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Daß unter den vier Punkten A, B, C, B, ohne ihre harmonische Beziehung zu zerstören, die in 199 angegebenen Vertauschungen stattfinden können, drückt sich in der Gleichheit der acht Doppelverhältnisse aus:

{ABCJD) = (BACB) = [ABBC) = {BABO) = [CD AB) = (BCAB) = = (CBBA) = {BCBA) = - 1.

Involutorische Grundgebilde.

219. Zwei projektive Punktreihen auf dem nämlichen Träger befinden sich in involutorischer Lage, wenn jedem Punkt des Trägers, mag man ihn zur ersten oder zweiten Reihe rechnen, der nämliche Punkt in der andern Reihe

entspricht. Sind ABCBE und A,BxCxBxEx solche

Eeihen, so entspricht also dem Punkte A der ersten Reihe der Punkt Ax der zweiten, aber auch zugleich dem Punkte A der zweiten Reihe der Punkt Ax in der ersten. Und in gleicher Weise findet überhaupt zwischen den Punkten des gemeinsamen Trägers ein vertauschbares (doppeltes) Entsprechen statt. Dabei werden also die Punkte des Trägers in Paare AAx, BBx, CCx, BBv EEx,. . . . geordnet, und die Punkte eines jeden Paares entsprechen sich, einerlei welchen man von ihnen als zur ersten und welchen als zur zweiten Reihe gehörig ansieht. In Rücksicht auf diesen Umstand sagt man: Die Punktepaare AAx, BBx, CCx, BBx, sind involutorisch, oder sie bilden eine Involution.7)

220. Daß man zwei projektive Punktreihen stets in involutorische Lage bringen kann, werden wir weiterhin sehen. Zunächst stellen wir den Satz auf: Zwei projektive Punktreihen auf dem nämlichen Träger sind involutorisch, sobald es ein Paar getrennter (nicht zusammenfallender) Punkte giebt, die sich vertauschbar entsprechen. Sind nämlich A, Av B,C,B,. . , und Ax, A, Bx, Cx, Bx, . . . entsprechende Punkte der projektiven Reihen und entspricht dem Punkte Bx der ersten Reihe in der zweiten der Punkt B', so sind die vier Punkte A, Ax, B, Bx projektiv zu den vier Punkten Av A, Bv B ' und nach 190 auch zu den vier Punken A, Ax, B', Bx. Nun fallen aber drei Punkte der Reihe A, Ax, B, Bx mit den entsprechenden der projektiven Reihe A, Ax, B', Bx zusammen, folglich müssen nach 180 auch B' und B sich decken. Demnach findet auch zwischen den Punkten B und Bx der gegebenen Reihen ein vertauschbares Entsprechen statt; damit ist aber unser Satz bewiesen.

Insbesondere entspricht dem unendlich fernen Punkt des Trägers, mag man ihn als Punkt der ersten oder zweiten Reihe nehmen, der nämliche Punkt in der andern Reihe. Die Gegenpunkte der beiden projektiven Reihen decken sich also bei involutorischer Lage. Dieser Punkt heißt der Mittelpunkt der Involution, er bildet mit dem unendlich fernen Punkt zusammen ein Punktepaar desselben.

221. Zwei beliebige projektive Punktreihen kann man in involutorische Lage bringen, indem man die eine so verschiebt, daß ihre Träger und ihre Gegenpunkte sich decken. Denn dann bildet dieser Punkt mit dem unendlich fernen Punkt ein Paar sich vertauschbar entsprechender Punkte beider Reihen; deshalb muß nach dem Satz der vorangehenden Nummer das Entsprechen der Punkte beider Reihen immer ein vertauschbares sein, und die Reihen liegen involutorisch.

222. Liegen zwei projektive Punktreihen auf der nämlichen Geraden, so hat man bezüglich ihrer Anordnung zwei verschiedene Fälle zu unterscheiden. Wir lassen einen Punkt der ersten Reihe den Träger in einer bestimmten Richtung durchlaufen. Dann wird der entsprechende Punkt der zweiten Reihe den Träger entweder ebenfalls in der gleichen Richtung wie der erste Punkt durchlaufen, oder in der dazu entgegengesetzten Richtung. Im ersten Falle nennt man die projektiven Punktreihen auf dem nämlichen Träger gleichlaufend, im zweiten Falle entgegenlaufend.

Sind zwei involutorische Punktreihen gleichlaufend, und

bilden AAx irgend ein Paar entsprechender Punkte, dann entspricht

_ „ . „ jedem Punkt auf der Strecke

A B M A, A

AAx ein Punkt außerhalb; sind sie aber entgegenlauA U~U, A,MB F-V, B, fend, dann entspricht jedem

—° ~ ° <^—o-° °- Punkt auf der Strecke AA,

Fig. 149a u. b. \

wieder ein solcher Punkt und

jedem Punkt außerhalb wieder ein Punkt außerhalb. Denn bewegt sich im ersten Falle (Fig. 149 a) ein Punkt der ersten (oder zweiten) Reihe von A nach Ax, so bewegt sich der entsprechende Punkt von Ax ins Unendliche und auf der andern Seite aus dem Unendlichen zurückkommend nach A; es liegen also niemals beide Punkte gleichzeitig auf der Strecke AAv Bewegt sich aber im zweiten Fall (Fig. 149 b) ein Punkt der ersten (oder zweiten) Reihe von A nach Ax, so bewegt sich der entsprechende Punkt von Ax in entgegengesetzter Richtung nach A\ es liegen also beide Punkte gleichzeitig auf der Strecke AAx, oder gleichzeitig außerhalb derselben. Wenden wir dieses Resultat auf den Mittelpunkt und den entsprechenden unendlich fernen Punkt der Reihen an, so kommt der Satz: Bei gleichlaufenden involutorischen Punktreihen wird jedes Paar entsprechender Punkte durch den Mittelpunkt der Involution getrennt, bei entgegenlaufenden Reihen geschieht dies nicht. In Fig. 149 ist der Mittelpunkt mit M bezeichnet.

223. Entgegenlaufende involutorische Reihen besitzen zwei sich selbst entsprechende Punkte oder Doppelpunkte der Involution; diese liegen zu jedem Punktepaar der Involution harmonisch. Gleichlaufende in volutorische Reihen besitzen solche Doppelpunkte nicht.

Nach dem Vorhergehenden ist das letztere selbstverständlich. Bei entgegenlaufenden Reihen muß ein Punkt, der sich von A nach Ax bewegt, einmal seinem entsprechenden, der sich von Ax nach A bewegt, auf dieser Strecke begegnen, das liefert den einen Doppelpunkt U= fj (Fig. 149 b). Bewegt sich aber der erstere Punkt von A durchs Unendliche nach Ax, so bewegt sich der letztere von Ax durchs Unendliche nach A, und wiederum muß eine Begegnung stattfinden, aber dieses Mal außerhalb der Strecke AAv das liefert den andern Doppelpunkt V = Vv Den Punkten A, Av U, V der einen Reihe entsprechen die Punkte Ax, A, U, V der andern; wenn aber die Punkte A, Av U, V zu den Punkten Av A, U, V projektiv sind, so liegen sie nach 195 harmonisch. Der Mittelpunkt bildet mit dem unendlich fernen Punkt des Trägers zusammen ein Punktepaar der Involution. Dieses Paar liegt ebenfalls zu den Doppelpunkten harmonisch; folglich halbiert der Mittelpunkt einer Involution die Entfernung ihrer beiden Doppelpunkte.

224. Kennt man von einer Involution zwei Paare entsprechender Punkte AAx und BBx, so ist die Involution bestimmt und man kann zu jedem weiteren Punkt den entsprechenden konstruieren. Sei etwa C ein beliebiger Punkt der Involution und Cx der entsprechende, dann müssen diese beiden Punkte nur die Bedingung erfüllen, daß die vier Punkte A, B, C, Cx projektiv zu den vier Punkten Ax, Bx, Cx, C sind. Es besteht ja alsdann ein vertauschbares Entsprechen zwischen C, Cx und somit nach 220 auch zwischen A, dx, sowie zwischen B, Bv

Zur Konstruktion ziehe man durch C eine beliebige Gerade und wähle auf ihr zwei beliebige Punkte J und K (Fig. 150). Darauf verbinde man Ä' mit A und B, sowie J mit Ax und B,\ dann schneidet die Gerade, welche durch L = KA x JBx und M KB x JAx geht, auf dem Träger den Punkt Cx aus. Es sind nämlich die Punkte A, B, C, Cx vom Centrum K aus perspektiv zu

den Punkten L, M, R, Cx; /?\ diese sind wiederum vom

/ ', \ Centrum J aus perspektiv

/^\^~sr \ zu aen Punkten Bx, Ax,

\ y C, C, und die letzteren

o--^ sind nach 190 projektiv zu

.--"^ \ s den Punkten Av Bv Cv C.

Damit sind aber auch die

A A, CB, B C,

15Q erstgenannten Punkte zu

den letztgenannten projektiv, was unsern Satz beweist. Insbesondere kann man in dieser Weise den Mittelpunkt der Involution als den entsprechenden zum unendlich fernen konstruieren.

Aus unserer Figur folgt zugleich ein weiterer Satz. JMKL sind die Eckpunkte eines vollständigen Vierecks, dessen drei Paar Gegenseiten die Punktepaare AAx, BBx und CCx der Involution ausschneiden. Jede Gerade schneidet die drei Paar Gegenseiten eines vollständigen Vierecks in drei Punktepaaren einer Involution.

225. Nach 221 gelangen zwei projektive Punktreihen dadurch in involutorische Lage, daß man sie so aufeinander legt, daß ihre Träger und ihre Gegenpunkte sich decken. Man kann sich nun leicht davon überzeugen, daß in der neuen Lage das Entsprechen der Punkte vertauschbar ist. Sind g und gx die Träger zweier

/ Punktreihen in perspektiver Lage; Je dann seien Gv und Gx ihre Gegen/ punkte, A und Ax irgend zwei

-iß entsprechende Punkte und O das

/ \\s / Centrum der Perspektive (Fig. 151).

I \ ^jA Bestimmt man jetzt auf g die

/ \ I \ beiden Punkte Bx und C, so daß

~q <tT~B>y X~fff GA = GvC= GXBl ist, dann gilt

für die entsprechenden Punkte B

„. ,., & und C, die Relation: ö A. = GL C.

Fxg. 151. j 00 1 CO 1

6 = GvB. Denn die Dreiecke AGv0

und OGxAx sind ähnlich, also wird: GvA -G^A^ = ÜGv. OG^. Ebenso sind die Dreiecke BGvO und OG^Bx ähnlich und es folgt: GvB. G^Bx = OGv. OGx. Die rechten Seiten dieser Gleichungen sind identisch und somit folgt aus G^Bj = GvA die Gleichheit der Strecken GvB = GxAv In gleicher Weise ergiebt sich auch

Bringt man nun die Träger g und gx und zugleich Gv mit Ga zur Deckung, so kann das in doppelter Weise geschehen. Im einen Fall deckt sich A mit Bx und B mit Ax; die Punkte A = Bx und B = Ax entsprechen sich dann vertauschbar. Im andern Fall deckt sich B mit Cx und C mit Bx; hierbei entsprechen sich also die Punkte B = C, und C = Bx vertauschbar. Da der Punkt A der Reihe g beliebig gewählt wurde, so erkennt man die Richtigkeit der obigen Behauptung.

226. Zum Schluß mag noch einer metrischen Beziehung bei den involutorischen Reihen gedacht werden. Zu den Punkten A, B, M, oo sind die Punkte Ax, Bx, oo, M projektiv; wobei vif der Mittelpunkt der Involution und oo ihr unendlich ferner Punkt ist.

Aus der Gleichheit der Doppelverhältnisse (ABMoo) und

(A^^M) ergiebt sich ^= 1 :j^, denn ^^ = 1. Darausfolgt

weiter: MA.MAx = MB. MBv Da aber AAx und BBx ganz willkürliche Punktepaare der Involution sind, so gilt der Satz: Das Produkt der Abstände je zweier entsprechender Punkte einer Involution von ihrem Mittelpunkt ist konstant. Hat dieses Produkt einen positiven Wert + c, so bestimmen sich die Doppelpunkte V Ux und V= Vx durch die Relation: (Müf = {MV)2 = + c, während für den negativen Wert — c eine solche Gleichung nicht existieren kann.

227. Die obigen Definitionen und Sätze lassen sich mit Leichtigkeit auf die übrigen einförmigen Grundgebilde ausdehnen. Ebenso wie für Punktreihen auf derselben Geraden gelten sie auch für Strahlbüschel mit demselben Scheitel und in derselben Ebene und für Ebenenbüschel mit derselben Achse. Man erhält z. B. zwei involutorische Strahlbüschel oder eine Involution von Strahlen, wenn man zwei involutorisch liegende Punktreihen aus einem außerhalb gelegenen Centrum projiziert, und analog erhält man eine Involution von Ebenen durch Projektion aus einer Strahleninvolution. Umgekehrt ergiebt jeder ebene Schnitt einer Ebeneninvolution eine solche von Strahlen und jeder geradlinige Schnitt einer Strahleninvolution eine solche von Punkten. Es mag hier genügen, das Wichtigste bezüglich der involutorischen Strahlbüschel hervorzuheben.

228. Zwei projektive Strahlbüschel mit gemeinsamem Scheitel liegen involutorisch, wenn zwischen ihren Strahlen ein vertauschbares Entsprechen stattfindet. Besteht zwischen

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