegenlaufenden

involutorischen Strahlbüscheln zu thun. Im zweiten Fall entspricht einer Drehung des Strahles x durch die Lage a hindurch nach y die Drehung des Strahles xx = y durch die Lage aj = c hindurch nach yx = x; die involutorischen Strahlbüschel sind also hier gleichlaufend.

231. Geht man im speziellen von zwei kongruenten Strahlbüscheln aus und wählt irgend zwei rechtwinklige Strahlen x und y im ersten Büschel, so entsprechen ihnen auch zwei rechtwinklige Strahlen xx und yx im zweiten. Sind ferner a und b zwei andere rechtwinklige Strahlen des ersten Büschels und ax und bx die entsprechenden rechtwinkligen im zweiten, so hat man i_ xa = i_ yb = Z_ xxax = i_ yxbv Nun lege man

beide Büschel so aufeinander, daß y, Fig. 154.

auf x und ^ auf a fällt, dann deckt sich auch xx mit ?/ und ax mit 6; d. h. jetzt sind die beiden Strahlbüschel in involutorischer Lage und die Strahlen jedes der beiden Paare xx^ und aax unserer Involution stehen senkrecht aufeinander. Jedes Strahlenpaar der Involution hat aber die gleiche Eigenschaft, denn der Strahl a war beliebig gewählt. Es giebt eine spezielle Involution von Strahlen, bei der je zwei entsprechende Strahlen zu einander normal sind.

232. Bei zwei entgegenlaufenden involutorischen Strahlbüscheln giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen, bei gleichlaufenden giebtessolcheStrahlen nicht. Die Doppelstrahlen lassen sich leicht konstruieren, wenn man von der in 230 angenommenen perspektiven Lage der beiden Strahlbüschel S und ausgeht. Sind nämlich SU und SxU zwei perspektive Strahlen (Fig. 155) und sollen dieselben bei der Vereinigung der Büschel zur Involution zur Deckung kommen, so maß i_xxux= Lyn sein, und da xx J_ y ist, folgt ux±u. Beschreibt man daher über SSx als Durchmesser einen Kreis, so schneidet er die Perspektivitätsachse ex in Punkten U und V, die mit S resp. Sx verbunden die gesuchten Strahlen u, v resp. ux, vx liefern. Aus dieser Konstruktion folgt unmittelbar: Die beiden Geraden, welche Winkel und Nebenwinkel der beiden Doppelstrahlen einer Involution halbieren, sind ihre entsprechenden rechtwinkligen Strahlen.

[graphic]

Aus denselben Gründen wie oben für die Punktreihen folgt noch der Satz: Bei zwei ent

[graphic]

Fig. 155.

gegehlaufenden involutorischen Strahlbüscheln werden je zwei einander vertauschbar entsprechende Strahlen durch die Doppelstrahlen harm'onisch getrennt.

233. Auch für die involutorischen Strahlbüschel soll noch zum Schluß eine metrische Beziehung abgeleitet werden. Sind aax und bbx zwei beliebige und ist xxx das rechtwinklige Strahlenpaar einer Involution, so haben wir gleiche Doppelverhältnisse (abxxx) = (axb^x) oder:

ainxa sina;,« sina;ja,j sinxff,

sin xb ' sin x^b sin x1bj 'sin xb^

Da aber i_ xa + i_ axx = R ist, so ist: sin x}a = cosxa, und ähnliche Relationen gelten für die andern Strahlen. Dadurch geht unsere Gleichung über in:

tan xa: tan xb ta,nxbx: tan xax;

also findet man:

tan ara. tan xax = tan xb. tan xbx = const.,

da ja die beiden Strahlenpaare aax und bbx völlig beliebig aus der Involution gewählt sind. Dieses Resultat führt zu dem Satz: Je zwei entsprechende Strahlen einer Involution schließen mit einem der beiden sich entsprechenden rechtwinkligen Strahlen zwei Winkel ein, für welche das Produkt ihrer trigonometrischen Tangenten konstant ist.

Sind zwei involutorische Punktreihen oder Strahlbüschel gegeben — etwa durch Angabe zweier Paare von einander vertausch

Rohn u. Papperitz. I. 2. Aufl. 12

bar entsprechenden Elementen — so entsteht die Frage nach der Konstruktion ihrer Doppelelemente. Die einfachsten Hilfsmittel hierzu werden wir später kennen lernen.

FÜNFTES KAPITEL.

Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Perspektivität zweier Kreise. Pol und Polare beim Kreise. Involutorische Centraiprojektion in der Ebene. Perspektivität zweier

Kreise im Raume.

234. Es ist bekannt, daß zwei beliebige Kreise einer Ebene in doppelter Weise als ähnliche und ähnlich liegende Figuren angesehen werden können (yergl. 4). Dabei entsprechen sich die Mittelpunkte und die Endpunkte je zweier paralleler Radien. Sind die Radien gleichgerichtet, so geht die Verbindungslinie ihrer Endpunkte stets durch den äußeren, dagegen durch den inneren Ahnlichkeitspunkt, falls die Radien entgegengesetzte Richtung haben. Die Ähnlichkeit kann als spezieller Fall der Perspektive angesehen werden, wobei die Achse der Perspektive ins Unendliche gerückt ist. Es gilt aber auch weiter noch der Satz: Zwei beliebige Kreise k und einer Ebene stehen auf doppelte Weise in perspektiver Beziehung; dabei bildet einer der beiden Ahnlichkeitspunkte das Centrum und ihre gemeinsame Potenzlinie die Achse der Perspektive.

Zur Erklärung erinnern wir an folgende elementare Sätze. Das Streckenprodukt SP. SQ hat für alle durch einen Punkt S gezogenen Sehnen PQ eines Kreises k denselben Wert und heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf den Kreis k. Diese Potenz läßt sich auch in der Form {SM)2 r2 schreiben, wenn M das Centrum und r der Radius von k ist. Der geometrische Ort aller Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kreise h und kx ist eine Gerade, welche die gemeinsame Potenzlinie oder Chordale genannt wird. Sie steht auf der gemeinsamen Centralen (Verbindungslinie der beiden Kreiscentren) senkrecht, liegt außerhalb der beiden

« ZurückWeiter »