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215. In zwei projektiven Punktreihen (Strahlbüscheln) haben vier beliebige Punkte der einen Reihe (Strahlen des einen Büschels) das gleiche Doppelverhältnis wie die entsprechenden Punkte der andern Reihe (Strahlen des andern Büschels). Bringt man nämlich beide Reihen in perspektive Lage, so erscheinen sie als Schnitte eines und desselben Strahlbüschels. Nach dem voraufgehenden Satze haben dann zweimal vier Punkte, die sich in beiden Reihen entsprechen, das gleiche Doppelverhältnis wie die vier Strahlen, welche sie ausschneiden. Bringt man zwei projektive Strahlbüschel in perspektive Lage, so schneiden sich ihre entsprechenden Strahlen in den Punkten einer Geraden. Je zweimal vier Strahlen, die sich in beiden Büscheln entsprechen, haben das gleiche Doppelverhältnis wie die vier Punkte der Geraden, in denen sie sich schneiden.

216. Es gilt auch ganz allgemein der Satz: In zwei projektiven einförmigen Grundgebilden (Punktreihen, Strahlbüschel, Ebenenbüschel) weisen je vier Elemente des einen Gebildes das gleiche Doppelverhältnis auf wie die entsprechenden des andern. Für Punktreihen und Strahlbüschel ist der Beweis schon geführt; und er gilt offenbar in seiner ganzen Allgemeinheit, sobald gezeigt wird, daß vier Ebenen A, B, г, ▲ eines Büschels das gleiche Doppelverhältnis besitzen wie die vier Geraden a, b, c, d, die eine beliebige Ebene, oder wie die vier Punkte A, B, C, D, die eine beliebige Gerade aus ihnen ausschneidet. Legt man aber zur Achse des Ebenenbüschels einen Normalschnitt, so ist das Doppelverhältnis der von ihm ausgeschnittenen Strahlen a', b', c', d' gleich demjenigen der vier Ebenen, da ja je zwei dieser Strahlen den Winkel der bezüglichen Ebenen messen (a'b' = L AB, u. s. f.). Ferner sind auch die Doppelverhältnisse (abcd) und (a'b'c'd') gleich, da beide Strahlbüschel perspektiv sind; somit kommt: (abcd): (АВГД). Daß auch die vier Punkte ABCD das gleiche Doppelverhältnis besitzen, erkennt man, wenn man von einem Punkt auf der Achse des Ebenenbüschels vier Strahlen nach ihnen zieht. Denn diese vier Strahlen haben sowohl mit den vier Punkten der Reihe, als mit den vier Ebenen des Büschels das gleiche Doppelverhältnis. Damit ist unser Satz bewiesen.

=

217. Vom letzten Satze giebt es auch eine Umkehrung, die in gleicher Allgemeinheit gilt. Es genügt indessen den speziellen

Satz zu beweisen: Damit vier Punkte A, B, C, D und vier Strahlen a, b, c, d in perspektive Lage gebracht werden können, ist notwendig und hinreichend, daß ihre entsprechenden Doppelverhältnisse gleich sind. Aus diesem Satz folgt dann unmittelbar, daß man auch zweimal vier Punkte zweier Reihen, oder zweimal vier Strahlen zweier Büschel bei gleichem Doppelverhältnis in perspektive Lage bringen kann. Zum Beweise unseres Satzes verschieben wir den Träger der Punkte A, B, C, D so, daß A, B und C resp. auf a, b und c zu liegen kommen (175); dann ist zu zeigen, daß auch d durch den Punkt D geht. Schnitte nun d den Träger der Punktreihe bei seiner neuen Lage im Punkte D', so wäre:

woraus

(ABCD) = (abcd) = (ABCD'),

DA: DB = D'A: D'B, oder (DA — DB): DB = (D'A — D'B) : D'B folgt, und da das erste und dritte Glied der Proportion gleich sind, muß auch DB = D'B sein, d. h. D' muß mit D zusammenfallen.

218. Teilen die Punkte C, D das Punktepaar A, B harmonisch, so sind ihre Abstandsverhältnisse in Bezug auf dieses Paar entgegengesetzt gleich und das Doppelverhältnis der vier Punkte hat den Wert 1. Nach 195 sind die Punkte A, B, C, D projektiv zu den Punkten B, A, C, D; sie haben also das gleiche Doppelverhältnis, und es ist:

CA DA CB DB

CB DB CA DA

Die rechte Seite der Gleichung ist der reciproke Wert der linken, folglich muß das Doppelverhältnis den Wert 1 aufweisen. Der Wert + 1 ist aber ausgeschlossen, sonst müßte C mit D zusammenfallen. Damit ist unsere Behauptung erwiesen, daß (ABCD) = − 1, oder

CA
CB

-

=

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DA

ist. ᎠᏴ

Auch für die harmonische Lage von vier Strahlen a, b, c, d gilt die Relation: (abcd) = 1. Halbieren die Strahlen c und d im speziellen den Winkel und Nebenwinkel der Strahlen a und b, so sind ihre Sinusverhältnisse in Bezug auf die letzteren gleich der negativen und positiven Einheit, sie liegen also harmonisch (vergl. 204). Halbiert der Punkt C die Strecke AB und fällt der Punkt D ins Unendliche, so werden ihre Abstandsverhältnisse ebenfalls gleich der negativen und positiven Einheit, d. h. die vier Punkte liegen harmonisch (vergl. 204).

Daß unter den vier Punkten A, B, C, D, ohne ihre harmonische Beziehung zu zerstören, die in 199 angegebenen Vertauschungen stattfinden können, drückt sich in der Gleichheit der acht Doppelverhältnisse aus:

=

(ABCD) = (BACD) = (ABDC) = (BADC) = (CDAB) = (DCAB) = =(CDBA) = (DCBA) = — 1.

Involutorische Grundgebilde.

219. Zwei projektive Punktreihen auf dem nämlichen Träger befinden sich in involutorischer Lage, wenn jedem Punkt des Trägers, mag man ihn zur ersten oder zweiten Reihe rechnen, der nämliche Punkt in der andern Reihe. entspricht. Sind ABCDE.... und A,B1С1D12 ... solche Reihen, so entspricht also dem Punkte A der ersten Reihe der Punkt 4, der zweiten, aber auch zugleich dem Punkte A der zweiten Reihe der Punkt A, in der ersten. Und in gleicher Weise findet überhaupt zwischen den Punkten des gemeinsamen Trägers ein vertauschbares (doppeltes) Entsprechen statt. Dabei werden also die Punkte des Trägers in Paare A1, BB1, CС1, DD1, EE1,.... .. geordnet, und die Punkte eines jeden Paares entsprechen sich, einerlei welchen man von ihnen als zur ersten und welchen als zur zweiten Reihe gehörig ansieht. In Rücksicht auf diesen Umstand sagt man: Die Punktepaare 1⁄4Â, ÂÂ1, CС1, DD1, sind involutorisch, oder sie bilden eine Involution.7)

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220. Daß man zwei projektive Punktreihen stets in involutorische Lage bringen kann, werden wir weiterhin sehen. Zunächst stellen wir den Satz auf: Zwei projektive. Punktreihen auf dem nämlichen Träger sind involutorisch, sobald es ein Paar getrennter (nicht zusammenfallender) Punkte giebt, die sich vertauschbar entsprechen. Sind nämlich A, A, B, C, D, .. und A1, A, B1, C1, D1,... entsprechende Punkte der projektiven Reihen und entspricht dem Punkte B1 der ersten Reihe in der zweiten der Punkt B', so sind die vier Punkte 4, A, B, B, projektiv zu den vier Punkten 1, A, B1, B′ und nach 190 auch zu den vier Punken A, Д1, B', B1. Nun fallen aber drei Punkte der Reihe 4, 41, B, B1 mit den entsprechenden der projektiven Reihe A, A, B', B, zusammen, folglich müssen nach 180 auch B' und B sich decken. Demnach findet auch zwischen den Punkten B und B1 der gegebenen Reihen ein vertauschbares Entsprechen statt; damit ist aber unser Satz bewiesen.

1

Insbesondere entspricht dem unendlich fernen Punkt des Trägers,

mag man ihn als Punkt der ersten oder zweiten Reihe nehmen, der nämliche Punkt in der andern Reihe. Die Gegenpunkte der beiden projektiven Reihen decken sich also bei involutorischer Lage. Dieser Punkt heißt der Mittelpunkt der Involution, er bildet mit dem unendlich fernen Punkt zusammen ein Punktepaar desselben.

221. Zwei beliebige projektive Punktreihen kann man in involutorische Lage bringen, indem man die eine so verschiebt, daß ihre Träger und ihre Gegenpunkte sich decken. Denn dann bildet dieser Punkt mit dem unendlich fernen Punkt ein Paar sich vertauschbar entsprechender Punkte beider Reihen; deshalb muß nach dem Satz der vorangehenden Nummer das Entsprechen der Punkte beider Reihen immer ein vertauschbares sein, und die Reihen liegen involutorisch.

222. Liegen zwei projektive Punktreihen auf der nämlichen Geraden, so hat man bezüglich ihrer Anordnung zwei verschiedene Fälle zu unterscheiden. Wir lassen einen Punkt der ersten Reihe den Träger in einer bestimmten Richtung durchlaufen. Dann wird der entsprechende Punkt der zweiten Reihe den Träger entweder ebenfalls in der gleichen Richtung wie der erste Punkt durchlaufen, oder in der dazu entgegengesetzten Richtung. Im ersten Falle nennt man die projektiven Punktreihen auf dem nämlichen Träger gleichlaufend, im zweiten Falle entgegenlaufend.

A

A

B1

U-U, AMB V-V, B1
Fig. 149a u. b.

Sind zwei involutorische Punktreihen gleichlaufend, und bilden 44, irgend ein Paar entsprechender Punkte, dann entspricht jedem Punkt auf der Strecke B M A, AA, ein Punkt außerhalb; sind sie aber entgegenlaufend, dann entspricht jedem Punkt auf der Strecke AA1 wieder ein solcher Punkt und jedem Punkt außerhalb wieder ein Punkt außerhalb. Denn bewegt sich im ersten Falle (Fig. 149a) ein Punkt der ersten (oder zweiten) Reihe von A nach 4, so bewegt sich der entsprechende Punkt von 4, ins Unendliche und auf der andern Seite aus dem Unendlichen zurückkommend nach 4; es liegen also niemals beide Punkte gleichzeitig auf der Strecke A4. Bewegt sich aber im zweiten Fall (Fig. 149b) ein Punkt der ersten (oder zweiten) Reihe von A nach 41, so bewegt sich der entsprechende Punkt von A1 in entgegengesetzter Richtung nach A; es liegen also beide Punkte. gleichzeitig auf der Strecke AA, oder gleichzeitig außerhalb der

selben. Wenden wir dieses Resultat auf den Mittelpunkt und den entsprechenden unendlich fernen Punkt der Reihen an, so kommt der Satz: Bei gleichlaufenden involutorischen Punktreihen wird jedes Paar entsprechender Punkte durch den Mittelpunkt der Involution getrennt, bei entgegenlaufenden Reihen geschieht dies nicht. In Fig. 149 ist der Mittelpunkt mit M bezeichnet.

223. Entgegenlaufende involutorische Reihen besitzen zwei sich selbst entsprechende Punkte oder Doppelpunkte der Involution; diese liegen zu jedem Punktepaar der Involution harmonisch. Gleichlaufende involutorische Reihen besitzen solche Doppelpunkte nicht.

Nach dem Vorhergehenden ist das letztere selbstverständlich. Bei entgegenlaufenden Reihen muß ein Punkt, der sich von A nach A bewegt, einmal seinem entsprechenden, der sich von nach A bewegt, auf dieser Strecke begegnen, das liefert den einen Doppelpunkt UU, (Fig. 149b). Bewegt sich aber der erstere Punkt von A durchs Unendliche nach 41, so bewegt sich der letztere von A1 durchs Unendliche nach A, und wiederum muß eine Begegnung stattfinden, aber dieses Mal außerhalb der Strecke AA,, das liefert den andern Doppelpunkt V1. Den Punkten 4, A,, U, V der einen Reihe entsprechen die Punkte A, A, U, V der andern; wenn aber die Punkte 4, 4, U, V zu den Punkten 4, 4, U, V projektiv sind, so liegen sie nach 195 harmonisch. Der Mittelpunkt bildet mit dem unendlich fernen Punkt des Trägers zusammen ein Punktepaar der Involution. Dieses Paar liegt ebenfalls zu den Doppelpunkten harmonisch; folglich halbiert der Mittelpunkt einer Involution die Entfernung ihrer beiden Doppelpunkte.

= 1°

224. Kennt man von einer Involution zwei Paare entsprechender Punkte Д, und BB1, so ist die Involution bestimmt und man kann zu jedem weiteren Punkt den entsprechenden konstruieren. Sei etwa C ein beliebiger Punkt der Involution und C1 der entsprechende, dann müssen diese beiden Punkte nur die Bedingung erfüllen, daß die vier Punkte A, B, C, C1 projektiv zu den vier Punkten 1, B1, С1, С sind. Es besteht ja alsdann ein vertauschbares Entsprechen zwischen C, C1 und somit nach 220 auch zwischen A, 41, sowie zwischen B,

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Zur Konstruktion ziehe man durch C eine beliebige Gerade und wähle auf ihr zwei beliebige Punkte und K (Fig. 150). Darauf verbinde man K mit A und B, sowie J mit A, und B1; dann schneidet die Gerade, welche durch L = KA× JB1 und M

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