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die Strahlen des einen Paares senkrecht aufeinander, so halbieren sie Winkel und Nebenwinkel der beiden andern. Die Richtigkeit dieser Sätze erkennt man auch, wenn man vier

S

C

B

Fig. 145.

spezielle harmonische Punkte zu Grunde legt, von denen der eine unendlich fern ist (Fig. 145). Projiziert man diese aus einem Punkte S, so daß SC 1 AB ist, dann stehen zwei der vier harmonischen Strahlen durch S aufeinander senkrecht, während die beiden andern SA und SB mit SC gleiche Winkel einschließen.

v

205. Will man ein beliebiges Viereck ABCD in ein Quadrat AB1C1D1 durch Perspektive abbilden, so hat man in Fig. 144 das Centrum O so zu wählen, daß nicht nur OL | ON wird, sondern auch die beiden Strahlen, die O mit den Punkten Ue„ × AC und Vex BD verbinden, aufeinander senkrecht stehen. Denn Ꮴ beim Quadrat schneiden sich auch die Diagonalen à ̧С1 und B1D1 rechtwinklig. Demnach wird O als Schnittpunkt zweier Kreise erhalten, von denen der eine über dem Durchmesser LN und der andere über dem Durchmesser UV beschrieben ist.

Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden.

206. Für zwei ähnliche ebene Figuren gilt das Gesetz: Alle Strecken des Originals haben zu ihren Bildern das nämliche Verhältnis (gleichviel in welcher Richtung sie gezogen sind). Für affine Figuren ergab sich: Alle unter sich parallele Strecken des Originals haben zu ihren Bildern das gleiche Verhältnis (aber dies ändert sich von einer Richtung zur andern). In beiden Fällen besteht zwischen den Abständen dreier Punkte A, B, C einer Geraden und denen der entsprechenden Punkte Д1, B1, C1 der Bildgeraden die Verhältnisgleichung:

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Es erhebt sich jetzt die Frage nach einem analogen Gesetze für perspektive Figuren.

207. Zwischen drei Punkten A, B, C einer Geraden und den entsprechenden Punkten 41, B1, C1 der dazu perspektiven Bildgeraden kann keine Streckenrelation bestehen, denn wir haben gesehen, daß letztere noch willkürlich angenommen werden dürfen, wenn erstere gegeben sind. Dagegen zeigt der in 178 bewiesene

Satz, daß vier Punkte einer Geraden g, eine Streckenrelation erfüllen müssen, wenn es möglich sein soll, sie mit vier gegebenen Punkten einer andern Geraden g in Perspektive zu setzen. Hier sind aber nicht mehr, wie bei affinen Figuren, die Streckenverhältnisse selbst auf der Original- und Bildgeraden gleich; vielmehr werden erst die Quotienten zweier Streckenverhältnisse auf beiden Geraden einander gleich, und ein derartiger Quotient wird Doppelverhältnis genannt. Obgleich nun in der darstellenden Geometrie auf die Bestimmung von Doppelverhältniswerten im allgemeinen nicht Bezug genommen wird, so soll doch hier der Begriff des Doppelverhältnisses entwickelt und seine Bedeutung für perspektive Figuren erklärt werden. Dies kann indes nicht geschehen, ohne einige allgemeine Bemerkungen über die Messung von Strecken und Winkeln vorauszuschicken.")

208. Eine Strecke ist durch ihre Endpunkte A und B eindeutig bestimmt, wenn zugleich die Richtung gegeben ist, in der sie durchlaufen werden soll. Ist dies die Richtung von A nach B, so bezeichnen wir die Strecke durch AB, durch BA dagegen im entgegengesetzten Falle. Wir setzen ferner für jede Gerade eine positive Richtung fest (welche ist gleichgültig), d. h. wir stellen. alle in der einen Richtung durchlaufenen Strecken als positiv in Rechnung, die in der umgekehrten Richtung durchlaufenen Strecken aber als negativ. Hiernach besteht für zwei beliebige

Punkte und B die Gleichung:

ABBA 0, oder
0, oder BA

=

=

AB;

ebenso besteht für drei beliebig auf einer Geraden gelegene Punkte

A, B, C die Gleichung:

=

=

AB + BC + CA 0, oder AB AC + CB, und ähnliche Gleichungen gelten für mehr Punkte.

209. Der von zwei Geraden a und b (in einer Ebene) eingeschlossene Winkel ist eindeutig bestimmt, wenn angegeben wird, nach welcher Richtung vom Scheitel O aus die Schenkel gehen und in welchem Drehsinne der Winkel beschrieben werden soll. Bezeichnen wir mit a nicht bloß die Gerade, sondern drücken durch dieses Zeichen zugleich eine bestimmte Richtung aus, welche als positive Durchlaufungsrichtung genommen wird, und machen wir die gleiche Festsetzung für b, so giebt es zwischen den Schenkeln a und b, die vom Scheitel O in positiver Richtung ausgehen, zwei verschiedene Winkel, die sich zu 4 R ergänzen. Wir setzen ferner für jede Ebene willkürlich einen positiven Drehsinn fest, d. h. wir rechnen die in dem einen Sinn beschriebenen Winkel

positiv, die in dem entgegengesetzten Sinn beschriebenen negativ. Durch ab bezeichnen wir den Winkel, den die Gerade a in positivem Drehsinn beschreiben muß, um in die Lage b zu gelangen, so zwar, daß die positiven Durchlaufungsrichtungen beider Geraden übereinstimmen. Es ist dann:

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wenn a' mit a zusammenfällt, aber eine entgegengesetzte positive Durchlaufungsrichtung zeigt.

Wenn wir verabreden, daß ganze Umdrehungen außer Acht bleiben, also Winkel, die sich um ganze Vielfache von 4 R unterscheiden, als gleich angesehen werden sollen, so haben wir die Gleichung:

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Ebenso besteht für drei beliebige Gerade a, b, c einer Ebene die Gleichung:

Lab + L bc + L ca = 0, oder ab = Lac Lbc. Ähnliche Gleichungen giebt es für mehr Gerade. Wie man leicht erkennt, ist es gleichgültig, ob die betrachteten Geraden durch den nämlichen Punkt gehen oder nicht. Auch bedarf es keiner weiteren Erläuterung, wie die gegebenen Erklärungen auf die Bestimmung der Winkel windschiefer Geraden, oder der Neigungswinkel gegebener Ebenen auszudehnen sind.

Wird ein Winkel durch seinen Scheitel O und zwei auf den Schenkeln gelegene Punkte A und B bestimmt, so bezeichnen wir ihn durch AOB, wenn er von einem Strahle beschrieben wird, der aus der Lage OA mit positivem Drehsinn in die Lage OB übergeht. Dann ergiebt sich, ähnlich wie vorher:

▲ AOB + L BOA = 0, oder ▲ BOA LAOB + BOC + ▲ COA = 0, oder ▲

=

▲ AOB,

AOB = L AOC — L BOC,

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u. s. f., wobei die Punkte O, A, B, C... beliebig in der Ebene verteilt sein können.

210. In einer Punktreihe ist nach Festlegung zweier Grundpunkte A und B jeder dritte Punkt C durch das Verhältnis

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seiner Abstände von den Grundpunkten bestimmt (wobei vorausgesetzt wird, daß x auch dem Vorzeichen nach bekannt sei). x ist ersichtlich ein reiner Zahlenwert; jedem solchen Wert gehört ein Punkt der Reihe AB zu. Durchläuft das Abstandsverhältnis x stetig alle positiven Werte von +∞ bis +1 und von +1 bis 0, dann alle

∞, so beschreibt

negativen Werte von 0 bis -1 und von - 1 bis dementsprechend der Punkt C die Punktreihe in der Richtung der

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dem Unendlichen kommend bis 4, dann von A bis zur Mitte M der Strecke AB und endlich von hier bis wieder zu B (Fig. 146). . 211. In einem Strahlbüschel ist nach Angabe zweier Grundstrahlen a und (und willkürlicher Festsetzung ihrer positiven Richtungen) jeder dritte Strahl e durch das Verhältnis der senkrechten Abstände irgend eines seiner Punkte von den Strahlen a und b, oder was dasselbe ist durch das Sinusverhältnis

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n

Mag man aber diese

Ъ

с

m

seiner Winkel mit den Grundstrahlen bestimmt bis auf die Durchlaufungsrichtung, welche willkürlich bleibt. Durchlaufungsrichtung von c wählen, wie man will, immer wird das Sinusverhältnis x negativ sein, wenn c in dem von den positiven Richtungen der Grundstrahlen a und b gebildeten Winkel liegt; im andern Falle wird x positiv. Speziell nimmt x die Werte 0, 0, 1 und 1 an, wenn die Gerade c mit a, b, m oder n zusammenfällt, wo m den Winkel ab und n seinen Nebenwinkel halbiert (Fig. 147). Analoges gilt von der Bestimmung der Ebenen eines Büschels durch ein Sinusverhältnis.

Fig. 147.

212. Vier Punkte A, B, C, D einer Geraden bestimmen ein Doppelverhältnis; es ist dies der Quotient der beiden. Abstandsverhältnisse, welche der dritte und vierte Punkt in Bezug auf die ersten beiden ergeben, und hat somit den Wert

CA ᎠᎪ
CB DB'

der gewöhnlich kurz durch das Symbol (ABCD) bezeichnet wird. Vier Strahlen a, b, c, d (Ebenen A, B, г, ▲) eines Büschels haben als Doppelverhältnis den Quotient der beiden Sinus

verhältnisse, welche der dritte und vierte Strahl (Ebene) in Bezug auf die ersten beiden ergeben, und hat somit den Wert

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wo die rechte Seite der Gleichung wieder ein Symbol für den Wert der linken ist, und der Winkel zweier Geraden einfach durch Nebeneinanderschreiben ihrer Zeichen ausgedrückt wird.

213. Ändert man die Reihenfolge der vier Punkte ABCD, so ändert sich im allgemeinen auch der Wert ihres Doppelverhältnisses, indem die beiden darin auftretenden Abstandsverhältnisse andere und andere werden. Bei gewissen Vertauschungen der vier Punkte bleibt jedoch der Wert ungeändert. Man hat nämlich: CA DA DB CB AC BC

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BD AD
:
BC AC'

oder (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) (vergl. 190).

Teilt man also die vier Punkte irgendwie in zwei Paare und vertauscht man in der ursprünglichen Reihenfolge die beiden Punkte eines jeden Paares miteinander, so behält das Doppelverhältnis seinen Wert bei. Den 24 möglichen Anordnungen der vier Punkte entsprechen daher nicht ebenso viele, sondern nur sechs verschiedene Doppelverhältniswerte. So zeigen die Anordnungen

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,

oder die mit ihnen äquivalenten, lauter verschiedene Werte. Die gleichen Betrachtungen lassen sich für die Doppelverhältniswerte von vier Strahlen oder vier Ebenen eines Büschels wiederholen.

אי

214. Vier Strahlen eines Büschels haben das gleiche Doppelverhältnis wie die vier Punkte, die eine beliebige Gerade auf g ihnen ausschneidet. Die Gerade g mag die Strahlen a, b, c, d in den Punkten A, B, C, D schneiden, und es sei h das vom Scheitel O des Büschels auf g gefällte Lot (Fig. 148). Der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks CAO läßt sich dann in der doppelten Form ausdrücken:

B

C

Fig. 148.

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