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kann man sie auch in Bezug auf jede andere Ebene E2 in perspektive Lage bringen, wobei die Lage von E2 gegen s

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Winkel in den beiden Strahlbüscheln, die von zwei zu den Achsen s und $1 senkrechten Ebenen aus den Ebenenbüscheln ausgeschnitten

werden.

Sind zwei Ebenenbüschel zu einem dritten perspektiv, so können sie zu einander in Perspektive gesetzt werden, indem man sie in Bezug auf eine und dieselbe Ebene zum dritten Ebenenbüschel perspektiv legt. Wenn zwei Ebenenbüschel einerseits perspektiv gelegt und andererseits drei Ebenen des einen mit den entsprechenden des andern zur Deckung gebracht werden können, so sind sie kongruent.

189. Zwei einförmige Grundgebilde (Punktreihen, Strahl- und Ebenenbüschel) nennt man projektiv, wenn sie in perspektive Lage gebracht werden können. So kann eine Punktreihe sowohl zu einer zweiten, als auch zu einem Strahl- oder Ebenenbüschel projektiv sein, u. s. f. Aus den Sätzen in 180, 184 und 188 folgt aber sofort der allgemeine Satz: Ist ein einförmiges Grundgebilde (Punktreihe, Strahl- oder Ebenenbüschel) zu einem zweiten projektiv und dieses wiederum zu einem dritten, das dritte zu einem vierten u. s. f., so ist auch das erste Gebilde zu dem letzten projektiv, d. h. die beiden können in perspektive Lage zu einander gebracht werden. 190. Sind die vier Punkte ABCD einer Reihe zu den vier Punkten АВ1С1D1 einer anderen projektiv, so sind diese Punkte ДВ11D1 auch zu den Punkten BADC oder CDAB oder DCBA projektiv. Bringen wir etwa die beiden

1

19

B

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D

Träger der Reihen in eine solche relative Lage zu einander, daß C mit D1 zusammenfällt (Fig. 134), dann werden die Strahlen ‚Â ‚ ÂС, AD die Gerade DC, in vier Punkten A'B'C1D schneiden, die zu ABCD perspektiv sind. Ebenso wird diese Gerade von den Strahlen AA, АВ1, ÁÑ1, AD, in vier Punkten A'B'CD geschnitten, die zu A,B,C,D, perspektiv sind. Da aber ABCD und A,B,C,D, projektiv sind, so gilt Gleiches für A'B'C1D und A'B'C1D; deshalb muß nach 180 B' mit B" identisch sein. Von dem Centrum B' B" liegen nun die

=

Punkte BADC der Reihe nach per

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B1

Fig. 134.

spektiv zu den Punkten A,B,C,D1; beide Reihen sind also auch projektiv. Ganz ebenso gestaltet sich der Beweis für die beiden

andern oben genannten Reihen

folgen CDAB und DCBA.

Im Speziellen können die Reihen ABCD und A,B,C,D, kongruent sein. Dann folgt, daß die vier Reihen ABCD, BADC, CDAB und DCBA untereinander projektiv sind, also in perspektive Lage gebracht werden können.

191. Wir wenden uns jetzt wieder der Centralprojektion ebener Figuren zu, von der wir ausgegangen waren, um mit den gewonnenen Hilfsmitteln folgenden Satz zu beweisen.

Je zwei ebene Vierecke ABCD und A,B,C,D1 können in perspektive Lage gebracht werden.

Wir weisen zunächst nach, daß dies in einer Ebene mög

lich ist. Wird dann das eine

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Viereck um die Perspektivitätsachse gedreht, so ergeben sich perspektive Lagen der Vierecke im Raume.

==

Es seien M = g × h und M1 = g1 × h1 die Schnittpunkte zweier entsprechender Gegenseitenpaare g = AB, h = CD und g1 = = A1B1, h1 = C1D1, die zusammen alle acht Ecken enthalten (Fig. 135). Denken wir uns eines der Vierecke, etwa ABCD fest, so ist dem andern eine solche Lage zu erteilen, daß die Punktreihen ABM und AВ1M1, sowie die Punktreihen CDM und C1D1M1 aus einem Centrum O perspektiv liegen. Legen wir diese Reihen zunächst einzeln irgendwie perspektiv, so können wir ihre Gegenpunkte bestimmen, nämlich G, auf g, G. auf g1, H, auf h, H ̧ auf h. Hieraus ergeben sich die Gegenachsen e der beiden perspektiven Figuren.

=

GH, und

e =

GH

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he.. e∞

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192. Jetzt drehen wir das zweite Viereck bis e zu e, parallel wird, dann muß sich die gewünschte perspektive Lage der beiden Vierecke durch eine bloße Parallelverschiebung der zweiten bewirken lassen. Wir ziehen nun einerseits in dem festen Viereck durch G und H respektive die Parallelen zu den Seiten g, und h, des gedrehten Vierecks und andererseits in dem gedrehten Viereck durch Gund H respektive die Parallelen zu den Seiten g und h des festen Vierecks. Dann werden sich die ersteren in einem Punkte O' und die letzteren in einem Punkte O,' schneiden, und eine Parallelverschiebung des zweiten Vierecks, bei der O, mit O' zusammenfällt, bringt die beiden Vierecke in perspektive Lage. Eine andere perspektive Lage der Vierecke ergiebt sich, wenn wir das zweite Viereck nachträglich um 0' 0,' um 180° drehen.

um

|| e

ge

Man kann jedoch auch zuerst das zweite Viereck um e klappen und dann eine Drehung desselben vornehmen, so daß e wird. In diesem Falle schneiden sich die durch G, und H zogenen Geraden, welche zu den Seiten g, und h, des so gelegenen zweiten Vierecks parallel sind, im Punkte O, und ebenso die Parallelen zu g und h durch G und Him Punkte O1. Eine Parallelverschiebung des zweiten Vierecks, wobei O̟, mit O zusammenfällt, bewirkt wiederum eine perspektive Lage beider Vierecke, und eine weitere perspektive Lage ergiebt sich noch, wenn man das zweite Viereck nachträglich um 0 = 0, um 180° dreht. Es sind also vier verschiedene perspektive Lagen in der Ebene möglich.

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In der Figur 136 ist eine der zuletzt erwähnten perspektiven Lagen dargestellt, wobei O̟ mit O vereinigt liegt. Sind G1 = 9 × 91 und H1 = hxh, die Schnittpunkte der sich entsprechenden Seiten,

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parallel laufen. Demnach

und MHOG, ähnlich, da ihre

homologen Seiten und die homologen Diagonalen HG und HG,

sind auch ihre Diagonalen OM,

und OM parallel,

d. h. M, M, und liegen

C

D1

auf einer Geraden. Nun sind auch die Vierecke OH MG und MH,M,G1 ähnlich, da ihre homologen Seiten und die homologen Diagonalen OM, und MM1 parallel laufen, folglich ist auch HG || HG ̧· Jetzt liegen drei Punkte von g, nämlich M, G und der unendlich ferne Punkt, perspektiv vom Centrum O aus zu den entsprechenden Punkten auf 91, nämlich M1, dem unendlich fernen Punkt und G. Mithin liegen je zwei entsprechende Punkte von g und

91

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auf einem Strahle durch O; insbesondere gehen A4, und BB, durch O. Ganz ebenso zeigt sich, daß CC1 und DD, durch O gehen; die Vierecke ABCD und ABCD befinden sich also in perspektiver Lage.

193. In Fig.136 ist noch eine andere perspektive Lage angegeben; sie geht aus der vorigen hervor, wenn man das Viereck ABCD um die Perspektivitätsachse e1 umklappt; hierbei ist O' das Centrum. Die Fig. 137

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bringt die beiden noch fehlenden perspektiven Lagen; sie ergeben sich aus den Lagen in Fig. 136, wenn man das eine Viereck A, B, C, D1 um und das andere Viereck A,B,C,D, um um 180° dreht. Im Raume sind nur zwei verschiedene Arten perspektiver Lagen der beiden Vierecke möglich. Sie werden erhalten, wenn man in Fig. 136 das Viereck 4‚Â ̧Ñ‚Ð ̧ um die Achse e1, oder wenn man es in Fig. 137 um die Achse e', aufdreht.

Harmonische Grundgebilde. Vierseit und Viereck.

194. Die einfachste Figur in der Ebene ist - vom Dreieck abgesehen das Vierseit. Das vollständige Vierseit wird von vier Geraden a, b, c, d einer Ebene gebildet, deren sechs Schnittpunkte seine Ecken heißen. Diese gruppieren sich paarweise als Gegenecken, nämlich: a b = E und ex d = F, axc = G und b x d = H, a × d = K und b × c = J, so daß durch

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diese charakteristische Lage durch irgend welche Parallel- oder Centralprojektion nicht zerstört werden kann, da eine solche ein Vierseit immer wieder in ein Vierseit verwandelt.

195. Betrachten wir zwei Diagonalen eines Vierseits, so trägt jede von ihnen vier Punkte, und die vier Punkte auf der einen liegen zu den vier Punkten auf der andern in doppelter Weise perspektiv. So sind GHRT vom Centrum F aus perspektiv zu JKST, dagegen vom Centrum E aus perspektiv zu KJST. Nach 180 können somit auch die vier Punkte JKST zu den vier Punkten KJST in perspektive Lage gebracht werden, oder wie wir uns nach 189 kürzer ausdrücken: die Punkte JKST sind projektiv zu den Punkten KJST. Von vier Punkten JKST, welche diese besondere Eigenschaft besitzen, sagen wir, daß sie sich in harmonischer Lage befinden.

Wir sprechen also die Definition aus: Auf jeder Diagonale

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