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= KB × JA1 geht, auf dem Träger den Punkt C1 aus. Es sind nämlich die Punkte A, B, C, C1 vom

L

K

Centrum K aus perspektiv zu den Punkten L, M, R, C1; diese sind wiederum vom Centrum Jaus perspektiv zu den Punkten B1, A1, C, C, und die letzteren sind nach 190 projektiv zu den Punkten A1, B1, C1, C. Damit sind aber auch die

A

A,

CB,

B

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Fig. 150.

erstgenannten Punkte zu den letztgenannten projektiv, was unsern Satz beweist. Insbesondere kann man in dieser Weise den Mittelpunkt der Involution als den entsprechenden zum unendlich fernen konstruieren.

Aus unserer Figur folgt zugleich ein weiterer Satz. JMKL sind die Eckpunkte eines vollständigen Vierecks, dessen drei Paar Gegenseiten die Punktepaare A1, BB1 und CC1 der Involution ausschneiden. Jede Gerade schneidet die drei Paar Gegenseiten eines vollständigen Vierecks in drei Punktepaaren einer Involution.

225. Nach 221 gelangen zwei projektive Punktreihen dadurch in involutorische Lage, daß man sie so aufeinander legt, daß ihre Träger und ihre Gegenpunkte sich decken. Man kann sich nun leicht davon überzeugen, daß in der neuen Lage das Entsprechen der Punkte vertauschbar ist. Sind g und g1 die Träger zweier Punktreihen in perspektiver Lage; dann seien G, und G ihre Gegenpunkte, A und 4, irgend zwei entsprechende Punkte und O das Centrum der Perspektive (Fig. 151). Bestimmt man jetzt auf 9 die beiden Punkte B, und C, so daß GAG,C=GB1 ist, dann gilt für die entsprechenden Punkte B und C, die Relation: G 41 = GC1 GB. Denn die Dreiecke AGO

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B

B

Fig. 151.

ལས

G

A

-91

=

v

und OG 41 sind ähnlich, also wird:

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GA. GA1 = OG. OG Ebenso sind die Dreiecke BG,O und OG B1 ähnlich und es folgt: GB. GB, OG. OG· Die rechten Seiten dieser Gleichungen

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sind identisch und somit folgt aus GB, GA die Gleichheit

der Strecken G,B= GA1. In gleicher Weise ergiebt sich auch GB = GC1.

=

Bringt man nun die Träger g und g1 und zugleich G, mit G zur Deckung, so kann das in doppelter Weise geschehen. Im einen Fall deckt sich A mit B, und B mit 4,; die Punkte A B1 und B = A1 entsprechen sich dann vertauschbar. Im andern Fall deckt sich B mit C und C mit B1; hierbei entsprechen sich also die Punkte B C1 und C B1 vertauschbar. Da der Punkt der Reihe g beliebig gewählt wurde, so erkennt man die Richtigkeit der obigen Behauptung.

=

=

=

MA
MB

1: =

MA1
MB1'

226. Zum Schluß mag noch einer metrischen Beziehung bei den involutorischen Reihen gedacht werden. Zu den Punkten A, B, M, o sind die Punkte 1, B1, ∞, M projektiv; wobei M der Mittelpunkt der Involution und ihr unendlich ferner Punkt ist. Aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse (ABM) und ∞ A (A,B,M) ergiebt sich denn = 1. Daraus folgt ∞ B weiter: MA. MA1 MB. MB. Da aber A4, und BB1 ganz willkürliche Punktepaare der Involution sind, so gilt der Satz: Das Produkt der Abstände je zweier entsprechender Punkte einer Involution von ihrem Mittelpunkt ist konstant. Hat dieses Produkt einen positiven Wert +c, so bestimmen sich die Doppelpunkte U = U1 und V = V durch die Relation: (MU)2 (MV)2= +c, während für den negativen Wert eine solche Gleichung nicht existieren kann.

1

1

c

227. Die obigen Definitionen und Sätze lassen sich mit Leichtigkeit auf die übrigen einförmigen Grundgebilde ausdehnen. Ebenso wie für Punktreihen auf derselben Geraden gelten sie auch für Strahlbüschel mit demselben Scheitel und in derselben Ebene und für Ebenenbüschel mit derselben Achse. Man erhält z. B. zwei involutorische Strahlbüschel oder eine Involution von Strahlen, wenn man zwei involutorisch liegende Punktreihen aus einem außerhalb gelegenen Centrum projiziert, und analog erhält man eine Involution von Ebenen durch Projektion aus einer Strahleninvolution. Umgekehrt ergiebt jeder ebene Schnitt einer Ebeneninvolution eine solche von Strahlen und jeder geradlinige Schnitt einer Strahleninvolution eine solche von Punkten. Es mag hier genügen, das Wichtigste bezüglich der involutorischen Strahlbüschel hervorzuheben.

228. Zwei projektive Strahlbüschel mit gemeinsamem Scheitel liegen involutorisch, wenn zwischen ihren Strahlen ein vertauschbares Entsprechen stattfindet. Besteht zwischen

einem Paare getrennter Strahlen ein vertauschbares Entsprechen, so ist das Entsprechen auch für die übrigen Strahlen vertauschbar; sie bilden die Strahlenpaare einer Involution. Zwei involutorische Strahlenbüschel sind entweder gleichlaufend, oder entgegenlaufend, je nachdem entsprechende Strahlen sich in gleichem oder entgegengesetztem Sinne drehen. Im letzteren Falle giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen.

229. Zwei Paare entsprechender Strahlen einer Involution bestimmen diese vollständig, und man kann zu jedem weiteren Strahl derselben den entsprechenden konstruieren. Sind etwa aa, und bb, zwei Strahlenpaare der Involution und soll zu e der entsprechende Strahl c1 gesucht werden,

P

b

B

so wähle man auf c einen beliebigen Punkt C und ziehe durch ihn zwei beliebige Strahlen (Fig. 152). Der eine von ihnen mag a in A und b in B, der andere mag a1 in A1 und b1 b, in B, schneiden; dann liegt der Schnittpunkt C1 = A,B X AB auf einem Strahle c1, der mit c ein Strahlenpaar der Involution bildet. Zum Beweise bezeichne man noch P=c, AB und Q=c1 × 4, B1, so ist: (abcc,) = (ABCP) als Schnitt des Büschels, ferner (ABCP) (B14, CQ), da beide Reihen aus dem Centrum C, perspektiv liegen. Weiter ist (B11CQ) = (b1a1cc1) und endlich (b1 a1cc1) = (a1b1 c1c) nach 190; also wird auch (abcc1) = (a,b11 c), d. h. die Strahlen c und c1 entsprechen sich vertauschbar und die Strahlenpaare aa1, bb1, cc1 gehören einer Involution an. Diese Konstruktion liefert noch den Satz: Verbindet man die drei Paar Gegenecken eines vollständigen Vierseits mit einem beliebigen Punkt seiner Ebene, so erhält man drei Strahlenpaare einer Involution.

1

α

α

Fig. 152.

1

=

230. In jeder Strahleninvolution giebt es ein Paar entsprechender Strahlen, die aufeinander senkrecht stehen. Nach 183 sahen wir, daß es in zwei projektiven Strahlbüscheln zwei entsprechende rechte Winkel giebt, die wie früher mit xy und x11 bezeichnet sein mögen. Legen wir nun die beiden projektiven Strahlbüschel so aufeinander, daß die nicht entsprechenden Schenkel der entsprechenden rechten Winkel sich decken, so sind

die Büschel in involutorischer Lage und z = y1, y = x, bilden ein y=x, Paar rechtwinkliger Strahlen, die sich vertauschbar entsprechen.

Leicht überzeugt man sich, daß bei einer solchen Übereinanderlagerung der beiden Büschel entsprechende gleich große Winkel zur Deckung gelangen, indem die nicht entsprechenden Schenkel dieser Winkel zusammenfallen. Um diese Verhältnisse zu überblicken, bringe man die Strahlbüschel S und S, in eine solche perspektive Lage, daß die Strahlen x und x1 sich decken (Fig. 153). Sind hier a und a1 entsprechende Strahlen, so geht die Perspektivitätsachse e1 durch 4 = axa, und ist zu yy, parallel. Wir tragen jetzt am Scheitel S zu beiden Seiten des Strahles x und am Scheitel S1 zu beiden Seiten des Strahles y, den willkürlich gewählten Winkel

A

an. Die so erhaltenen neuen Winkelschenkel mögen durch a, d, b1, C1 bezeichnet werden, ihre Schnittpunkte mit derPerspektivitätsachse durch A, D, B, C und die zu ihnen perspektiv liegenden Strahlen durch a1, d1, b, c. Dann sind die rechtwinkligen Dreiecke SXA und BXS, ähnlich, da ihre Winkel bei S und B gleich q

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sind, also: SX: XA = BX: XS. Folglich sind auch die rechtwinkligen Dreiecke SXA und BXS ähnlich und es ist: ≤ BSX = ≤ S1AX, Bezeichnet man die Größe dieser beiden

=

oder bx Lay

Winkel mit , so kommt:

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x1

Man kann nun beide Büschel S und S, zur Deckung bringen, indem man x mit y und y, mit x zusammenfallen läßt. Das kann aber noch in doppelter Weise geschehen, wie die Figg. 154 a und 154 b erkennen lassen. Im ersten Fall decken sich die gleichen. Winkel ab und b1a, sowie cd und de; im zweiten Fall decken sich die Winkel ac und ca1, sowie bd und d1b1. Im ersten Fall entspricht einer Drehung des Strahles a durch die Lage a hindurch

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Y1

nach y die Drehung des Strahles x, y durch die Lage a1 = b hindurch nach y1 = x; wir haben es hier mit entgegenlaufenden involutorischen Strahlbüscheln zu thun. Im zweiten Fall entspricht einer Drehung des Strahles x durch die Lage a hindurch nach y die Drehung des Strahles 1 = y durch die Lage = c hindurch nach die involutorischen Strahlbüschel sind also

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d

Fig. 154.

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x1

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x;

ersten

231. Geht man im speziellen von zwei kongruenten Strahlbüscheln aus und wählt irgend zwei rechtwinklige Strahlen x und y im Büschel, so entsprechen ihnen auch zwei rechtwinklige Strahlen X1 und У 1 im zweiten. Sind ferner a und b zwei andere rechtwinklige Strahlen des ersten Büschels und a1 und 1 die entsprechenden rechtwinkligen im zweiten, so hat man ▲ xa = Lyb Nun lege man

=

=

beide Büschel so aufeinander, daß Y1 auf x und b1 auf a fällt, dann deckt sich auch mit y und a, mit b; d. h. jetzt sind die beiden X1 Strahlbüschel in involutorischer Lage und die Strahlen jedes der beiden Paare xx1 und ααι unserer Involution stehen senkrecht aufeinander. Jedes Strahlenpaar der Involution hat aber die gleiche Eigenschaft, denn der Strahl a war beliebig gewählt. Es giebt eine spezielle Involution von Strahlen, bei der je zwei entsprechende Strahlen zu einander normal sind.

232. Beizwei entgegenlaufenden involutorischen Strahlbüscheln giebt es zwei sich selbst entsprechende oder Doppelstrahlen, bei gleichlaufenden giebt es solche Strahlen nicht. Die Doppelstrahlen lassen sich leicht konstruieren, wenn man von der in 230 angenommenen perspektiven Lage der beiden Strahlbüschel S und S, ausgeht. Sind nämlich SU und SU zwei perspektive Strahlen (Fig. 155) und sollen dieselben bei der Vereinigung der Büschel zur Involution zur Deckung kommen, so muß Beschreibt x11 = yu sein, und da x1y ist, folgt u1 I u. man daher über SS, als Durchmesser einen Kreis, so schneidet er

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