eines Vierseits liegen die beiden Ecken und die Schnittpunkte mit den beiden andern Diagonalen harmonisch. 196. Es läßt sich auch leicht die Umkehrung zeigen, daß vier Punkte JKST einer Geraden stets zwei Gegenecken und zwei Diagonalschnittpunkte eines Vierseits bilden können, falls JKST zu KJST projektiv ist. Zum Beweise ziehe man durch T eine beliebige Gerade und projiziere aus einem beliebigen Centrum F jene Punkte auf diese Gerade, so daß GHRT zu JKST perspektiv liegen (Fig. 138). Wenn nun aber JKST und KJST projektiv sind, so sind nach 189 auch GHRT und KJST projektiv, und da in T zwei entsprechende Punkte zusammenfallen, so sind nach 178 die zweimal vier Punkte sogar perspektiv, d. h. GK, JH und RS schneiden sich in einem J Punkte E. Damit ist aber die erwähnte Umkehrung bewiesen. 197. Aus diesen Betrachtungen geht zugleich hervor, daß durch drei von den vier harmonischen Punkten der vierte mit bestimmt ist. Denn sind JKT gegeben, so kann man wie vorher eine Gerade durch T und nehmen, dann ergeben sich G, H und auch SJK × EF. K T Ꭼ. H, R F Fig. 139. den E = Punkt F beliebig an- Führen wir dieselbe Konstruktion zweimal aus, wie das in Fig. 139 geschehen ist, so gelangen wir von den Punkten JKT der Geraden ausgehend immer zu dem nämlichen Punkte S, welcher sich in harmonischer Lage mit jenen drei Punkten befindet. Das giebt den Satz: Alle Vierseite, welche eine Diagonale und auf ihr zwei Eckpunkte und einen Diagonalschnittpunkt gemein haben, haben auch noch den andern Diagonalschnittpunkt auf ihr gemeinsam. Man kann die Richtigkeit dieses Satzes auch leicht direkt erkennen, wenn man in Fig. 139 von den beiden Vierseiten mit der gemeinsamen Diagonalen und den gemeinsamen Punkten JK und 7 das eine um aufdreht. Dann sind die beiden Vierseite in perspektiver Lage im Raume. Denn zunächst gilt dies von den Drei ecken FGH und FGH1, deren entsprechende Seiten sich auf 7 schneiden; durch das zugehörige Centrum O gehen die Geraden FF1, GG1 und HH. Auch die Ebenen GKG1 und HJH, enthalten den Punkt O und folglich geht auch ihre Schnittlinie EE, durch O. Die Geraden EE, und FF, liegen also in einer Ebene und diese schneidet 7 in einem Punkte S, durch welchen die beiden Geraden EF und EF hindurchgehen. 198. Nach dem Vorhergehenden könnte es scheinen, daß von vier harmonischen Punkten zwei eine andere Rolle spielen als die beiden übrigen, insofern zwei davon, etwa J und K, zwei Ecken R H T K S Fig. 140. eines Vierseits, die beiden andern. nämlich von dem früheren Vierseit aus (Fig. 140) und zieht SG und SH, so liegen die Punkte PSH × GK, Q = SG × JH und T in gerader Linie. Denn die Punkte JKST sind perspektiv zu den Punkten GHRT, und folglich sind die Strahlen EJ, EK, ES, ET nach 189 projektiv zu den Strahlen SG, SH, SR, ST. Die zweimal vier Strahlen sind aber sogar in perspektiver Lage, da die entsprechenden Strahlen ES und SR sich decken (vergl. 181); sonach liegen die Schnittpunkte entsprechender Strahlen, nämlich Q, P und 1, auf einer Geraden. Jetzt bilden die Geraden THG, TPQ, SPH, SQG die Seiten eines Vierseits, dessen Diagonalen sich in E, K und J schneiden, womit unsere Behauptung erwiesen ist. Wir erkennen also den Satz: Vier Punkte in harmonischer Lage gruppieren sich in zwei Paare derart, daß jedes Paar die. Ecken eines Vierseits bilden kann, welches das andere Paar zu Diagonalschnittpunkten hat. Wenn man von vier Punkten ABCD nur aussagt, daß sie harmonisch liegen, so ist damit noch in keiner Weise festgelegt, wie sie sich in Paare gruppieren. Will man dieser Gruppierung Ausdruck verleihen, so sagt man: Das Punktepaar AB, oder die Strecke AB, wird durch das Punktepaar CD harmonisch geteilt. Dann wird nach den obigen Untersuchungen zugleich die Strecke CD durch die Punkte AB harmonisch geteilt. 199. Wir haben in 190 gesehen, daß vier beliebige Punkte einer Geraden in folgenden vier verschiedenen Anordnungen ABCD, BADC, CDAB, DCBA zu einander projektiv sind. Liegen die vier Punkte im besonderen harmonisch, und werden etwa die Punkte AB durch CD harmonisch getrennt, so sind nach 195 auch die Punkte BACD und ABCD projektiv. Auch hier giebt es wieder vier zu einander projektive Anordnungen BACD, ABDC, CDBA, DCAB, so daß also bei vier harmonischen Punkten im ganzen acht zu einander projektive Reihenfolgen existieren. Man erhält alle acht Anordnungen, wenn man sowohl die beiden Punktepaare, die sich gegenseitig harmonisch trennen, als auch die Punkte jedes Paares unter sich vertauscht. 200. Vier Strahlen aus einem Punkte und ebenso vier Ebenen durch eine Achse heißen harmonisch, wenn sie von einer Geraden in vier harmonischen Punkten geschnitten werden. Offenbar giebt es auch für solche vier Strahlen und für solche vier Ebenen acht Reihenfolgen, die untereinander projektiv sind. Hiernach gilt auch der Satz: In jeder Ecke eines Vierseits werden die beiden Seiten von der Diagonale und dem Strahl nach dem Schnittpunkt der andern beiden Diagonalen harmonisch getrennt. 1 201. Zweimal vier harmonische Punkte (Strahlen, Ebenen) sind stets projektiv, d. h. sie können in perspektive Lage gebracht werden. Werden die Punkte AB durch CD und die Punkte B1 durch C1D1 harmonisch getrennt, so sind durch die Wahl der Punkte ABC einerseits und A,B,C1 andererseits die Punkte D und D1 mitbestimmt. Man bringe nun A1В1С1 zu ABC in perspektive Lage, indem man C1 mit C vereinigt (Fig. 141), und verbinde dann A und B mit jedem der beiden Punkte 4, und B. Diese vier Geraden bilden ein Vierseit, von dem AB und A, B, zwei Diagonalen sind, während die dritte Diagonale JK auf ihnen die vierten harmo B nischen Punkte D resp. D1 aus- Α schneidet. Aus der Figur ist aber C-C B D Fig. 141. zu ersehen, daß ABCD und A, B,C,D1 vom Centrum K aus perspektiv liegen. Es ist nach Früherem selbstverständlich, daß es acht verschiedene Reihenfolgen der Punkte AB1C1D1 giebt, deren jede zu ABCD projektiv ist. Hiermit ist auch die Aufgabe gelöst, einen Punkt D zu finden, der mit C zusammen die Strecke AB harmonisch teilt. Man zieht nämlich eine beliebige Gerade durch C und nimmt auf ihr zwei beliebige Punkte A1 und B1 an (Fig. 141). Die vier Geraden AA1, AB1, BÁ1, BB1 bilden ein Vierseit mit den Diagonalen AB und 4A,B1, dessen dritte Diagonale JK den Punkt D ausschneidet. 1: 202. Das vollständige Viereck wird von vier Punkten ABCD einer Ebene gebildet, deren sechs Verbindungslinien seine Seiten heißen. Diese ordnen sich paarweise als Gegenseiten an, nämlich AB und CD, AC und BD, AD und BC, so daß jedes Paar alle vier Ecken enthält. Die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten heißen Diagonalpunkte Lund bilden das Diagonaldreieck LMN (Fig. 142). B S D Fig. 142. 203. In jedem Diagonalpunkt werden die Seiten des vollständigen Vierecks durch die Seiten seines Diagonaldreiecks harmonisch getrennt. So liegen im Punkte M der Fig. 142 die Vierecksseiten MA und MB zu den Seiten ML und MN des Diagonaldreiecks harmonisch. Die vier Geraden BL, BM, CL, CM bilden nämlich ein Vierseit, und nach 200 liegen seine Seiten MB, MA harmonisch zu seiner Diagonale ML und dem Strahl nach dem Schnittpunkt N der Diagonalen AD und BC. Auf jeder Seite eines Vierecks werden die Ecken durch. einen Diagonalpunkt und den Schnittpunkt mit der Verbindungslinie der beiden andern Diagonalpunkte harmonisch geteilt. Denn in dem von den Geraden BL, BM, CL, CM gebildeten Vierseit sind und D Gegenecken, S und N aber Diagonalschnittpunkte; somit werden A und D durch N und S nach 195 harmonisch geteilt. Um den Strahl d zu finden, der mit einem Strahle c zusammen den Winkel ab harmonisch teilt, wähle man auf c einen beliebigen Punkt und ziehe durch ihn zwei beliebige Gerade a und b1 (Fig. 143). Die vier Schnittpunkte a X a1, a × b1, bxa1, bx b1 bilden ein Viereck mit den Diagonalpunkten a x b und a, b, durch dessen dritten Diagonalpunkt der Strahl d zu ziehen ist. 1 Aus der geschilderten Konstruktion folgt zugleich, daß von den beiden Strahlen, welche den Winkel ab harmonisch teilen, der eine im Winkel ab, der andere aber außer halb liegt. Ganz ebenso zeigt die frühere Konstruktion, daß von zwei Punkten, welche die Strecke AB harmonisch teilen, der eine auf der Strecke, der andere aber außerhalb liegen muß. a d Fig. 143. 204. Wir wollen jetzt unsere Aufmerksamkeit noch kurz einigen speziellen Vierseiten und Vierecken zuwenden. Projizieren wir ein Vierseit derart auf eine andere. Ebene, daß das Bild einer Diagonale ins Unendliche fällt, so erhalten wir ein Parallelogramm. Auf einer Diagonale des Parallelogramms liegen dann die Eckpunkte mit dem Mittelpunkt und dem unendlich fernen Punkt harmonisch. Jede Strecke wird also von ihrem Mittelpunkt und dem unendlich fernen Punkt harmonisch geteilt. A A - 0 B M N Durch perspektive Abbildung können wir auch ein beliebiges Viereck ABCD in ein Rechteck A,B,C,D1 verwandeln (Fig. 144). Dazu brauchen wir nur die Verbindungslinie zweier Diagonalpunkte L und N zur Verschwindungslinie e zu machen und das Centrum O so zu wählen, daß ON OL wird, während die Achse e, zu e beliebig parallel gezogen werden kann. Da aber im Punkte M die Geraden AC und BD mit ML und MN harmonisch liegen, so sind in M1 die Diagonalen des Rechtecks harmonisch zu den beiden Geraden, die den Seiten des Rechtecks parallel laufen. Jeder Winkel wird also von seiner Halbierungslinie und der Halbierungslinie seines Nebenwinkels harmonisch geteilt und umgekehrt. Oder auch: Stehen von vier harmonischen Strahlen ROHN u. PAPPERITZ. I. 2. Aufl. Fig. 144. 11 |